高中数学8.5 空间直线、平面的平行学案

8.5 空间直线、平面的平行（精讲）

考法一  线面平行

【例1-1】（2021·海原县第一中学高一期末）如图，正方体中，为中点．求证：平面．

【答案】证明见解析.

【解析】证明：连结与交于点，连结.

在中，分别为、的中点.

得.

又因为平面，平面，

所以平面

【例1-2】（2020·浙江高一期末）如图，四棱锥，底面为矩形，面，、分别为、的中点．

（1）求证：面；

（2）若，，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）如下图所示，取的中点，连接、，

因为四边形为矩形，则且，

、分别为、的中点，则且，

为的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，

所以，，

平面，平面，平面；

（2）如下图所示，连接，取的中点，连接，

为的中点，所以，点、到平面的距离相等，

所以，，

、分别为、的中点，则且，

平面，平面，

的面积为，

因此，.

【一隅三反】

1．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．求证：平面；

【答案】详见解析

【解析】如图所示：

连接与交于点O，连接OD，

因为O，D为中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

2．（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且.求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接，

∵为的中点，为的重心，

∴点一定在上，且，

∵为的中点，∴，

又，∴，即，

∴，

则，∵平面，平面，

∴平面；

3．（2020·咸阳市高新一中高一月考）正方形与正方形所在平面相交于，在、上各有一点，，且．求证：平面．

【答案】证明见解析.

【解析】如图所示，交于，作交于，连接．

正方形和正方形有公共边，．

又，．

又，，，．

且，即四边形为平行四边形，．

又平面，平面，平面．

考法二  面面平行

【例2】（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

（1）直线EG平面BDD1B1；

（2）平面EFG平面BDD1B1.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，

所以EGSB.

又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，

所以直线EG平面BDD1B1.

（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，

所以FGSD.

又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，

所以FG平面BDD1B1，

由（1）有直线EG平面BDD1B1；

又EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，

所以平面EFG平面BDD1B1.

【一隅三反】

1．（2021·全国高一专题练习）下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故选B．

2．（2021·全国高一课时练习）如图：在正方体中，E为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若F为的中点，求证：平面平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）连结交于O，连结.

∵因为为正方体，底面为正方形，

对角线､交于O点，所以O为的中点，

又因为E为的中点，在中

∴是的中位线

∴；

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）证明：

因为F为的中点，E为的中点，所以，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以∥平面；

由（1）知平面，

又因为，所以平面平面.

3．（2021·全国高一）如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，、交于点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）∵四边形为平行四边形，、为、的中点，、交于点，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

又是的中位线，∴，

又平面，平面，

∴平面，

∵平面，平面，，

∴平面平面.

（2）∵、、为、、的中点，

∴，，

∴，

又，∴.

考法三 平行的综合运用

【例3】（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D；

(3)平面BDF∥平面B1D1H.

【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.

【解析】（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．

（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥，OE＝．又D1G∥DC，D1G＝DC，

∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．

又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．

（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．

【一隅三反】

1．（2021·全国高一）已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则或

【答案】D

【解析】对于A，若，，则或a与b异面；所以A错；

对于B，若，，则或a与b相交或a与b异面；所以B错；

对于C，若，，则或，所以C错；

对于D，因为，所以在内存在直线c使得，因为，所以，因为，所以或，

当时，因为，，所以，故D正确；

故选：D．

2．（2021·全国高一课时练习）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A．存在一条直线，，

B．存在一条直线，，

C．存在两条平行直线、，，，，

D．存在两条异面直线、，，，，

【答案】D

【解析】对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故不对；

对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；

对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；

对于，在直线上取点，过点和直线确定一个平面，交平面于，

因为，所以；又，，所以，

又因为，，，，所以；

故选：D

3．（2020·北京大兴区·高一期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；理由见解析.

【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，

平面∩平面，

∴；

（2）取的中点，连接，，

∵是 的中点，

∴，，

又由（1）可得，，

∴，，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（3）取中点，连接，，

∵，分别为，的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，

又由（2）可得平面，，

∴ 平面平面，

∵是上的动点，平面，

∴平面，

∴ 线段上存在点，使平面.

考法四  线面、面面平行的性质

【例4-】（2020·全国高一课时练习）在如图所示的几何体中，、、分别是、、的中点，．求证：平面．

【答案】证明见解析

【解析】证明：已知，分别是和的中点，再取的中点，

则，又，，

而平面，平面．

同理，，而平面，平面．

，

平面平面，

平面，平面.

【例4-2】（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱中，点为的中点，点是上的一点，若//平面，则（   ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】若//平面，则.

①当点满足时，

由平行四边形，可得//.

又平面，平面，

//平面.

同理//平面，又，

∴平面//平面，

//平面，满足已知条件.

②假设点不是线段的中点

由//平面，则可取线段的中点，

由①可知，平面//平面，

∴平面//平面，

与平面平面相矛盾，

因此假设不成立，

故点是线段的中点.

故选：B.

【一隅三反】

1．（2020·北京人大附中高一期末）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为________.

【答案】

【解析】取中点，连接，

故，，又在平面外，平面

所以平面，平面，又相交在平面内，故平面平面，即平面，故.

故答案为：.

2．（2021·全国高一课时练习）已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，，，则的长为___________.

【答案】或

【解析】

如图：当点在两平面之外即在延长线上时，

因为平面平面，平面平面，平面平面，

所以，

所以，

因为，，，

所以，解得，

如图：当点在两平面之间即在线段上时，

因为平面平面，平面平面，平面平面，

所以，

所以，

因为，，，

所以，解得，

所以，

综上所述：的长为或，

故答案为：或

3．（2020·河南高一月考）如图，一个侧棱长为的直三棱柱容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱，，，的中点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）当底面水平放置时，求液面的高．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：∵，分别为棱，的中点，

∴是的中位线，即．又平面，平面，

∴平面．同理，平面，又，平面，平面，

∴平面平面．

（2）由（1）可知，当直三棱柱容器的侧面水平放置时，

液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱容器的高，即侧棱长，

当底面水平放置时，设液面的高为，的面积为，

由已知，有且，所以．

由于液体体积前后不变，所以，即．

∴当底面水平放置时，液面的高为．

4．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）当点为棱的中点时，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析； （2）.

【解析】（1）因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以，

又因为，所以.

（2）由点为棱的中点，可得为的中点，

取的中点，分别连接，和，

因为正三棱柱，所以，则，

取的中点，连接，

在等边中，因为，可得

在等腰梯形中，，可得，

连接，在直角中，，可得，

所以，可得，

因为，所以平面，

即四棱锥的高为，

又由梯形的面积为，

所以四棱锥的体积为.