高中数学1.5 全称量词与存在量词习题

这是一份高中数学1.5 全称量词与存在量词习题，文件包含152《全称量词命题和存在量词命题的否定》导学案教师版docx、152《全称量词命题和存在量词命题的否定》导学案学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。


一．学习目标
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义（重点）
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（难点）
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习全称量词命题和存在量词命题的否定
三．课堂导学
一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸.”
问题 请问探险家该如何保命?
知识点一 全称量词命题的否定
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定: ∃x∈M, ¬ p(x) .也就是说, 全称量词 命题的否定是存在量词命题.
提醒 常见词语的否定形式
知识点二 存在量词命题的否定
对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定: ∀x∈M, ¬p(x) .也就是说,存在量词命题的否定是 全称量词 命题.
提醒 对全称量词命和存在量词命题进行否定,总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.
1.命题“∃x∈Z,x2＜2”的否定是( )
A.∃x∈Z,x2≥2 B.∀x∈Z,x2≤2
C.∀x∈Z,x2＞2 D.∀x∈Z,x2≥2
解析:D 命题“∃x∈Z,x2＜2”的否定是“∀x∈Z,x2≥2”.
2.命题“∀x∈R,x2＋1＞0”的否定形式是( )
A.∃x∈R,x2＋1＞0 B.∀x∈R,x2＋1≤0
C.∃x∈R,x2＋1＜0 D.∃x∈R,x2＋1≤0
解析:D 因为命题“∀x∈R,x2＋1＞0”是全称量词命题,所以它的否定是“∃x∈R,x2＋1≤0”.
3.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 .
解析:原命题是全称量词命题,其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数.
答案:存在一个能被2整除的整数不是偶数
四．典例分析、举一反三
题型一 全称量词命题的否定
写出下列全称量词命题的否定:
(1)任何一个平行四边形的对边都平行;
(2)∀a∈R,方程x2＋ax＋2＝0有实数根;
(3)∀a,b∈R,方程ax＝b都有唯一解;
(4)可以被5整除的整数,末位是0.
解 (1)存在一个平行四边形,它的对边不都平行.
(2)∃a∈R,方程x2＋ax＋2＝0没有实数根.
(3)∃a,b∈R,使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
(4)存在被5整除的整数,末位不是0.
练1-1. 写出下列命题的否定并判断真假:
(1)等圆的面积相等;
(2)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;
(3)平面内与同一条直线垂直的两条直线平行.
解:(1)该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”,其否定是“存在一对等圆,其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题.
(2)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x2的个位数等于3,因为02＝0,12＝1,22＝4,32＝9,42＝16,52＝25,62＝36,72＝49,82＝64,92＝81,…,所以这是一个假命题.
(3)命题省略了全称量词“任意”,即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”,因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”,是假命题.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】写出下列命题的否定并判断真假:
(1)p:∃a∈R,一次函数y＝x＋a的图象经过原点;
(2)q:有的有理数没有倒数;
(3)s:有些三角形是锐角三角形.
解 (1) ¬p:∀a∈R,一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时,一次函数y＝x＋a的图象经过原点,所以¬p是假命题.
(2) ¬q:所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数,所以¬q为假命题.
(3) ¬s:所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形),假命题.
练2-1. (多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有( )
A.∃x∈R,x2-x＋12＝0
B.所有的正方形都是矩形
C.∃x∈R,｜x｜＋2≤0
D.至少有一个实数x,使x3＋1＝0
解析:AC 命题的否定是全称量词命题,则原命题为存在量词命题,故排除B选项.命题的否定为真命题,则原命题为假命题.又选项A、C中的命题为假命题,选项D中的命题为真命题,故选A、C.
题型三 根据命题的否定求参数范围
【例3】 命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题,求实数a的取值范围.
解 命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题,
所以此命题的否定“任意x＞1,使得2x＋a≥3”是真命题,
因为对任意x＞1,都有2x＋a＞2＋a,
所以2＋a≥3,
所以a≥1.
(变条件)若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
解:由题意知“存在x＞1,使得x＜3-a2”是真命题,故有3-a2＞1,所以a＜1.
练3-1. 已知命题p:∀x∈{x｜-3≤x≤2},都有x∈{x｜a-4≤x≤a＋5},且?p是假命题,求实数a的取值范围.
解: ¬p是假命题即p是真命题,
即∀x∈{x｜-3≤x≤2},x∈{x｜a-4≤x≤a＋5}成立,
所以a-4≤-3,a+5≥2,
解得-3≤a≤1,
所以实数a的取值范围为{a｜-3≤a≤1}.
五、课堂小结
1.全称量词命题和存在量词命题的否定
2.对省略了量词的命题可补上量词后进行否定.
六、当堂检测
1. 命题“∀x＞1,x2-x＞0”的否定为( )
A.∀x＞1,x2-x≤0 B.∃x＞1,x2-x≤0
C.∀x≤1,x2-x≤0 D.∃x≤1,x2-x≤0
解析:B 命题“∀x＞1,x2-x＞0”的否定是“∃x＞1,x2-x≤0”,故选B.
2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个无理数,它的平方不是有理数
B.任意一个无理数,它的平方是有理数
C.存在一个无理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:A 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”,故选A.
3.命题“存在实数x,y,使得x＋y＞1”,用符号表示为 ,此命题的否定是 (填“真”或“假”)命题.
解析:此命题用符号表示为∃x,y∈R,x＋y＞1,此命题的否定是∀x,y∈R,x＋y≤1,原命题为真命题,它的否定为假命题.
答案:∃x,y∈R,x＋y＞1 假
4.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)∃x,y∈Z,使得2x＋y＝3;
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除.
解:(1)命题的否定:“∀x,y∈Z,都有2x＋y≠3”.
因为当x＝0,y＝3时,2x＋y＝3,
所以原命题为真,原命题的否定为假命题.
(2)命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字原词语
否定词语
原词语
否定词语
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有(n-1)个
小于
不小于
至多有n个
至少有(n＋1)个
任意的
某个
能
不能
所有的
某些
等于
不等于