数学1.4 充分条件与必要条件同步训练题

这是一份数学1.4 充分条件与必要条件同步训练题，文件包含142《充要条件》专题练习参考答案docx、142《充要条件》专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。

1.“x2＋(y-2)2＝0”是“x(y-2)＝0”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:B 由x2＋(y-2)2＝0,得x＝0且y＝2,x(y-2)＝0.反之,x(y-2)＝0,即x＝0或y＝2,x2＋(y-2)2＝0不一定成立.故选B.
2.“x＜2”是“1x-2＜0”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:A 由1x-2＜0,得x-2＜0,x＜2,即“x＜2”是“1x-2＜0”的充要条件.
3.设A,B,C是三个集合,则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:B 由A∩B＝A∩C,不一定有B＝C,反之,由B＝C,一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B.
4.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈∁UB,q:a∈A,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:B 由图可知A是B的补集的真子集,则p是q的必要不充分条件.
5.已知x∈R,则“x2＝x＋6”是“x＝x+6”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:B 由于“x2＝x＋6”,则“x＝±x+6”,故“x2＝x＋6”是“x＝x+6”的必要不充分条件.
6.(多选)使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{-1,3,5} D.x≤0或x＞2
解析:BC 从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干的真子集,只有B,C满足题意,选项A为题干成立的既不充分也不必要条件,D为题干成立的充要条件.
7.已知△ABC,△A1B1C1,两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析:由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1;反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1,∠B＝∠B1,∠C＝∠C1.
答案:必要不充分
8.对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
解析:由x∈B,可得x∈(A∪B);反之,因为A⊆B,A∪B＝B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.
答案:充要
9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.
(1)“x2-1＝0”是“｜x｜-1＝0”的 ;
(2)“x＜5”是“x＜3”的 .
解析:(1)设A＝{x｜x2-1＝0}＝{-1,1},B＝{x｜｜x｜-1＝0}＝{-1,1},所以A＝B,即“x2-1＝0”是“｜x｜-1＝0”的充要条件.
(2)设A＝{x｜x＜5},B＝{x｜x＜3},因为B⫋A,所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件.
答案:(1)充要条件 (2)必要不充分条件
10.指出下列各组命题中,p是q的什么条件:
(1)p:x＝1,q:x-1＝x-1;
(2)p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
(3)p:x＋2≠y,q:(x＋2)2≠y2;
(4)p:a是自然数,q:a是正数.
解:(1)当x＝1时,x-1＝x-1成立;
当x-1＝x-1时,x＝1或x＝2.
所以p是q的充分不必要条件.
(2)因为-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5,
所以p是q的充要条件.
(3)由q:(x＋2)2≠y2,
得x＋2≠y,且x＋2≠-y,又p:x＋2≠y,
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数,但0不是正数,故pq;12是正数,但12不是自然数,故qp.故p是q的既不充分也不必要条件.
11.实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab＝0 B.ab＞0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0
解析:D 由“a,b中至少有一个不为零”可知,a,b都不为0,或a,b中有一个为0.选项A中,由ab＝0,可得a＝0或b＝0或a,b均为0,不满足条件.选项B中,由ab＞0,可得a,b都不为0,不满足条件.选项C中,由a2＋b2＝0,可得a＝b＝0,不满足条件.选项D中,a2＋b2＞0⇔a,b中至少有一个不为零,满足条件.故选D.
12.(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是( )
解析:BD 由题知,电路图A中,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;电路图B中,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S一定闭合,故B中p是q的充要条件;电路图C中,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;电路图D中,开关S闭合,灯泡L亮,灯泡L亮,则一定有开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选B、D.
13.设U＝R,A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若∁UA＝U,则m的取值范围为 ,集合A中有两个元素的充要条件是 .
解析:由题意得A＝⌀,即mx2＋4x＋2＝0无解,当m＝0时,不成立;当m≠0时,Δ＝16-8m＜0,解得m＞2.综上可知,m的取值范围为{m｜m＞2}.集合A中有两个元素,即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根,当m＝0时,不成立;当m≠0时,Δ＝16-8m＞0,解得m＜2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0.
答案:{m｜m＞2} m＜2且m≠0
14.已知集合M＝{x｜x＜-3或x＞5},P＝{x｜a≤x≤8}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的取值范围,使它成为M∩P＝{x｜5＜x≤8}的一个必要不充分条件.
解:(1)M∩P＝{x｜5＜x≤8}的充要条件是-3≤a≤5,所以实数a的取值范围是{a｜-3≤a≤5}.
(2)结合数轴可知a＜-3时符合题意,则实数a的取值范围是{a｜a＜-3}.
15.若a,b都是实数,试从①ab＝0;②a＋b＝0;③a(a2＋b2)＝0;④ab＞0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)“使a,b都为0”的必要条件是 ;
(2)“使a,b都不为0”的充分条件是 ;
(3)“使a,b至少有一个为0”的充要条件是 .
解析:①ab＝0⇔a＝0或b＝0,即a,b至少有一个为0;
②a＋b＝0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负;
③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或a=0,b=0;
④ab＞0⇔a>0,b>0或a<0,b<0;则a,b都不为0.
答案:(1)①②③ (2)④ (3)①
16.求证:关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
证明:(1)充分性:当a＝1时,方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝-1,只有一个负实数根;
当a＝0时,方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根是x＝-12;
当a＜0时,方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4-4a＞0,
且x1x2＝1a＜0,方程有一正实数根和一负实数根.
所以当a＝1或a≤0时,关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根.
(2)必要性:若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根,则
①当a＝0时,x＝-12,符合题意.
②当a≠0时,方程ax2＋2x＋1＝0有实根,Δ＝4-4a≥0,解得a≤1;
当a＝1时,方程的解为-1,符合题意;
当a＜1且a≠0时,方程有两个不相等的实数根x1,x2,若方程只有一个负实数根,
则x1x2＝1a＜0,即a＜0.
所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时,a＝1或a≤0.
综上,关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.