高中数学1.5 全称量词与存在量词练习题

1．5．2全称量词命题和存在量词命题的否定

A级　基础巩固

一、选择题

1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是(　A　)

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　C　)

A．∀x∈R，|x|>0　　　 B．∃x0∈R，|x0|>0

C．∀x∈R，|x|≤0  D．∃x0∈R，|x0|≤0

[解析]　由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．

3．命题p：∀x∈R，x2＋x＋1<0的否定是(　B　)

A．∀x∈R，x2＋x＋1≥0  B．∃x∈R，x2＋x＋1≥0

C．∀x∈R，x2＋x＋1>0  D．∃x∈R，x2＋x＋1>0

[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题P：∀x∈R，x2＋x＋1<0的否定是∃x∈R，x2＋x＋1≥0，故选B．

4．对给出的下列命题：①∀x∈R，－x2<0；②∃x∈Q，x2＝5；③∃x∈R，x2－x－1＝0；④若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2<1．其中是真命题的是(　D　)

A．①③　  B．②④　　

C．②③　  D．③④

[解析]　①中，当x＝0时，－x2＝0；②中，x2＝5，x＝±，±是无理数；③中，∃x＝，使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．

5．以下命题中，真命题的个数是(　B　)

①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；

②“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；

③在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件．

A．0　　  B．1　　

C．2　　  D．3

[解析]　①中，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假命题，②符合题意，③中为充要条件，故②为真命题．

二、填空题

6．若命题p：常数列是等差数列，则¬p：__存在一个常数列，它不是等差数列__．

[解析]　因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定¬p：存在一个常数列，它不是等差数列．

故答案为：存在一个常数列，它不是等差数列．

7．∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，则实数a的取值范围__[6，＋∞)∪(－∞，－1]__．

[解析]　因为m∈[－1,1]，所以∈[2，3]，由不等式a2－5a－3≥得a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1．

三、解答题

8．写出下列命题的否定并判断真假：

(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；

(2)某些梯形的对角线互相平分；

(3)被8整除的数能被4整除．

[解析]　(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此¬p是真命题．

(2)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．

(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．

9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5．是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R成立，并说明理由．

[解析]　不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4．

要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4．

B级　素养提升

1．命题p：∀x∈R，x≥0的否定是(　C　)

A．¬p：∀x∈R，x<0  B．¬p：∃x∈R，x≤0

C．¬p：∃x∈R，x<0  D．¬p：∀x∈R，x≤0

[解析]　因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x∈R，x<0．故选C．

2．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋<0，命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝，则p∨q，p∧q，¬p，¬q中是真命题的有__p∨q__¬p__．

[解析]　∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sinx0＋cosx0＝，故q是真命题，因此p∨q是真命题，¬p是真命题．

3．若“∀m∈[－1，1]，a2－2a≥m＋2恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是__[3，＋∞)∪(－∞，－1]__．

[解析]　m∈[－1，1]，则1≤m＋2≤3，

∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，

∴a≥3或a≤－1．

4．若x∈[－2，2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．

[解析]　设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2，2]时，[f(x)]min≥0即可．

①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，

解得a≤，又a>4，所以a不存在．

②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，

f(x)min＝f(－)＝≥0，解得－6≤a≤2．

又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2．

③当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2，2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，

解得a≥－7，

又a<－4，所以－7≤a<－4．

综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．

5．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足≤0．

(1)若a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若“¬p”是“¬q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，

又a>0，所以a<x<3a，

当a＝1时，1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3．

q为真时，≤0等价于

得2<x≤3．

即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3．

若“p∧q”为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围2<x<3．

(2)“¬p”是“¬q”的充分不必要条件，

即¬p⇒¬q，且¬q ¬p，等价于q⇒p，

且p q，设A＝{x|a<x<3a}，B＝{x|2<x≤3}，

则0<a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是1<a<2．