2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( B )
A.所有奇数的立方都不是奇数
B.存在一个奇数，它的立方是偶数
C.不存在一个奇数，它的立方是偶数
D.不存在一个奇数，它的立方是奇数
解析：由于命题“所有奇数的立方都是奇数”是一个全称量词命题，所以命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”．故选B．
2．下列结论中正确的个数是( C )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定为“∀x∈R，x2＋2x＋1≤0”；
④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题．
A.0B.1
C.2D.3
解析：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；命题“∀x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题，故②正确；命题“∃x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋1>0”，故③错误；ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确．所以正确的结论为②④，故选C．
3．命题“∀x>1，x2＋1>2”的否定为( C )
A.∃x≤1，x2＋1≤2
B.∀x>1，x2＋1≤2
C.∃x>1，x2＋1≤2
D.∀x≤1，x2＋1≤2
解析：根据命题的否定形式可得原命题的否定为：“∃x>1，x2＋1≤2”．故选C．
4．下列关于命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定说法正确的是( B )
A.∀x∈R，x2＋x＋1≥0，假命题
B.∀x∈R，x2＋x＋1≥0，真命题
C.∃x∈R，x2＋x＋1≥0，假命题
D.∃x∈R，x2＋x＋1＝0，真命题
解析：命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，因为x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)≥0恒成立，所以原命题的否定为真命题．故选B．
5．已知命题p：∃x∈{x|1A.a<1B.a>3
C.a≤3D.a≥3
解析：命题p：∃x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，所以实数a的取值范围是a≥3.故选D．
二、多项选择题
6．给定命题p：∀x>m，x2>8.若命题p为假命题，则实数m可以是( AB )
A.1B.2
C.3D.4
解析：由于命题p为假命题，所以命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题．当m＝1时，则x>1，令x＝2，22<8，所以A正确；当m＝2时，则x>2，令x＝2.5，2.52<8，所以B正确；当m＝3时，则x>3，x2>9，x2≤8不成立，所以C错误；当m＝4时，则x>4，x2>16，x2≤8不成立，所以D错误．故选AB．
7．下列命题正确的是( BD )
A.命题“∀x∈R，x2>x”的否定是假命题
B.命题“∃m∈N，使eq \r(m2＋1)∈N”的否定是假命题
C.命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的否定是真命题
D.命题“至少有一个整数n，使n2＋n为奇数”的否定是真命题
解析：对于A，命题的否定为：∃x∈R，x2≤x，显然为真命题(取x＝0检验即可)，∴A错误；对于B，命题的否定为：∀m∈N，eq \r(m2＋1)∉N，举反例：当m＝0时，eq \r(m2＋1)＝1∈N，所以是假命题，∴B正确；对于C，因为命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等为真命题，所以此命题的否定为假命题，∴C错误；对于D，命题的否定为：任意的整数n，使n2＋n为偶数，因为n2＋n＝n(n＋1)是偶数，所以是真命题，∴D正确．故选BD．
三、 填空题
8．命题“对任意实数x，均有x2≠x”的否定为存在实数x，使得x2＝x.
解析：“对任意实数x，均有x2≠x”的否定为：存在实数x，使得x2＝x.
9．命题“∃x∈R，x≥1或x>2”的否定是∀x∈R，x<1.
解析：命题“∃x∈R，x≥1或x>2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，
∴命题的否定是：∀x∈R，x<1.
10．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定为∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2.
解析：由题意，原命题的否定是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2.
四、解答题
11．写出下列命题p的否定，并判断其真假．
(1)p：∃x∈R，x2＝1；
(2)p：无论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(3)p：有的三角形的三条边相等；
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
解：(1)p：∃x∈R，x2＝1，所以￢p：∀x∈R，x2≠1.
显然当x＝±1时，x2＝1，所以￢p为假命题．
(2)p：无论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根，
所以￢p：存在一个实数m，方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
若方程没有实数根，则判别式Δ＝m2＋4<0，此时不等式无解，所以￢p为假命题．
(3)p：有的三角形的三条边相等．
所以￢p：所有的三角形的三条边不都相等．正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，所以￢p是假命题．
(4)p：等腰梯形的对角线垂直，则p是假命题，
所以￢p：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，因为p是假命题，所以￢p是真命题．
12．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
解：因为￢q为假命题，所以q为真命题，
命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3.
命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥3，,m≥1，))
解得m≥3，
故实数m的取值范围是{m|m≥3}．
13．(多选题)下列说法正确的是( BD )
A.命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2<－1”
B.命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9”
C.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2
D.若集合A是全集U的子集，则命题“x∉∁UA”与“x∈A”同时成立
解析：命题“∀x∈R，x2>－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，所以A错误；命题“∃x∈{x|x>－3}，x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>－3}，x2>9”，所以B正确；当a＝0时，不存在实数x，使得ax>2，所以C错误；若集合A是全集U的子集，则命题“x∉∁UA”与“x∈A”同时成立，所以D正确．故选BD．
14．命题“存在－1≤x≤2，x2－2x－a>0”为假命题，则实数a的取值范围是a≥3.
解析：由于“存在－1≤x≤2，x2－2x－a>0”为假命题，所以“∀－1≤x≤2，x2－2x－a≤0”为真命题，所以当－1≤x≤2时，a≥x2－2x恒成立，当x＝－1时，x2－2x取得最大值为(－1)2－2×(－1)＝3，所以a≥3.
15．已知命题p：∀2≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤7，使m≥x，若命题p为假命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
解：因为￢q为假命题，所以q为真命题，
命题p：∀2≤x≤3，都有m≥x，则m≥xmax，即m≥3，∵p为假命题，∴m<3；
命题q：∃1≤x≤7，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<3，,m≥1，))解得1≤m<3，
故实数m的取值范围是1≤m<3.