苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.1 圆综合训练题

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（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
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知识精讲
第2章 对称图形—圆
一、圆的定义及其相关概念
（1）定义：圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。
1）半径：圆上一点与圆心的连线段。
2）直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3）弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4）弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
劣弧：小于半圆周的弧。
优弧：大于半圆周的弧。
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
（2）圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
（3）弦、弧等与圆有关的定义
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（4）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（5）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（6）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
二、圆的对称性
(1)圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(2)圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(3)圆是满足y = x r y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
三、确定圆的条件
1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” .
2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.
四、圆周角
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
证明(分类思想，3种，半径相等)
①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。）
五、直线与圆的位置关系
①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r；
六、正多边形与圆
1)把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。
2)正多边形的相关概念：正多边形的中心——是正多边外接圆的圆心。正多边形的半径——是正多边形内切圆半径。(rn)正多边形的中心角——是正多边形的边所对的外接圆的圆心角。(αn)
七、弧长及扇形的面积
弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度。
l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r
在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。
八、圆锥的侧面积
S = π R L
圆锥侧面积=n/360×π×R²=1/2LR (n指扇形顶角度数,R是圆锥底面半径,L指母线)
圆锥的侧面积推导,需要把圆锥展开.
圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:
与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
考点例析
【考点1】圆
【例1】（2022·江苏·九年级期末）已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
【答案】D
【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
【详解】∵平面内有一点到圆心O的距离为5，5＞3．
∴该点在圆外，
∴点N符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．
【考点2】圆的对称性
【例2】（2022·全国·九年级专题练习）一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（ ）
A．2mB．4mC．6mD．8m
【答案】B
【分析】由垂径定理可知，CD垂直平分AB，再用勾股定理算出答案即可．
【详解】∵CD垂直平分AB，
∴AD＝＝8m
∴OD＝＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，找出CD垂直平分AB是本题的关键．
【考点3】确定圆的条件
【例3】（2022·山东聊城·二模）用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线D．作一条线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】根据三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即作三边的垂直平分线性即可，据此即可求解．
【详解】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形外心的定义，理解三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键．
【考点4】圆周角
【例2】（2022·黑龙江绥化·九年级期末）如图所示，在中，，，则的度数是（ ）
A．55°B．110°C．125°D．150°
【答案】B
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，根据∠BOD=∠BOC+∠DOC即可求解．
【详解】如图，连接OC，已知，，
由圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，
所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+60°=110°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟记定理是解题的关键．
【考点5】直线与圆的位置关系
【例5】（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，若⊙O的直径为6，点O到某条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：∵若⊙O的直径为6，
∴圆O的半径为3，
∵点O到某条直线的距离为6，
∴这条直线与圆相离，
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：当⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r，②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
【考点6】正多边形与圆
【例6】（2022·河北保定·九年级期末）如图，有一个直径为的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【分析】连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，求得∠AOC= 30°，由OA=2cm，得到AC=1cm，根据勾股定理求出OC即可．
【详解】如图，连接OA、OB，则△AOB是等边三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故选：B．
【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
【考点7】弧长及扇形面积
【例7】（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出，即可求出扇形的面积，再算出的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形中，，
∴，
∵点A与圆心O重合，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
【考点8】圆锥的侧面积
【例8】（2022·四川绵阳·中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A．282.6B．282600000C．357.96D．357960000
【答案】A
【分析】求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】解：如图：
由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱的表面积：，
∴组合体的表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
故选：A
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
举一反三
一、选择题（共4小题）
1．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．π
2．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在⊙O中，AB是弦，半径于点D，若OC＝10，AB＝16，则CD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
3．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江苏·九年级单元测试）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
二、填空题（共4小题）
5．（2022·江苏·九年级期末）如图，线段，以O为圆心，的长为半径作，B是平面上一点，且，过点B作直线l垂直于，交于C，D两点．若取最大值时，则的长为_________．
6．（2022·江苏·九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为______m．
7．（2022·江苏·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
8．（2022·江苏·九年级期末）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π）
二、简答题（共4小题）
9．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交于D，连接AC．
(1)请写出三个不同类型的正确结论；
(2)若CB=8，ED=2，求⊙O的半径．
10．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F．
(1)求证：BC⊥DE；
(2)若AB＝4，∠A＝30°，填空：
①线段AD的长为______；②线段BF的长为______．
11．（2022·全国·九年级单元测试）如图，是的外接圆，切于点，与直径的延长线相交于点．
（Ⅰ）如图①，若，求的大小；
（Ⅱ）如图②，当，时，求的大小和的半径．
12．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
（1）求证：MH为⊙O的切线．
（2）若MH=，=，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．
实战演练
一、选择题（共4小题）
1．（2022·江苏无锡·九年级期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江苏无锡·九年级期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度CD为1寸，锯长AB为1尺（10寸），问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为（ ）
A．22寸B．24寸C．26寸D．28寸
3．（2022·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）如图，一个圆弧形桥拱，其跨度为10米，拱高为1米．求桥拱的半径．（ ）
A．6B．10C．12D．13
4．（2022·辽宁本溪·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）（提示：圆心角为n°的扇形的面积为，R为扇形所在的圆的半径）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题）
5．（2022·江苏·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．
6．（2022·江苏·九年级期末）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
7．（2022·江苏·九年级期末）如图，在⊙O中，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=40°，则∠C的度数为_____．
8．（2022·江苏·九年级期末）如图，在半径为10cm和6cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为_______cm．
三、简答题（共4小题）
9．（2022·浙江丽水·九年级期中）如图，在⊙O中，直径AB＝2，ABC中，∠BAC＝90°，BC交⊙O于点D，若∠C＝45°，求：
(1)BD的长为多少？
(2)求阴影部分的面积．
10．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是y轴x轴上的两个定点，点M是线段AB的垂直平分线上的一个动点，以点M为圆心，MA长为半径的圆与x轴正半轴、y轴的负半轴分别交于D、C两点，过点O作AB的垂线与CD交于点F ．
(1)若∠BOE＝28°，求∠CDB的度数 ；
(2)求证：F是CD的中点；
(3)若A（0，4），B（3，0），连接MF，当点M运动时，MF的值是否发生变化，若不变，求出MF的值；若变化，请说明理由．
11．（2022·江苏扬州·七年级期中）小明和小华在进行探究性学习：小明在半径为r的半圆中画两个直径均为r的小半圆（如图1），小华在半径为r的半圆中画两个直径分别为a、b的小半圆（如图2），分别计算剩余的阴影部分面积和，并比较它们的大小．
(1)用r的代表式表示阴影部分的面积_________；
(2)用a、b的代数式表示阴影部分的面积_________；
(3)设，那么（ ）；
A.；B．；C．；D．与的大小关系无法确定
(4)请对你在（3）中得到的结论进行验证，说明其道理．
12．（2022·四川泸州·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，，以BC为直径的交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．
(1)求证：MH为的切线．
(2)若，，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下分别过点A、B作的切线，两切线交于点D，AD与相切于点N，过N点作，垂足为E，且交于Q点，求线段AO、CN、NQ的长度．