人教A版高中数学必修第二册第6章微专题1平面向量中的最值与范围问题学案

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微专题1　平面向量中的最值与范围问题平面向量中的最值和范围问题是高中数学的热点问题，由于平面向量具有了“数”与“形”的双重特性，故其最值或范围问题可从代数与几何两大视角进行切入，解题方法可分为构造目标函数法、直角坐标系法、基本不等式法、极化恒等式法、几何意义法等． 类型1　目标函数法求最值(或范围)【例1】　(1)已知向量a，b满足a＝(t，22－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b的夹角的最小值为(　　)A．π6　　　B．π4　　　C．π3　　　D．π2(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－3，1)，则|2a－b|的最大值为________．(1)C　(2)4　[(1)因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝a·bab＝b2ab＝ba＝1a＝12t2-42t+8，又因为2t2－42t＋8＝2[(t－2)2＋2]≥2[(2-2)2＋2]＝4，所以00)，则2m＋1n的最小值为(　　)A．10　　　 B．9　　　C．8　　　 D．4C　[因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且OA＝mOB＋2nOC(m>0，n>0)，所以m＋2n＝1，所以2m＋1n＝2m+1n(m＋2n)＝4＋4nm＋mn≥4＋24＝8，当且仅当4nm＝mn，即m＝12，n＝14时等号成立．]4．已知等边△ABC的边长为2，M为BC的中点，若|AB－tAM|≥2，则实数t的取值范围为(　　)A．[1，2]B．[0，2]C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C　[以BC中点M为原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)．∵等边△ABC的边长为2，∴M(0，0)，A(0，3)，B(－1，0)．∴AB＝(－1，－3)，AM＝(0，－3)，∴AB－tAM＝(－1，－3+3t)，∴|AB－tAM|＝-12+-3+3t2≥2，化简得t2－2t≥0，∴t≥2或t≤0．故选C．]5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是(　　)A．－2 B．－32 C．－43　 D．－1B　[法一：(极化恒等式)结合题意画出图形，如图①所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有PB+PC＝2PD，则PA·(PB+PC)＝2PA·PD＝2(PE+EA)·(PE-EA)＝2(PE2－EA2)．而EA2＝322＝34，当点P与点E重合时，PE2有最小值0，故此时PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－2EA2＝－2×34＝－32．法二：(坐标法)如图②，以等边△ABC的底边BC所在直线为x轴，以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，所以PA·(PB+PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y-322－32，当x＝0，y＝32时，PA·(PB+PC)取得最小值，最小值为－32．故选B．]二、填空题6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________．3　[因为AE，AD共线，设AE＝kAD(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则AD＝2AB-AC，AE＝2kAB－kAC，又AE＝λAB＋μAC，∴λ=2k，μ=-k，∴t＝λ－μ＝3k≤3，故t的最大值为3．]7．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点P为矩形ABCD内(包括边界)一点，则|PA+PB|的取值范围是________．[0，22]　[法一：(坐标法)将矩形放在坐标系中，设P(x，y)，则A(0，0)，B(2，0)，PA+PB＝(－x，－y)＋(2－x，－y)＝(2－2x，－2y)，|PA+PB|＝2-2x2+-2y2＝2x-12+y2，转化为矩形内的点到定点(1，0)的距离的2倍．由图可知点D(0，1)和点C(2，1)到定点(1，0)的距离相等同时取最大值：2-12+1-02＝2．故|PA+PB|的取值范围是[0，22]．法二：(基向量法)取AB的中点H，易知PA+PB＝2PH，∴|PA+PB|＝2|PH|，结合题意可知0≤|PH|≤|CH|＝2．故|PA+PB|的取值范围为[0，22]．]8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中点，E，F分别是边BC，AC上的动点，且EF＝1，则DE·DF的最小值等于________．154　[如图，取EF的中点H，则DE·DF＝DH2－EF24＝DH2－14， 因为|CH|＋|DH|≥|CD|，所以|DH|≥|CD|－|CH|＝52－12＝2，所以DE·DF＝DH2－14≥4－14＝154．]三、解答题9．在平面直角坐标系内，已知A(0，5)，B(－1，3)，C(3，t)．(1)若t＝1，求证：△ABC为直角三角形；(2)求实数t的值，使|AB+AC|最小．[解]　(1)证明：当t＝1时，C(3，1)，则AB＝(－1，－2)，BC＝(4，－2)，所以AB·BC＝(－1)×4＋(－2)×(－2)＝0．所以AB⊥BC，即△ABC为直角三角形．(2)AB＝(－1，－2)，AC＝(3，t－5)，所以AB+AC＝(－1，－2)＋(3，t－5)＝(2，t－7)，所以|AB+AC|＝4+t-72．当t＝7时，|AB+AC|有最小值，最小值为2．10．已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角．[解]　(1)由|ka＋b|＝3|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．又a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，故|a|＝|b|＝1，∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝2k2+28k＝k2+14k．(2)由(1)得a·b＝k2+14k＝14k+1k≥14×2k·1k＝12，当且仅当k＝1k，即k＝1时等号成立．∴a·b的最小值为12．设此时a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·bab＝12，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3．