人教A版高中数学必修第二册第8章微专题2球的切、接问题学案

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微专题2　球的切、接问题与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点，也是各类考试命题的热点．题型以选择题或填空题为主，解答这类问题的基本思路是以几何体的有关几何元素与球的半径之间的关系为切入点，构建球心组成勾股定理求解． 类型1　球与柱体的外接球【例1】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2　　B．73πa2　　C．113πa2　　D．5πa2B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2．∵AD＝32a，AO＝23AD＝33a，OO2＝a2，∴AO22＝13a2＋14a2＝712a2，故该球的表面积S球＝4π×712a2＝73πa2．] 类型2　球与锥体的外接球【例2】　(1)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是________．(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．(1)6π　(2)932或332　[(1)根据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1，2，3的长方体，于是长方体的外接球就是该三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝12＋(2)2＋(3)2＝6．∴R2＝32．故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π．(2)①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2-r22＝3r2，高为3r2．该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2＝38πr3，球的体积为43πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38 πr343πr3＝932．②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332．] 类型3　球与台体的外接球【例3】　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．100π B．128πC．144π D．192πA　[由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33＝3，23×32×43＝4．设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32+OO12＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42+OO22＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π．故选A．] 类型4　球与几何体的内切问题【例4】　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(3)已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为________．(1)C　(2)23π　(3)π4　[(1)如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR，∴球的表面积为4πOE2＝4πrR．(2)法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(22－R)2－R2＝4，所以R＝22，圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π．法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22，则S△ABC＝22．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝2×S△ABC3+3+2＝22，所以圆锥内半径最大的球的体积为43πR3＝23π．(3)由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P -ABC＝V三棱锥O -PAB＋V三棱锥O -PAC＋V三棱锥O -PBC＋V三棱锥O -ABC，即13×12×2×1×1＝13×12×2×1×r×2＋13×12×1×1×r＋13×12×2×5-12×r，解得r＝14．故内切球的表面积为4πr2＝π4．]微专题强化练(二)　球的切、接问题一、选择题1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为(　　)A．3　　　 B．2　 　C．32　 　 D．19C　[设球的半径为R，则4πR2＝20π，解得R2＝5．设四棱柱的高为h，则h2＋1＋1＝4R2，解得h＝32．故选C．]2．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和23，此三棱柱的高为3，则该三棱柱的外接球的体积为(　　)A．8π3 B．16π3C．32π3 D．64π3C　[由题意，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，如图所示，则该长方体的体对角线为232+32+12＝4，设长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，R＝2，所以该长方体的外接球的体积V＝43πR3＝32π3．]3．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为(　　)A．32π3 B．64π3C．16π D．12πA　[设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝16π，解得R＝2，则球O的体积为43πR3＝323π，故选A．]4．底面半径为3，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　)A．6π B．12πC．8π D．16πD　[由圆锥的底面半径为3，母线长为2，可求得其轴截面的顶角为2π3．设该圆锥的底面圆心为O1，其半径为r，球O的半径为R，则O1O＝|R－1|，R2＝O1O2＋r2＝(R－1)2＋(3)2，解得R＝2，所以球O的表面积为4πR2＝16π．]5．(多选)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则(　　)A．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为3＋3C．空心球的内球半径为3－1D．空心球的外球表面积为(12＋63)πBD　[设内、外球半径分别为r，R，则正方体的棱长为2r，体对角线长为2R，∴R＝3r，又由题知R－r＝1，所以r＝3+12，R＝3+32，∴正方体棱长为3＋1，体对角线长为3＋3，∴外接球表面积为π(3＋3)2＝(12＋63)π．故选BD．]二、填空题6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．144π　[如图所示，当点C为垂直于平面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大．设球O的半径为R，此时VO-ABC＝VC-ABO＝13×12×R2×R＝16R3＝36，解得R＝6．则球O的表面积为4πR2＝144π．]7．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为________．32　[设球的半径为r，则圆锥的高为3r，设圆锥的底面圆的半径为R，则圆锥的轴截面如图所示，设球心为点O，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，OM＝r，AO＝AH－OH＝2r，sin∠OAM＝OMAO＝12，∴∠OAM＝30°，∴R＝AH·tan ∠OAM＝3r，则AB＝2R＝23r，则圆锥的侧面积为S1＝πR·2R＝π×3r×23r＝6πr2，球O的表面积为S2＝4πr2，因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为S1S2＝6πr24πr2＝32．]8．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球． 若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．9π2　[当球的半径最大时，球的体积最大，即在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时．因为AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r＝6+8-102＝2，直径为4大于侧棱． 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V＝9π2．]9．阿基米德的一个重要数学成就是“圆柱容球”定理：即在带盖子的圆柱形容器(容器的厚度忽略不计)里放一个球，该球与圆柱形容器的两个底面和侧面都相切，则球的体积是圆柱形容器的容积的23，并且球的表面积也是圆柱形容器的表面积的23．则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为________．32∶8　[设圆柱形容器里的球的半径为r，则圆柱形容器的底面半径为r，圆柱形容器的高h＝2r，则圆柱形容器的外接球的半径R＝2r22+r2＝2r，则圆柱形容器的容积为V1＝πr2·2r＝2πr3，它的外接球的体积为V2＝43π(2r)3＝823πr3，则该圆柱形容器的容积与它的外接球的体积之比为V1V2＝2πr3823πr3＝328．]三、解答题10．求正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比．[解]　设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为R，r．如图所示，D为AB的中点，SE⊥CD，则线段SE为正四面体SABC的高，且SE＝SD2-DE2＝322-362＝63，V正四面体SABC＝13×34×63＝212．由正四面体的性质知三个球的球心重合，且球心O在线段SE上，则R＋r＝OS＋OE＝SE＝63，V正四面体SABC＝13×34×r×4＝33r＝212，所以r＝612，R＝64，而棱切球的半径为OD＝r2+DE2＝24，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为612∶24∶64＝1∶3∶3．