人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率导学案及答案

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知识精讲
知识点 概率的基本性质：
性质1：对任意的事件A，都有P(A) ≥ 0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(∅)=0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) .
性质3推论：如果事件A1、A2、…、Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am) .
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).
性质5(概率的单调性) ：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).
性质5推论：对于任意事件A，0≤P(A)≤1.
性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有
显然，性质3是性质6的特殊情况.
【微点拨】1.由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的，在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生.
2. 事件A和事件B互为对立事件，所以和事件A∪B为必然事件，即P(A∪B)=1.由性质3得
1=P(A∪B)=P(A)+P(B)
3. 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
注意：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的
4. 求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率
【即学即练1】从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球
B．取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球
C．取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球
D．取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球
【即学即练2】经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：
则至少3人排队等候的概率是（ ）
A．0.44B．0.56C．0.86D．0.14
【即学即练3】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ）
A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球
【即学即练4】事件A,B的概率分别为,,且,则（ ）
A．B．C．D．无法判断
【即学即练5】已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.9
【即学即练6】某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是（ ）
A．至少有一次中靶B．只有一次中靶
C．两次都中靶D．两次都不中靶
【即学即练7】某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0.30B．0.40C．0.60D．0.90
【即学即练8】已知随机事件和互斥，且，，则（ ）
A．0.5B．0.1C．0.7D．0.8
【即学即练9】某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为,响第二声时被接的概率为,响第三声时被接的概率为,响第四声时被接的概率为,则电话在响前四声内被接的概率为( )
A．B．C．D．
【即学即练10】若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是( )
A．[0,0.9]B．[0.1,0.9]C．(0,0.9]D．[0,1]
【即学即练11】已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）
A．1B．C．D．0
【即学即练12】下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
【即学即练13】黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是（ ）
A．任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B．任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C．任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D．任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为1
【即学即练14】(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【即学即练15】中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.
【即学即练16】已知P(A)=0.4，P(B)=0.2.（1）如果B⊆A，则P(A∪B)=________，P(AB)=________；（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=________，P(AB)=________.
【即学即练17】事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________．
【即学即练18】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？
能力拓展
考法01
基本事件的关系：
【典例1】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与对立
【典例2】若，则互斥事件和B的关系是（ ）
A．B．A，B是对立事件
C．A，B不是对立事件D．A=B
【典例3】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A⊆D B．B∩D＝ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
【典例4】从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数
C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数
【典例5】一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
考法02
概率的基本性质的运算：
【典例6】抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A．B．C．D．1
【典例7】若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.7
【典例9】已知随机事件和互斥，且,.则（ ）
A．B．C．D．
【典例10】在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（ ）
A．B．C．若，则D．
【典例11】从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是________．
考法03
概率基本性质的实际应用
【典例12】甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为（ ）
A．B．C．D．
【典例13】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【典例14】某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ）
A．他只属于音乐小组的概率为B．他只属于英语小组的概率为
C．他属于至少2个小组的概率为D．他属于不超过2个小组的概率为
【典例15】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【典例16】甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________.
【典例17】某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮，假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为__________.
【典例18】掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：
(1)A∩B，BC及相应的概率
(2)A∪B，B+C及相应的概率；
(3)记为事件H的对立事件，求及相应的概率.
【典例19】已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）．现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．
(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答．
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．与是互斥而非对立事件B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件D．与是对立事件
2. 在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）
A．A与C是互斥事件，也是对立事件
B．与B是互斥事件，也是对立事件
C．与B是互斥事件，但不是对立事件
D．A与是互斥事件，也是对立事件
3. 甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的个数是（ ）
A．B．C．D．
4. ．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为，从盒中取出2个球都是黄球的概率是，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
5. 从一批羽毛球中任取一个，其质量小于克的概率为，质量不小于克的概率为，则质量在单位：克范围内的概率为（ ）
A．B．
C．D．
6. 若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则m+n≠5的概率是（ ）
A．B．C．D．
7. 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少2个白球，都是红球B．至少1个白球，至少1个红球
C．至少2个白球，至多1个白球D．恰好1个白球，恰好2个红球
8. 有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )
A．0.01×0.992B．0.012×0.99
C．0.01×0.992D．1－0.993
9. ．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
10. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( )
A．恰有1件一等品B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品D．都不是一等品
11. 某产品分为优质品、合格品、次品三个等级. 生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03. 在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是（ ）
A．0.28B．0.72C．0.75D．0.97
12. 从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
13. 从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
14. 从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是（ ）
A．B．C．D．
15. 将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）．
A．B．C．D．
16. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
17. 某城市2017年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）
A．B．C．D．
18. 从、、、这个数中一次随机地取个数，记所取的这个数的和为，则下列说法错误的是（ ）
A．事件“”的概率为
B．事件“”的概率为
C．事件“”与事件“”为互斥事件
D．事件“”与事件“”互为对立事件
题组B 能力提升练
1. （多选题）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）A．B．
C．D．
2. （多选题）袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件“两个球颜色相同”，事件“两个球颜色不同”，事件“第二次摸到红球”，事件“两个球都是红球”.下列说法正确的是（ ）
A．B．C与D互斥C． D．
3. （多选题）下列说法正确的为（ ）
A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为.
B．做n次随机试验，事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率
C．必然事件的概率为1.
D．在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.
4. （多选题）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为D．两名参赛学生都是男生的概率为
5. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
6. 在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．
7. 在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A+发生的概率为________（表示的对立事件）．
8. 在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表：
若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：
____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________
C 培优拔尖练
1. 掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.
求：（1）A∩B，BC；
（2）A∪B，B+C；
（3）记为事件H的对立事件，求.
2. 袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．
3. 在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是0.25，在的概率是0.48，在的概率是0.11，在的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.计算：
（1）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率；
（2）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.
4. 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
5. 已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训下列各组事件是不是互斥事件？是不是对立事件？并说明理由.
（1）“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；
（2）“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；
（3）“至少有1名男医生”和“全是男医生”；
（4）“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
6. 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
7. 某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%.
（1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设=“一年内需要维修k次”，k=0,1,2,3,请填写下表：
事件是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
（2）求下列事件的概率：
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”；
③C=“在1年内维修不超过1次”.
8. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
9. 袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
10. 在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.
（Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率；
（Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率.
课程标准
课标解读
理解概率的6个基本性质及推论；
掌握互斥事件概率、对立事件概率的性质，能解决与古典概型相关的问题；
能在实际问题中应用概率的运算法则及性质解决问题.
通过本节课的学习，要求会利用概率的基本性质解决实际问题.
排队人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
M
18
20
14
F
17
24
7
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
事件
概率
命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2