人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案，文件包含第05讲平面向量基本定理教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc、第05讲平面向量基本定理学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。

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知识精讲
知识点
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；
（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；
（3）如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．
2．两个向量的夹角
（1）向量夹角的几何表示
依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a，b，作=a，=b，则∠AOB为a与b的夹角．
（2）夹角范围
①向量的夹角是针对非零向量定义的；
②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和；
③当两向量方向相同时，夹角为0，当方向相反时，夹角为π．
【即学即练1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【即学即练2】若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）．
A．和B．和
C．和D．和
【即学即练3】已知矩形ABCD中,对角线交于点O,若,则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练4】在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若 (m，n∈R)，则＝( )
A．－3B．－
C．D．3
【即学即练5】在正方形中,点是的中点,点是上靠近的三等分点. 若,则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练6】如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练7】如果是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是（ ）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量,使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线,则有且只有一个实数,使得
D．若存在实数使得,则
【即学即练8】下列结论：①若向量，，共面，则存在实数x，y，使；②若向量，，不共面，则不存在实数x，y，使；③若向量，，共面，，不共线，则存在实数x，y，使；④若，则向量，，共面．其中，正确的个数是______．
能力拓展
考法01
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）基底的理解：
①平面内的任何两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底；
②基底一旦确定，平面内任一向量用该基底表示的形式是唯一的．
（2）平面向量基本定理的作用：
由平面向量基本定理知，在平面内任取两个不共线的向量作基底，平面内的任一向量都可用这一组基底表示出来．但在选取基底时，应尽量使用有利于解决问题的基底．
【典例1】已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【典例2】设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【即学即练9】如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【即学即练10】是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)
D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0
考法02
2．平面向量基本定理的应用
【典例3】已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【典例4】如图，设为内一点，且，则的面积与的
面积之比等于（ ）．
A．B．
C．D．
【典例5】在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记、分别为a，b，则__________（用a，b表示）.
【即学即练11】四边形中，，则下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练12】已知正方形的边长为，向量，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）
A．B．3
C．1D．
2. 已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
3. 如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点R，CR的中点为P，若，则m，n对应的值为（ ）
A．B．
C．D．
4. 如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
5. 如图，在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为 （ ）
A．B．C．D．
6. 在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A．B．
C．D．
8. 如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
9. 如图，在四边形中，，为边的中点，若，则（ ）
A．B．1
C．D．
10.已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则( )
A．B．
C．D．
11. 已知为内一点，且有，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
12. 如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题组B 能力提升练
1. 如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．
2. （多选题）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．
3. （多选题）已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4.（多选题）若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有（ ）
A．若λ+μ=1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ+μ=1且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ+μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ+μ<1，则点P在△OBC内
5. （多选题）如图，A､B分别是射线OM､ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
A．B．
C．D．
6.（多选题）在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（ ）
A．B．
C．D．
7. 在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
8. 已知与不平行，且，，，若以、为一组基底，则用、可表示为______．
9. 已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x，＝y，求的值为________．
10. 如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若=x+y(x,y∈R),则x+y=_____.
11. 已知点为的重心，过点的直线与射线，分别交于点，，且满足，，则的最小值为__________．
12. 已知为内一点，且满足，延长交于点.若，则_____.
C 培优拔尖练
1. 已知P是所在平面外一点，M是PC中点，且，求x，y，z的值．
2. 如图，在平行四边形OADB中，设向量，，点M、N是对角线AB上的两点，且，试用、表示与．
3. 如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB上的一个三等分点，求证：.
4. ．已知是线段外一点，若，．
（1）设点是的重心，证明：；
（2）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
5. 如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.
（1）用向量，表示.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
6. 如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．
（1）用和表示；
（2）求；
（3）设，求的取值范围．
7. 已知点分别是和的重心，求证：.
8. 如图所示，在平行四边形中，已知，，，点在线段上（除两端点），．求点的位置．
课程标准
课标解读
了解平面向量的基本定理及意义.
能正确地运用平面向量的基本定理表示平面内的任意向量．
了解向量的基底与向量的关系，并能准确选择向量的基底表示向量.
通过本节课的学习，要求理解与掌握平面向量的基本定理，会用同一平面内两个不共线的向量作为基底表示平面内的向量，并且选择更加有利于解决问题的基底表示向量.