数学必修 第二册10.1 随机事件与概率优秀学案及答案

10.1.4　概率的基本性质

知识点　概率的基本性质

性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0．

性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．

性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5　如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)．

性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

(1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？

(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？

[提示]　(1)不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

(2)事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1． (　　)

(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． (　　)

(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．              (　　)

[答案]　(1)×　 (2)×　 (3)×

2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)

A．0.2　　　　B．0.8　　　　C．0.4　　　　D．0.1

B　[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8．]

3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

　[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝．]

4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________．

0.3　[因为P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)，

所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．]

类型1　互斥事件、对立事件的概率公式

及简单应用

【例1】　备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：

求该选手射击一次，

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．

[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．

(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60．

(2)记“至少命中8环”为事件B，则B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，

所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．

(3)记“命中不足8环”为事件C．则事件C与事件B是对立事件．

所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．

互斥事件、对立事件的概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较繁琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率．

1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07．求：

(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；

(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)．

[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．

(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，

所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69．

(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，

所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93．

类型2　互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用

【例2】　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．

1．若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？

[提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

3．若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？

[提示]　P(A)＋P(B)＝1．

[解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如图所示，样本点的总数为24．

(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，

则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝．

(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，

则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝．

1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．

2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．

类型3　概率与统计的综合应用问题

【例3】　某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)求了这200名学生每周阅读时间的中位数a(精确到0.01)；

(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5,7.5)，[7.5,8.5)内的学生中抽取6名参加座谈会．

(ⅰ)你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；

(ⅱ)从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5,8.5)内的概率．

[解]　(1)∵0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，∴中位数a∈[8.5,9.5)，由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a＝＋8.5≈8.99．

(2)(ⅰ)应从每周阅读时间在[6.5,7.5)内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5,8.5)内的学生中抽取4名．

理由：每周阅读时间在[6.5,7.5)内与每周阅读时间在[7.5,8.5)内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，

∵两者频率分别为0.1,0.2，∴应按照1∶2的比例进行名额分配．

(ⅱ)设从每周阅读时间在[6.5,7.5)内的学生中抽取的2人为A1，A2，从每周阅读时间在[7.5,8.5)内的学生中抽取的4人为B1，B2，B3，B4，从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)．设“至多有1人每周读书时间在[7.5,8.5)内”为事件A，则A中有9个样本点，分别为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)．

∴至多有一人每周阅读时间在[7.5,8.5)内的概率为P(A)＝＝．

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.

2．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：

(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．

[解]　(1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人)．

(2)从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为．

1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝．]

2．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，

所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，

所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝，故选B．]

3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．

0.10　[“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90．

因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．]

4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．

0.96　[设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B．

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)概率的基本性质有哪些？

(2)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)与P(A∪B)＝P(A)＋P(B)有什么关系？各自的适用条件是什么？