人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率精品当堂达标检测题

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（一）随机试验
1.概念：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
2.随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
（二）样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
（三）随机事件、必然事件与不可能事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.
二．事件的关系和运算
三．事件的运算
四．古典概型
1.随机事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
2.古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
概率的性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).
性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
知识简用
题型一 事件类型的判断
【例1-1】以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【解析】A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．
【例1-2】下列事件是必然事件的是（ ）
A．在标准大气压下，水加热到时会沸腾
B．实数的绝对值不小于零
C．某彩票中奖的概率为，则买10000张这种彩票一定能中奖
D．连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上
【答案】B
【解析】因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以A不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零，所以B是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即C不是必然事件；抛掷骰子，每一面出现都是随机的，所以D是随机事件．故选：B．
题型二 样本空间
【例2-1】写出从集合任取两个元素构成子集的样本空间．
【答案】
【解析】从集合任取两个元素，
则构成子集的样本空间为.
【例2-2】袋中放有4个白球、2个黑球，写出“从中取出2个球”的等可能的样本空间．
【答案】
【解析】用表示4个白球，用表示2个黑球，
故“从中取出2个球”的等可能的样本空间为：．
【例2-3】有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗正四面体玩具出现的点数，表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：（以下各小题先回答基本事件数目，再具体作答）
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件.
【答案】(1)16个，答案见解析；(2)13个，答案见解析；(3)4个，答案见解析.
【解析】（1）这个试验的基本事件一共有个，分别为：
，，，，，，，，
，，，，，，，.
（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下个基本事件：
，，，，，，，，
，，，，.
（3）事件“出现点数相等”包含以下个基本事件：，，，.
题型三 事件的关系
【例3-1】盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（ ）
A．2个小球都是黑色B．2个小球恰有1个是红色
C．2个小球都不是红色D．2个小球至多有1个是红色
【答案】D
【解析】对于A，“2个小球都是黑色”与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故A不正确；
对于B，“2个小球恰有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故B不正确；
对于C，“2个小球都不是红色” 与“2个小球都是红色”是只互斥不对立事件，故C不正确；
对于D，“2个小球至多有1个是红色” 与“2个小球都是红色”是对立事件，故D正确.
故选：D
【例3-2】已知事件A､B､C满足，，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件A发生一定导致事件C发生B．事件B发生一定导致事件C发生
C．事件发生不一定导致事件发生D．事件发生不一定导致事件发生
【答案】D
【解析】因为事件A､B､C满足，，所以，所以A正确；
事件B发生一定导致事件C发生，B正确；
因为，所以，所以事件发生不一定导致事件发生，所以C正确；
因为，所以，事件发生一定导致事件发生，所以D错误.
故选：D.
题型四 事件的运算
【例4-1】抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A．B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3D．表示向上的面的点数是1或2或3
【答案】C
【解析】由题意可知，，，，，所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．故选：C．
【例4-2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，故A，C正确；事件B与D是互斥事件，故，故B正确，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D错误，故选：D.
题型五 古典概型的判断
【例5-1】以下试验不是古典概型的有（ ）
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
【答案】C
【解析】A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；
B选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；
C选项中，不满足等可能性，不是古典概型；
D选项中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．
故选：C．
【例5-2】下列试验是古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
【答案】C
【解析】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；
对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；
对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；
对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；
故选：C.
题型六 古典概型的样本空间
【例6-1】某活动小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选2人中没有男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设2名男生为，3名女生为，从5人中选2人的总选法为，共10种不同选法，
则没有男生的选法共3种：，故所求概率为．故选:B.
【例6-2】从一个装有2黄2绿的袋子里，
(1)有放回的摸球两次,两次摸到的都是绿球的概率是多少？
(2)不放回的摸球两次,两次摸到的都是绿球的概率是多少？
【答案】(1)(2)
【解析】（1）对有放回的摸球，第一次摸出绿球的概率，第二次摸出绿球的概率，故两次摸到的都是绿球的概率是.
（2）对不放回的摸球，所有可能的结果共有种，两次都摸到绿球的结果有种，根据古典概型概率的求法，不放回的摸球两次摸到的都是绿球的概率为.
题型七 概率的性质
【例7-1】甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】最后甲获胜含3种情况：①第三局甲胜，概率为；②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为；
③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为．所以最后甲获胜的概率为．
故选：D
【例7-2】已知，，如果，那么（ ）
A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3
【答案】A
【解析】∵，∴，互斥，∴.故选：A.
【例7-3】已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】C
【解析】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，
所以.故选：C.
【例7-4】班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
【答案】(1)答案见解析；(2)方案三获得奖品的可能性更大，理由见解析
【解析】（1）记摸到1，2，3号红球分别为，，，摸到4，5号黄球分别为，，
则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，共10个；
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个；
（2）方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件A包含，，，，共4个样本点，故；
方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，
则由（1）知事件B包含，，，，，，，，共8个样本点，故；
方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为、，
则所有可能的基本事件对应的二元有序数组表示如下表，共25个基本事件，
在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，
则事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15个样本点，故；
因为，所以选择方案三获得奖品的可能性更大.
10.1 随机事件与概率（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 随机事件的判断
【例1】下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.故选：B
【一隅三反】
1．下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；
③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B
2.下列事件中，属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
【答案】①③
【解析】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；
对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；
对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；
综上：属于随机现象的序号是①③.故答案为：①③.
3．下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.
【答案】 ①③ ②④ ⑤
【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；
因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；
事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；
因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件；
因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件．
故答案为：①③，②④，⑤．
4．在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
【答案】①③
【解析】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，
对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，
对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，
对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，故答案为：①③.
考点二 有限样本空间
【例2】一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则这个试验的样本空间为Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1号球和2号球]
（2）“2个球都是白球”这一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.
【一隅三反】
1．做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为
【解析】（1）样本空.
（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.
（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.
2．先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．
【答案】(1)Ω，；
(2)，．
【解析】(1)用表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成的形式，其中都是中的数．
因此，样本空间Ω，；
(2)根据题意，，．
3．已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；(2)(3)(4)得到的点是第三象限内的点.
【解析】(1)样本空间为：
(2)由知这个试验样本点的总数为.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.
考点三 事件的关系与运算
【例3-1】某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件D．B与D为互斥事件
【答案】C
【解析】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；
事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；
事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；
事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.
故选：C.
【例3-2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
【答案】B
【解析】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确；
事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确；
事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确；
事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确.
故选：B
【一隅三反】
1．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
【答案】C
【解析】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．
所以事件中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；
事件中所含的样本点为（2，4），共1个．故选：C．
2．（设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
【答案】A
【解析】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.故选：A.
考点四 古典概型
【例4-1】下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；
选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；
选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．
故选：B
【例4-2】12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，
则共有：10种情况，
满足条件的有4种情况，则.故选：D
【一隅三反】
1．下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
2．袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，所有事件的结果数有18种，其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.
故答案为：C
3．当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；
(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.
【答案】(1)；(2)75，73.5；(3)
【解析】（1）依题意可得：，解得：；
（2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为，
平均数的估计值为，
所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5..
（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，
现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1.
分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5.中所抽取的1人编号为.
所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，，
，共15个样本点.
其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以.
所以这2人来自不同组的概率为.
考点五 概率的性质
【例5-1】已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；因为，所以，而不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故D正确.
故选：D.
【例5-2】若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【解析】事件为两个互斥事件，，，故①正确；
事件为两个互斥事件，则，，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，综上，①③④正确，
故选：A．
【一隅三反】
1．设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为，，若事件A，B为对立事件，则；
但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，
所以“”是“事件A，B为对立事件”的必要不充分条件.
故选：B.
2．袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，则，故C正确；
，则，故A错误；
，则，故B错误；
，故D错误，故选：C.
3．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，，，则，最多输入2次就能开锁的概率是.故选：C.
10.1 随机事件与概率（精练）
1．下列有关古典概型的说法中，错误的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
【答案】B
【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A，C正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确，故选：B
2．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【解析】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，
符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，
受多方面因素影响.故选：B.
3．从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰有1名男生”与“全是男生”
B．“至少有1名男生”与“全是女生”
C．“至少有1名男生”与“全是男生”
D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
【答案】A
【解析】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件；
对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件；
对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件；
对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 能同时发生，所以不是互斥事件；
故选：A.
3．抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，显然，，，C不含于A.故选：D
4．从2本不同的语文书和3本不同的数学书中任取2本，则取出的都是数学书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】两本语文书用表示，3本不同的数学书用表示，则任取2本的情况有，共10种，其中取出的都是数学书有，共3种，故取出的都是数学书的概率为，故选：C
5．现有6个大小相同､质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】任取两个小球，则出的球中有数字3的事件有，共9个基本事件，其中所取出的两个小球上数字都是3的基本事件共1个，所以所取出的两个小球上数字都是3的概率.故选：C
6．为培养学生“爱读书､读好书､普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团．甲､乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】记人文社科类､文学类､自然科学类三个读书社团分别为，则甲､乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有共9种，而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有共3种，故这两位同学恰好参加同一个社团的概率.
故选：A
7．某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：
（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b），（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b），其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况
则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为
故选：A
8．计划将包括甲在内3名男性志愿者和4名女性志愿者分配到A，B两个社区参加服务工作，其中1名男性志愿者和1名女性志愿者去A社区，其他都去B社区，则甲去A社区的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设3名男性志愿者为甲､乙､丙，4名女性志愿者为A1，B1，C1，D1.
1名男性志愿者和1名女性志愿者被分配到A社区的基本事件有
（甲，A1），（甲，B1），（甲，C1），（甲D1），（乙，A1），（乙，B1），（乙，C1），（乙，D1），
（丙，A1），（丙，B1），（丙，C1），（丙，D1），共12种，
其中甲被分配到A社区的有（甲，A1），（甲，B1），（甲，C1），（甲，D1）共4种，
故甲被分配到A社区的概率.故选:C.
9．从1,2,3,4这4个数中,不放回的任意取两个数,两个数都是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题知,不放回的从1,2,3,4中任意取两个数,
所有可能的结果有:,共12种,
其中包含两个数都是偶数的结果有:,共2种,所以两个数都是偶数的概率是.
故选:A
10.一个袋子中有3个红球和n个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．若取出的2个球都是红球的概率为，则n为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】在个球中有个红球，采用不放回方式依次随机取2个球，都是红球的概率为，解得，故选：C
11．现将三张分别印有数字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入一个盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“1”，一张为“2”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从盒子中依次有放回地取出两张卡片，取出的所有可能情况为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9种．满足一张为“1”，一张为“2”的的取法为（1，2），（2，1），共2种情况，所以所求的概率．故选：C.
12．一个口袋中有大小形状完全相同的2个红球和3个白球，从中有放回地依次随机摸出2个球，第2次取出红球的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】有放回地摸球，第2次与第1次摸球是相互独立的，因此第2次取出红球的概率为．
故选：A．
13．一个袋子中装有大小完全相同的3个红球和2个白球.若每次均从袋中随机摸出1个球，记录其颜色后放回袋中，同时再在袋中放入2个与摸出的球颜色、大小相同的球，则第二次摸出白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率；若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率.综上，第二次摸出白球的概率.故选：B.
14．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1名男生与全是男生；
B．至少有1名男生与全是女生；
C．恰有1名男生与恰有2名男生；
D．至少有1名男生与至少有1名女生．
【答案】C
【解析】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误；
对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误；
对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确；
对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误.
故选：C.
15．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0B．0.3C．0.6D．0.4
【答案】D
【解析】因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，故选：D
16．甲、乙两人下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得乙获胜的概率是，故选：C
17．“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
【答案】D
【解析】概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为.故答案为：D
18．从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65C．0.3D．0.05
【答案】D
【解析】“抽到次品”的概率：.故选：D
19．下列试验是古典概型的为______．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④甲乙等10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【答案】①②④
【解析】因为古典概型需要满足基本事件是有限个，且每个基本事件的概率相等，
据此①②④均符合要求，③不满足等可能的要求，因为降雨受多方面因素影响.
故答案为：①②④.
20．袋子中有5大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球都是黄球的概率为__________.
【答案】
【解析】由题意可给这五个球分别标上号码,红球为1,2,黄球为3,4,5,可得从中不放回地依次随机摸出2个球，共有基本事件如下， ,共10个,其中摸出的2个球都是黄球的基本事件有共个，故摸出的2个球都是黄球的概率为，
故答案为：
21．判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，哪些是不可能事件．
(1)某地1月1日刮西北风；
(2)当是实数时，；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4)一个电影院某天的上座率超过．
【答案】(1)随机现象(2)确定性现象(3)不可能事件(4)随机现象
【解析】（1）根据随机事件的概念可知，某地1月1日刮西北风属于随机现象.
（2）当是实数时，恒成立，故当是实数时，是确定性现象.
（3）根据不可能事件的概念可知，手电筒的电池没电，灯泡发亮属于不可能事件.
（4）根据随机事件的概念可知，一个电影院某天的上座率超过属于随机现象.
22．分析下面两句话里含有怎样的随机性．
(1)有意栽花花不发，无心插柳柳成荫．
(2)只在此山中，云深不知处．
【答案】(1)“有意栽花花不发，无心插柳柳成荫”该现象的发生具有随机性
(2)“只在此山中”是确定的，而具体在哪个位置是随机的
【解析】（1）“有意栽花花不发，无心插柳柳成荫”该现象的发生具有随机性.
（2）“只在此山中”是确定的，而具体在哪个位置是随机的.
23．一个不透明的布袋，袋中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄色，2个是白色，充分摇匀．
(1)从袋子里任意取出2个球，取出的2个球都是黄色的是______现象；
(2)任意摸出3个乒乓球，会出现哪几种可能的结果？
(3)请自己设计出一个确定性现象和随机现象．
【答案】(1)随机
(2)会出现“黄黄黄”“黄黄白”“黄白白”三种可能的结果；
(3)“任取三个球，其中有黄球”是确定性现象；“任取两个球，其中有黄球”是随机现象．
【解析】（1）从袋子里任意取出2个球，取出的2个球可能都是黄色，也可能都是白色，还可能是一黄一白，因此“取出的2个球都是黄色的”这是随机现象；
（2）由于有4个黄球，只有2个白球，因此任取三个球，所有可能的结果是：黄黄黄，黄黄白，黄白白．
（3）由（2）可知“任取3球，必有黄球”是确定性现象．由（1）知“任意取出2个球，取出的2个球黄色”是随机现象．
24．如图，一个电路中有，，三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，元件处于正常状态记为“1”，处于失效状态记为“0”，把每个元件是否处于正常状态看成随机现象，记表示，，的状态，，，，指出下列随机事件的含义．
(1)事件；
(2)事件；
(3)事件．
【答案】(1)三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态
(2)这个电路是通路
(3)这个电路是断路
【解析】（1）解：观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中都有两个1，一个0，
故事件的含义为三个电器元件中恰好有两个电器元件处于正常状态．
（2）观察事件中所含的样本点，，，
知每个样本点中第一个数均为1，第二个数和第三个数中至少有一个为1，
故事件的含义为这个电路是通路．
（3）观察事件P中所含的样本点，，，，，
知这五个样本点可划分为两类：
第一类：，，，，这四个样本点中第1个数均为0；
第二类：，该样本点中第一个数为1，第二个数和第三个数均为0．
这两类样本点包含了这个电路是断路的所有情况．
故事件P的含义为这个电路是断路．
25．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出对应的样本空间；
（2）求这个实验的样本空间中样本点的个数；
（3）写出“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示.
【答案】（1）（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）8；（3）（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
【解析】（1）样本空间（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；
（2）样本点个数是8；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件的集合表示为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.
26．做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.
（1）求这个试验样本点的个数；
（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
【解析】（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.
（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.
27．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A={出现点数1}，B={出现点数3或4}，C={出现的点数是奇数}，D={出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求，，，，．
【答案】(1)答案见解析
(2)，{出现点数1，3或4}，{出现点数1，2，4或6}，{出现点数4}，{出现点数1，3，4或5}．
【解析】(1)在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作{出现的点数i}（其中，2，…，6）．则，，，．
事件A与事件B互斥，但不对立；
事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；
事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；
事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)，{出现点数1，3或4}，
{出现点数1，2，4或6}，
{出现点数4}，
{出现点数1，3，4或5}．
28．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
29．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢．
(1)求的概率；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)这种游戏规则不公平，理由详见解析
【解析】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，
其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得；
（2）这种游戏规则不公平，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，
由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个，
由古典概型的概率计算公式可得，∴，
∵，故这种游戏规则不公平．
30从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率：
(1)这个数既能被2整除也能被3整除；
(2)这个数能被2整除或能被3整除；
(3)这个数既不能被2整除也不能被3整除．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴；
（2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，
所以，，；
（3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，则．
1．（多选）从中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，不是对立事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ABD
【解析】根据题意，从中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，
“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，
①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；
②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是对立事件；
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件：
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件，
故选:ABD．
2．（多选）抛掷一枚质地均匀的股子，定义以下事件：“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数大于3”，“点数为4”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，“点数大于3”，“点数大于2”，显然，A正确；
对于B，“点数为4”，“点数大于3”，，B正确；
对于C，由A选项知，，则，C错误；
对于D，“点数大于2”，“点数不大于2”，显然不能同时发生，则，D正确.
故选：ABD.
3．（多选）从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，
C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶数”，
E=“至多有一个奇数”.
下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．，
【答案】ABD
【解析】事件都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件有公共事件，故C错误；此时是对立事件，所以，.
故选：ABD
4．（多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A．B．是必然事件
C．D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正确；
对于B选项，事件指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；
对于C选项，事件A和B不可能同时发生，即事件，故C错误；
对于D选项，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．
故选：AB．
5．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A⊆DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D ，A∪C＝D.故A、C正确；
因为事件B，D为互斥事件，所以B∩D＝.故B正确；
对于D：A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等.故D错误.
故选：ABC.
6．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），，，
，,
由集合的包含关系可知BCD正确；
故选：BCD
7．（多选）下列概率模型不属于古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
C．一只使用中的灯泡的寿命长短
D．中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”
【答案】ACD
【解析】由古典概型的特点：等可能性、有限性
A：基本事件是无限的，排除；
C：每只灯泡寿命长短具有不确定性，不符合等可能性，排除；
D：月饼质量评价有主观性，不符合等可能性，排除；
而B，每个人选到的可能性相等且总共有8个人，满足古典概型的特征.
故选：ACD
8．(多选)下列试验是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率
C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率
D．老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人作典型发言，甲被选中的概率
【答案】BD
【解析】A：在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率，不符合等可能性；
B：从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的；
C：向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率，不符合有限性；
D：老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的；
故选：BD
9．(多选)下列试验是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等
B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
【答案】ABD
【解析】由古典概型的定义和特点知：A，B，D是古典概型，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选：ABD
10．（多选）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A．甲获胜的概率是B．甲不输的概率是
C．乙输的概率是D．乙不输的概率是
【答案】BCD
【解析】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误；
故选：BCD
11．在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，
（1）试用样本点表示事件与；
（2）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；
（3）试用事件表示随机事件A.
【答案】（1）详见解析（2）事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.（3）
【解析】由题意可知试验E的样本空间为,
,,
,,
.
（1）因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有,即.
因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有,即.
所以,.
（2）因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以.
因为,,,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.
（3）因为事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为”,
所以,
所以.
12．在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”.
（1）试用样本点表示事件，，，；
（2）试用样本点表示事件，，，；
（3）试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥
【解析】用H代表“出现正面”,用T代表“出现反面”.
,
,,
.
（1）,,
,
.
（2）,,
,.
（3）,,
,∴A与B不互斥,A与C不互斥,B与C不互斥.
13．掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
【答案】(1)，.
(2)，．
(3)，，，．
【解析】（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
14．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件={出现1点}，事件={出现2点}，事件={出现3点}，事件={出现4点}，事件={出现5点}，事件={出现6点}，事件={出现的点数不大于1}，事件={出现的点数大于3}，事件={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
【答案】(1)答案见解析(2),
【解析】（1）因为事件，，，发生，则事件必发生，
所以，，，．
同理可得，事件E包含事件，，，，，；事件包含事件，，；事件F包含事件，，；事件G包含事件，，．
因为在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
所以事件与事件相等，即．
（2）因为事件{出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}，
所以（或）．
同理可得，，，，，
即事件,为和事件.
15．2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组[，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中数据落在的频率
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
【答案】(1)0.4(2)52.5(3).
【解析】（1）依题意，样本中数据落在的频率为：
（2）样本数据的第50百分位数落在第四组，
且第50百分位数为.
（3）与两组的频率之比为.现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为；组抽取4人，记为.
所有可能的情况为共15种.其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.
16．某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格：
假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元．
(1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？
(2)若采购员检查完前3箱（即第箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率．
【答案】(1)5850元(2)
【解析】（1）由表可知，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱，
所以这10箱苹果的价格为元，
故采购员共1000kg苹果需要元．
（2）设第箱分别记为A，B，C，D，E，F，G
（其中A，F，G这3箱有一个烂果），
从7箱中任选2箱，所有的情况为，，，，，，
，，，，，，，，，
，，，，，，共21种，
其中没有A，F，G的有6种情况，故采购员按照这个价格采购苹果的概率为．
17．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如下频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.
【答案】(1)(2)107.4分(3)
【解析】（1）由频率分布直方可知，，解得；
（2）由图可知，语文成绩在，，，，，，的频率分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，
则
故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；
（3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，
按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A，B，C，D，
在的学生有1名，记为e，
从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，
其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae，Be，Ce，De，
则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.
18.某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图：
工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品.
(1)求今年一月份生产的产品长度在的件数；
(2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率.
【答案】(1)件；(2)
【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）.
（2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中，
在的产品有（件），设编号分别为、、
在的产品有（件），编号分别为、、、，
则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、
、、、、、、、，共有个基本事件，
其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有：
、、、、、、、、、
、、，共个基本事件，故所求概率为.
19.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在，，三组中，其中a，b，．当数据a，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）
【答案】(1)；(2)；(3)79，84，90或79，85，90
【解析】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人；
（2）成绩在有2名学生，设为；有2名学生，设为，
故抽取2名学生的情况有：，共6种情况，
其中恰有1人体育成绩在的情况有：，共4种情况，
故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在的概率为；
（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中，
要想数据的方差最小，则三个数据的差的绝对值越小越好，故，
则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为，
故方差，对称轴为，故当或85时，取得最小值，
的值为79，84，90或79，85，90.
20．开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．
(1)求n的值；
(2)已知抽取的n名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为．
因为成绩在内的频数为3，所以抽取的样本容量．
（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为，
因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生．
用丙，丁表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种．
所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为
21．中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）；
(2)从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率.
【答案】(1)，中位数约为(2)
【解析】（1）解：由频率分布直方图可得，解得，
因为，，所以中位数位于之间，
设中位数为，则，解得，即中位数约为.
（2）解：由题意中抽取人，
中抽取人，中抽取人，
分别记作、、、、、，
从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、
、、、、、、共个结果，
其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果，
所以这人考核成绩来自同一分数段的概率.
22．我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，有600名学生选择物理科，400名学生选择历史科.分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：
(1)利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；
(2)从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）解：由表格数据知，随着数学成绩分数的提升，选择物理方向学生的占比有明显的提升.
所以数学成绩越好，其选择物理科方向的概率越大.频率分布直方图如下：
（2）解：设“选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科的学生的数学成绩一个分数段”为事件C
选择物理科的学生考分在，，分别事件，，，
选择历史科的学生考分在，，的事件分别为，，
由表得､，，
因为“选择物理科的学生考分在何分数段”与“选择历史科的学生考分在何分数段”相互独立，
，，，，，也明显互斥
所以
.
23．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4个红球，个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么是多少？
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即，
设事件“两次取出的都是红球”，则，
设事件“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则，
设事件“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则，
设事件“两次取出的都是绿球”，则，
因为事件两两互斥，
所以P（第二次取到红球）.
（2）由（1）得，P（两次取到的球颜色相同）；
（3）结合（1）中事件，可得，，
因为，所以，即，解得（负值舍去），
故.
定义
符号
图示
包含关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \x\t(A)
A∪B＝Ω
A∩B＝∅
定义
符号
图示
并事件
(或和事件)
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(或积事件)
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
第1箱
第2箱
第3箱
第4箱
第5箱
第6箱
第7箱
第8箱
第9箱
第10箱
烂果个数
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
分数段
物理人数
历史人数