人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案，文件包含第04讲复数的乘除运算教师版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第七章docx、第04讲复数的乘除运算学生版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第七章docx等2份学案配套教学资源，其中学案共59页， 欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点
复数的乘法及其运算律
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
【微点拨】(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
（3）记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；③eq \f(1,i)＝－i.
【即学即练1】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】在复平面内，若复数z对应的点为（1，1），则（ ）
A．﹣1B．1C．2D．
【即学即练3】复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【即学即练4】如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【即学即练5】已知复数满足（其中i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．-2iC．1D．i
【即学即练6】若，则（ ）
A．B．C．1D．
【即学即练7】已知，是虚数单位，若，，则的值可以是（ ）
A．B．C．－D．
【即学即练8】对任意复数为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练9】已知复数，其中是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．的模等于B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．的共轭复数为D．若是纯虚数，则
【即学即练10】已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数，则.
B．复数满足，在复平面内对应的点为，则.
C．若复数，满足，则.
D．复数的虚部是1.
【即学即练11】______.
【即学即练12】______.
【即学即练13】当为奇数时，的值为___________．
【即学即练14】方程的一个根是，则方程的另外两个根为________．
【即学即练15】计算：i2 019＋(＋i)8－50＋.
能力拓展
考法01
复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
【典例1】______.
【典例2】计算：___________．
【即学即练16】若，则满足等式的复数________.
【典例3】设，求证：
（1）
（2）
（3）
考法02
在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
【典例4】．______.
【典例5】______.
【典例6】计算：______．
考法03
i的运算性质
【典例7】规定，，求证：，，，对一切都成立．
【典例8】已知为虚数单位，复数满足，则___________.
【典例9】计算：___________.
【即学即练17】-16的平方根是______．
【即学即练18】计算：______．
考法04
复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
【典例10】若关于的方程有一实根，则_____．
考法05
复数范围内的解方程与因式分解
【典例11】方程的解为__________．
【典例12】（1）在实数集中分解因式：__________；
（2）在复数集中分解因式：__________；__________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
2. 若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（ ）.
A．B．C．D．
3. 已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
4. 方程在复数集内解的个数为（ ）.
A．B．C．D．
5. 设复数在复平面内对应的点为，则( )
A．B．C．D．
6. 已知复数满足，则（ ）
A．B．1C．2D．
7. 若是纯虚数，满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8. 已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
9. ，的不同取值的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10. 若复数z的共轭复数是，且z+=6，z·=10，则z=（ ）
A．1±3iB．3±i
C．3+iD．3-i
11. 已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
12. 若（其中为虚数单位）是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
13. 设若、、为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14. 已知复数满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
15. 设复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
16. 欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
17. 满足+=2n的最小自然数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18. 设的共轭复数是，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．
19. 已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是和，下列结论中恒成立的是（ ）
A．和互为共轭复数B．
C．D．
20. 设有下面四个命题:
(1)若复数满足则(2)若复数满足则
(3)若复数满足则(4)若复数满足则
则正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题组B 能力提升练
1. 若方程有两个虚根，且，则实数m的值为（ ）
A．B．C．2D．
2. 已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3. 复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4. 设，若，则可以取（ ）
A．6B．8C．10D．12
5. 已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ）
A．4B．2C．0D．
6. （多选）已知复数是一个纯虚数，则下列数中可以为n的值的是（ ）
A．－3B．6C．8D．9E.12
7.（多选题）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共扼复数为，则（ ）
A．B．的实部是2
C．的虚部是1D．复数在复平面内对应的点在第一象限
8.（多选题）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．
B．为纯虚数
C．的共轭复数为
D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称
9.（多选题）设，则集合{x|x＝f(n)}的元素有（ ）
A．2B．0
C．－2D．1
10.（多选题）有下列四个命题，其中正确的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①B．②
C．③D．④
11.（多选题）若，则可以是（ ）
A．104B．106C．108D．109
12. （多选题）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（ ）
A．B．C．D．1
13.（多选题）已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
14. 若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
15. 若，则的值为________．
16．若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为____.
17. 在复平面内，复数对应点，复数对应点，把向量绕点顺时针旋转得到向量，则点P对应的复数是______．
18. 若，且，则___________.
19. 以满足复数在复平面上对应的点为顶点，构成一个对称实轴的多边形，它的面积等于______________．
20. 有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是_________________．（写出所有正确命题的序号）
21. 已知是关于的方程的一个根，设，，且为纯虚数，则__________．
22. 方程的解集是______．
23. 若z满足方程，则的值是______．
24. 在复数范围内分解因式：______．
25. 若非零复数满足，则的值是___________.
C 培优拔尖练
1. 在复数范围内分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
2. 设，求证：
（1）
（2）
（3）
3. 在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．
4. 在复数集C内解下列方程：
（1）
（2）
5. 设z是虚数，z，，对应的向量分别为，，，试指出：
（1）和的关系；
（2）和的关系.
6. 求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）；
（2）.
7. 已知复数满足，的虚部是.
（1）求复数；
（2）设、、在复平面上的对应点分别为、、，求的面积.
8. ．已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．
9. 已知复数满足，，且在复平面内对应的点在第二象限.
（1）求复数﹔
（2）若复数满足，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.
10. 已知为复数，和均为实数，其中为虚数单位.
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
课程标准
课标解读
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
通过本节课的学习，要求掌握复数的乘、除法的运算方法，掌握复数单位的应用价值，能用实数化的思想解决复数问题.
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3