资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩44页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念学案设计
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念学案设计，文件包含第04讲平面教师版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第八章docx、第04讲平面学生版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第八章docx等2份学案配套教学资源，其中学案共65页， 欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍；
当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．
3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作Pa；
点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；
点B不在平面α内，记作Bα；
直线a在平面α内，记作aα；
直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；
平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个基本事实：
（1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：
作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：
作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：
作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
2.三个推论
（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：
（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：
（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：
【微点拨】对三个基本事实的理解
（1）对于基本事实1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是基本事实2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
【即学即练1】如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【即学即练2】以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【即学即练3】下列叙述中，正确的是（ ）．A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【即学即练4】以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线平面α，直线平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若，直线平面α，直线平面β，且，则；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是
A．①②B．②③C．③④D．①③
【即学即练5】如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．以上均不正确
【即学即练6】以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【即学即练7】在平地上，自行车侧旁的撑脚放下能确保自行车的稳定，其反映的立体几何知识是：______________________.
【即学即练8】经过一点可作___________个平面，经过两点可作___________个平面，经过三点可作___________个平面，经过不共面的四点可作___________个平面.
【即学即练9】在空间四边形中，点E，F，G，H分别在，，，上，若直线与相交于点P，则点P与直线的关系是___________.
【即学即练10】画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
【即学即练11】请指出下列说法是否正确，并说明理由：
(1)空间三点确定一个平面；
(2)如果平面与平面有公共点，那么公共点就不止一个；
(3)因为平的斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．
【即学即练12】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
能力拓展
考法01
1．三种语言的转换
学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．
要注意：（1）正确区分点、直线、平面之间位置关系的符号表示；
（2）用图形表示时，正确区别实线和虚线．
【典例1】如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：
①点，在直线上________；②直线在平面内________；③点在直线上，点在平面内________.
【典例2】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
（1）A∉α，a⊂α_____.
（2）α∩β=a，P∉α，且P∉β_____.
（3）α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O_____.
【典例3】用符号语言表示下列语句，并画出图形：
（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
【典例4】用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
【答案】(1)；
(2)平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)点M平面，点M直线l.
考法02
2.点、线共面问题
基本事实1、基本事实2及其推论是证明点、线共面的主要依据．常用的方法有：
（1）纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其他的元素也在此平面内．
（2）辅助平面法：先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明，重合．
【典例5】下面三条直线一定共面的是（ ）
A．a，b，c两两平行B．a，b，c两两相交
C．a∥b，c与a，b均相交D．a，b，c两两垂直
【典例6】如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
【典例7】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【典例8】求证：两两相交且交点不止一个的四条直线a、b、c、d共面．
考法03
3．平面的交线问题
根据基本事实3，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点．
【典例9】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【典例10】在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上
【典例11】．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点D．点和点
考法04
4．三点（多点）共线问题
点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3．常用方法有：
（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
【典例12】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【典例13】如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
考法05
5．三线共点问题
证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点．
【典例14】如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【典例15】如图，不共面的四边形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求证：三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
2. 下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线D．一条直线和一个点
3. 设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①， ②， ③，，，
④且，，，
A．①②B．②③C．②③D．③④
4. 空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（ ）
A．一定构成三角形B．一定共线C．不一定共线D．与共面
5. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A． 四点不共面B． 四点共面
C． 三点共线D． 三点共线
6. 一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（ ）部分.
A．2nB．C．D．
7. 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
A．B．
C．D．
8. 下列结论中不正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
9. 在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（ ）
A．点必在直线上B．点必在直线上
C．点必在平面内D．点必在平面内
10. A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
D．lα，nα，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面
11. 平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
题组B 能力提升练
1. （多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，D．，，
2. (多选)以下四个命题中，正确的是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
4. 在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（ ）
A．B．
C．与相交D．
5. 三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
6. (多选题)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
7. 空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
8. 若直线与平面相交于点，、，、，且，则、、三点的位置关系是______．
9. 如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______．
10. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.
11. 思考辨析.
（1）直线l在平面α内，记作l∈α.( )
（2）若a∩b＝∅，则a与b平行．( )
（3）若l∩α≠∅，则直线l与平面α有公共点．( )
（4）若直线l在平面α外，则直线l与平面α平行．( )
（5）若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( )
12. 如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
13. 在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号）
（1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面.
C 培优拔尖练
1. 如图，在正方体中，M是的中点，试作出平面与平面ABCD的交线．
2. 如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
3. 已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.
4. 如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
5. 已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
6. 如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：
（1）四点共面；
（2）若交平面于R点，则三点共线.
课程标准
课标解读
理解三种语言的转换与翻译，三个基本事实的掌握
与运用；
会用图形语言、符号语言表示点与直
线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系．
3.能初步判断点与线、点与面、线与面的位置关系.
通过本节课的学习，要求掌握三种语言表达几何中的位置关系，并能运用基本事实及推论证明点与线、点与面、线与面的位置关系.
目标导航
知识精讲
知识点
一、平面
1．平面的概念
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．
2．平面的画法
在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．
（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的 2倍；
当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．
（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．
3．平面的表示
为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”，“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”，“”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：
点P在直线a上，记作Pa；
点Q不在直线a上，记作Qa；
点A在平面α内，记作Aα；
点B不在平面α内，记作Bα；
直线a在平面α内，记作aα；
直线l不在平面α内，记作lα；
直线a与b相交于点A，记作a∩b=A；
平面α，β相交于直线l，记作α∩β=l．
二、平面的基本性质
1．三个基本事实：
（1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：
作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．
（2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：
作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：
作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．
2.三个推论
（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：
（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：
（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：
【微点拨】对三个基本事实的理解
（1）对于基本事实1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．
（2）“不在一条直线上”和“三点”是基本事实2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．
（3）基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．
【即学即练1】如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【即学即练2】以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【即学即练3】下列叙述中，正确的是（ ）．A．因为，，所以
B．因为，，所以
C．因为，，，所以
D．因为，，所以
【即学即练4】以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线平面α，直线平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若，直线平面α，直线平面β，且，则；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．其中正确的是
A．①②B．②③C．③④D．①③
【即学即练5】如图所示，平面平面，点，点，直线.设过三点的平面为，则（ ）
A．直线B．直线
C．直线D．以上均不正确
【即学即练6】以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【即学即练7】在平地上，自行车侧旁的撑脚放下能确保自行车的稳定，其反映的立体几何知识是：______________________.
【即学即练8】经过一点可作___________个平面，经过两点可作___________个平面，经过三点可作___________个平面，经过不共面的四点可作___________个平面.
【即学即练9】在空间四边形中，点E，F，G，H分别在，，，上，若直线与相交于点P，则点P与直线的关系是___________.
【即学即练10】画出满足下列条件的图形（其中A，B，M表示点，m，n，a，b表示直线，，表示平面）：
(1)，，，；
(2)，，，，；
(3)，，，．
【即学即练11】请指出下列说法是否正确，并说明理由：
(1)空间三点确定一个平面；
(2)如果平面与平面有公共点，那么公共点就不止一个；
(3)因为平的斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交．
【即学即练12】如图，已知平面，，且.若梯形中，，且，.求证：，l共点（相交于一点）.
能力拓展
考法01
1．三种语言的转换
学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．
要注意：（1）正确区分点、直线、平面之间位置关系的符号表示；
（2）用图形表示时，正确区别实线和虚线．
【典例1】如图所示，用符号语言表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系：
①点，在直线上________；②直线在平面内________；③点在直线上，点在平面内________.
【典例2】把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
（1）A∉α，a⊂α_____.
（2）α∩β=a，P∉α，且P∉β_____.
（3）α∩β=a，α∩γ=c，β∩γ=b，a∩b∩c=O_____.
【典例3】用符号语言表示下列语句，并画出图形：
（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
【典例4】用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
【答案】(1)；
(2)平面平面=直线l，直线m平面；
(3)点A平面，点A直线l，直线l平面；
(4)点M平面，点M直线l.
考法02
2.点、线共面问题
基本事实1、基本事实2及其推论是证明点、线共面的主要依据．常用的方法有：
（1）纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其他的元素也在此平面内．
（2）辅助平面法：先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明，重合．
【典例5】下面三条直线一定共面的是（ ）
A．a，b，c两两平行B．a，b，c两两相交
C．a∥b，c与a，b均相交D．a，b，c两两垂直
【典例6】如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
【典例7】如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：
（1）、、、四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【典例8】求证：两两相交且交点不止一个的四条直线a、b、c、d共面．
考法03
3．平面的交线问题
根据基本事实3，如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点．
【典例9】如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【典例10】在三棱锥A－BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上
【典例11】．如图，平面平面，直线，过三点确定的平面为，则平面的交线必过（ ）
A．点B．点C．点，但不过点D．点和点
考法04
4．三点（多点）共线问题
点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3．常用方法有：
（1）首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．
【典例12】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
【典例13】如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
考法05
5．三线共点问题
证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点．
【典例14】如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
【典例15】如图，不共面的四边形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求证：三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．
分层提分
题组A 基础过关练
1. 下列叙述错误的是（ ）
A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.
B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.
C．三点A，B，C确定一个平面.
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则lα.
2. 下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线D．一条直线和一个点
3. 设l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，Q表示一个点，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
①， ②， ③，，，
④且，，，
A．①②B．②③C．②③D．③④
4. 空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（ ）
A．一定构成三角形B．一定共线C．不一定共线D．与共面
5. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A． 四点不共面B． 四点共面
C． 三点共线D． 三点共线
6. 一个平面将空间分成两部分，两个平面最多将空间分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分……由此猜测，个平面最多将空间分成（ ）部分.
A．2nB．C．D．
7. 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
A．B．
C．D．
8. 下列结论中不正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
9. 在空间四边形各边、、、上分别取点、、、，若直线、相交于点，则（ ）
A．点必在直线上B．点必在直线上
C．点必在平面内D．点必在平面内
10. A，B，C表示不同的点，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列推理表述不正确的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈β，B∈α⇒α∩β＝直线AB
C．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合
D．lα，nα，l∩n＝A⇒l与n不能确定唯一平面
11. 平面内条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（ ）
A．个B．个
C．个D．个
题组B 能力提升练
1. （多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，D．，，
2. (多选)以下四个命题中，正确的是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线B．，，，四点共面
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
4. 在空间四面体中，如图，分别是的中点，则下列结论一定正确的为（ ）
A．B．
C．与相交D．
5. 三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
6. (多选题)如图，正方体中，若分别为棱的中点，分别是四边形，的中心，则（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
7. 空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
8. 若直线与平面相交于点，、，、，且，则、、三点的位置关系是______．
9. 如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______．
10. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.
11. 思考辨析.
（1）直线l在平面α内，记作l∈α.( )
（2）若a∩b＝∅，则a与b平行．( )
（3）若l∩α≠∅，则直线l与平面α有公共点．( )
（4）若直线l在平面α外，则直线l与平面α平行．( )
（5）若α∩β≠∅，则平面α与平面β相交，且交于一个点．( )
12. 如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
13. 在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号）
（1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面.
C 培优拔尖练
1. 如图，在正方体中，M是的中点，试作出平面与平面ABCD的交线．
2. 如图，正方体中，，分别为，的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）若，，与平面交于点，求证：三点共线．
3. 已知正方体中，G，H分别是，的中点，求证：，，延长后相交于一点.
4. 如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.
（1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）；
（2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
5. 已知棱长为1的正方体，、、、、、分别相应棱的中点如图所示
（1）求证：、、、、、六点共面；
（2）求证：、、三线共点；
（3）求几何体的体积．
6. 如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：
（1）四点共面；
（2）若交平面于R点，则三点共线.
课程标准
课标解读
理解三种语言的转换与翻译，三个基本事实的掌握
与运用；
会用图形语言、符号语言表示点与直
线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系．
3.能初步判断点与线、点与面、线与面的位置关系.
通过本节课的学习，要求掌握三种语言表达几何中的位置关系，并能运用基本事实及推论证明点与线、点与面、线与面的位置关系.
相关学案
人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案： 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000291_t4/?tag_id=42" target="_blank">第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案</a>，文件包含第03讲平面向量的数乘运算教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc、第03讲平面向量的数乘运算学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算导学案及答案： 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000291_t4/?tag_id=42" target="_blank">6.2 平面向量的运算导学案及答案</a>，文件包含第02讲平面向量的加减法运算教师版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc、第02讲平面向量的加减法运算学生版-高一数学同步精品讲义人教A版必修第二册doc等2份学案配套教学资源，其中学案共56页， 欢迎下载使用。
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀导学案： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000306_t4/?tag_id=42" target="_blank">第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直优秀导学案</a>，文件包含第07讲空间直线平面的垂直教师版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第八章docx、第07讲空间直线平面的垂直学生版-高一数学同步精品讲义人教A必修二第八章docx等2份学案配套教学资源，其中学案共90页， 欢迎下载使用。
