2023_2024学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用午练3向量的数量积新人教A版必修第二册

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午练3　向量的数量积1.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则的值等于(　　)A.-2 B.2 C.-2 D.22.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为(　　)A.2e B.e C.2e D.4e3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为(　　)A.60° B.120° C.135° D.150°4.设a,b均为单位向量,且|a-b|=1,则|a-2b|=(　　)A. B. C.3 D.75.(多选题)已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是(　　)A.a·b=b·aB.·b=a·C.·c=a·c+b·cD.·c=a·6.P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　)A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形7.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ=　　　　. 8.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则=　　　　　. 9.已知e1、e2是单位向量,其夹角为,若|me1+ne2|=(m,n∈R),则m+2n的最大值为.　10.已知|a|=3,|b|=4,|a-b|=.(1)求;(2)求|a+2b|的值.11.已知向量a、b的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b.(1)求a·b;(2)试用t来表示m·n的值;(3)若m与n的夹角为钝角,试求实数t的取值范围.午练3　向量的数量积1.B　=||||cos∠ABC=2××cos45°=2.2.C　a在b上的投影向量为|a|cos30°e=4×cos30°e=2e,故选C.3.B　由已知得a·b=-36,所以a·b=-60.设a,b的夹角为α,则有|a||b|cosα=-60,即10×12×cosα=-60,于是cosα=-,故α=120°.4.A　由题设,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1,又a,b均为单位向量,∴a·b=,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3,则|a-2b|=.故选A.5.ABC　由向量数量积的运算律可知A、B、C正确.对于D,令m=a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC.6.B　点P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则||=|-2|,可得||=||,即||=||,等式||=||两边平方并化简得=0,∴,因此,△ABC是直角三角形.故选B.7.-　∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,∴2+λ++λ=0.∴λ=-.8.22　由=3,得.因为=2,所以·=2,即=2.又=25,=64,所以=22.9.2　已知e1、e2是单位向量,其夹角为,则e1·e2=|e1|·|e2|cos,等式|me1+ne2|=两边平方得2==m2+2mne1·e2+n2=m2+mn+n2=m2,∴=2-m2≤2,可得-m+n≤,∴-2≤m+2n≤2,因此,m+2n的最大值为2.10.解 (1)因为|a|=3,|b|=4,|a-b|=,所以|a-b|2=|a|2-2|a|·|b|cos+|b|2,即9-24cos+16=13,即cos=,又∈[0,π],所以=.(2)|a+2b|===.11.解 (1)a·b=1×2×cos60°=1.(2)m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t+6-t-2×4=2t-2.(3)由于m与n的夹角为钝角,于是m·n