2023-2024学年北师大版（2012）八年级下册第一章三角函数的证明单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 北师大版（2012）八年级下册 第一章� 三角函数的证明 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在中，，，点是外一点，垂直平分于，交于点，垂直平分于，交于点，连接、．则以下各说法：①；②；③；④点到点和点的距离相等．其中正确的个数是（    ）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　）A．四处 B．三处 C．两处 D．一处3．如图，在中，，，D是的中点，动点P从A点出发以的速度向终点C运动，设运动时间为，若的中垂线恰好经过点D时，则t的值为（   ）A．12 B． C． D．4．如图，已知，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交于点B、A．连结，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线交于点C，则的度数是（   ）A． B． C． D．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（    ）  A．1.5 B．2 C．3 D．16．如图，某公园的三个出口A、B、C构成，想要在公园内修建一个公共厕所，要求到三个出口距离都相等．则公共厕所应该在（　　）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点7．如图，在中，，，，平分角，则点D到的距离等于（　　）A．4 B．3 C．2 D．18．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（    ）A． B．C．的面积为5 D．点A到的距离是1.59．如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（）A． B． C． D．10．如图，在中，，D是线段上（不含端点B，C）的动点．若线段长为正整数，则点D的个数共有（    ）A．5个 B．3个 C．2个 D．1个11．下列说法：①如果两个数互为相反数，那么这两个数异号；②到一条线段两个端点距离相等的点是这条线段的中点；③有理数a，b，c满足，且，则化简的值为3；④若是关于x的一元一次方程，则；其中正确的序号是 ．12．如图，等腰中，，于，点在上，连接交于，，，，则的面积为 ．13．如图，在四边形中，对角线平分，，，，则在中，边上的高线长为 ．14．如图，在中，，，，是∠ABC的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为 ．  16．如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ．17．如图，于E，于F，若．  (1)求证：平分；(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．18．如图,已知在中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证:(1);(2)猜想线段的数量关系,并进行证明．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．C【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形（四边形）内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据四边形的内角和定理可判定结论①；根据垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质可判定结论②；根据可判定结论③；如图所示，连接，根据垂直平分线的性质可判定结论④，由此即可求解．【详解】解：在四边形中，∵垂直平分于，垂直平分于，∴，且，∴，故结论①正确；∵在中，，∴，∵垂直平分于，垂直平分于，∴，，∴，，∴，∴，故结论②正确；在中，，，∴不是等腰三角形，即，∴，∴与的大小关系无法确定，∴的大小关系也无法确定，故结论③无法判定；如图所示，连接，  ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，故结论④正确；综上所述，正确的有①②④，共个，故选：．2．A【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．3．B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟悉并掌握这些结论是解决此题的关键．【详解】解：根据题意得，，则，连接，，，D是的中点，，，，的中垂线恰好经过点D，，，，，，，即，在中，，，即，，中，，，，故答案为：．4．C【分析】本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等边三角形的性质是解答本题的关键．由作图痕迹可知，射线为的平分线，，则为等边三角形，即可得，即．【详解】解：由作图痕迹可知，射线为的平分线，，，为等边三角形，，．故选：C．5．A【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．【详解】如图1，以为边作等边，连接，  由题意 ，∴，∴，∴，∵，∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T，  ∵是等边三角形，，∴，∵点A的坐标为，∴．∵，∴，∴，∴点P的横坐标为1.5．当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键．6．A【分析】本题考查线段垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，结合图形理解概念即可解题．【详解】解：∵公共厕所到出口A、B的距离相等，∴公共厕所在线段AB的垂直平分线上，同理可得，公共厕所应该在三条边的垂直平分线的交点上，故选：A．7．C【分析】本题考查了角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，过点D作于E，求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解．【详解】解：如图，过点D作于E，∵，，∴∵，平分，∴，即点D到的距离为2．故选：C．8．D【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出长可判定B；利用网格图计算三角形的面积可判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D．【详解】解：A、，，，，，本选项结论正确，不符合题意；B、∵，∴，本选项结论正确，不符合题意；C、，本选项结论正确，不符合题意；D、点A到的距离，本选项结论错误，符合题意；故选：D．9．B【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出，，再由平分，可得出，根据直角三角形性质即可得出结论．【详解】解：∵是等边三角形，，∴．又∵平分，，故选：B．10．B【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算． 首先过A作，当D与E重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案．【详解】解：如图：过A作于E，∵在中，，∴当，∴，∵D是线段上的动点（不含端点B，C）．若线段的长为正整数，∴，∴或，当时，在靠近点B和点C端各一个，故符合条件的点D有3点．故选：B．11．③④【分析】由相反数的定义判断①；由垂直平分线的性质可判定②；由，且，可得与互为相反数，可得： 从而可判断③；由是关于x的一元一次方程，可得，从而可判断④．【详解】解：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，故①错误；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，不一定是这条线段的中点，故②错误；由，且，所以： ， ， 故③正确； 是关于x的一元一次方程，， ，解得：，∵∴，故④正确；故答案为：③④．【点睛】本题考查的是相反数的定义，垂直平分线的性质，绝对值的意义，一元一次方程的定义，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．12．【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，过点B作交于点H，证明，得到，设，则，，，利用三角形外角的性质及三角形内角和定理得到，推出，则，由三角形内角和定理得到，得到，由即可求解．【详解】解：过点B作交于点H，则，是等腰三角形，，，，在与中，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，故答案为：．13．3.2【分析】此题考查角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质得出DE=DF解答．过D作交延长线于E，于F，利用角平分线的性质得出，进而利用面积公式解答即可．【详解】解：过D作交延长线于E，于F，∵对角线平分，， 解得：故答案为：3.2．14．【分析】过点作于点，交于点P，过点P作于Q，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．【详解】解：在中，，由勾股定理得：，过点作于点，交于点P，过点P作于Q，如图，平分，于点，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积．解题关键是作出的最小值的垂线段．15．【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的规律，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，点坐标的规律的计算是解题的关键．根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质可得点，点的纵坐标的规律，由此即可求解．【详解】解：∵点的坐标为，三角形是等边三角形，∴，，∴，∵轴，∴在中，，，则，，∴，则点的纵坐标为，同理，，，…∴，∴点的纵坐标为，故答案为：．16．或5【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等角对等边．根据题意分类讨论是解题的关键．由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况求解；①当时，由折叠的性质可知，，则，三点共线，设，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；②当时，，根据，求解即可．【详解】解：由题意知，当是直角三角形时，分，两种情况求解；①当时，由折叠的性质可知，，，，∵，∴三点共线，设，则，由勾股定理得，，∴，由勾股定理得，，即，解得，；②当时，∴，，∴，∴，综上所述，的长为或5．17．(1)证明详见解析；(2)，理由详见解析【分析】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质：（1）根据，得出，可得到，即可； （2）根据证明，可得，进而可得答案．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴与 均为直角三角形，∵在 与中，∵，∴∴，∴平分；（2）解：，理由如下：∵，平分，∴，∵，∴， 在 与中，∵ ，∴，∴，∴．18．(1)证明见解析(2),证明见解析【分析】（1）根据题意连接，根据垂直平分线性质及角平分线性质证明,即可得到本题答案,（2）根据题意判定，再利用全等三角形性质及边的转化即可得到本题答案．【详解】（1）证明：连接,∵垂直平分,∴,∵平分,,∴,∴,∴,（2）解:猜想:,证明：在和中,,∴,∴,∵,∴．【点睛】本题考查垂直平分线性质,全等三角形判定及性质,角平分线性质．添加辅助线构造全等三角形是关键．