人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案

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1．将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为
．
故选A．
2．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，则所得函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题y＝cs（x）y＝cs（x）
y＝cs[（x）]＝cs（x），
其周期T4π．
故选D．
3．将函数的图象上每一个点向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由题意可知平移后的解析式：
函数的单调递增区间：
解得：
4．若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为
A．x=（k∈Z）
B．x=（k∈Z）
C．x=（k∈Z）
D．x=（k∈Z）
【答案】B
【解析】
由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选B．
5．已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，当时，值域为且最大；当时，值域，
且最小，∴最大值与最小值之和为.
6．已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
由题意得，所以，因此，
所以．
从而，
由，，
得，．
要使的图象在区间上单调递增，
则需满足，即，
解得，，
当，可得，符合条件．
故选B．
7．已知是实数，则函数的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由题知，．若，，选项C满足；若，，，其中，，函数周期，选项A满足；若，，，其中，，函数周期，选项B满足；若,则，且周期为．而选项D不满足以上四种情况，故图象不可能是D．
故本题正确答案为D．
8．已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为_______.
【答案】
【解析】
解：把函数的图象上每个点向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
，
则，
故答案为．
9．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为_________．
【答案】8
【解析】
由化简得：
∴ 时，
则的最小，
须取的值分别为：，，
.所以的最小值为.
10．若函数在区间上的最大值是，则__________．
【答案】0
【解析】
由函数，
因为，所以，
当时，则，所以.
11．已知关于x的方程(t＋1)csx－tsinx＝t＋2在(0，π)上有实根，则实数t的最大值是________．
【答案】-1
【解析】
由题意可得，－＝
令P(csx，sinx)，A(2,1)，
则kPA＝，因为x∈(0，π)，所以－112．若的图象向右平移个单位后与自身重合，且的一个对称中心为，则的最小正值为__________．
【答案】24
【解析】
由题意可知的周期为T,满足，即，由的一个对称中心为可得。所以为最小值。填24.
13．设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】(Ⅰ) .
(Ⅱ) .
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，
所以，
当，
即时，取得最小值.
14．已知函数的部分图象如图所示：
（I）求的解析式及对称中心坐标；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值．
【答案】(Ⅰ) ；对称中心的坐标为() (Ⅱ)见解析
【解析】
解：（I）由图像可知：,可得：
又由于,可得：,所以
由图像知,,又因为
所以,.所以
令(),得：()
所以的对称中心的坐标为()
（II）由已知的图像变换过程可得：
由的图像知函数在上的单调增区间为,
单调减区间
当时,取得最大值2；当时,取得最小值．
15．已知：函数
求函数的周期T与单调增区间．
函数与的图象有几个公共交点．
设关于x的函数的最小值为，试确定满足的a的值．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
，
函数的周期
函数的增区间：；
作函数与的图象，从图象可以看出函数与的图象有三个交点；

，
令，可得，
换元可得，可看作关于t的二次函数，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
当，即时，是函数y的递增区间，；
当，即时，是函数y的递减区间，，得，与矛盾；
当，即时，，变形可得，
解得或舍去
综上可得满足的a的值为.
1．将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A．，的最小值为B．，的最小值为
C．，的最小值为D．，的最小值为
【答案】A
【解析】
由题意得，，
可得，
因为 位于函数的图象上
所以，
可得，
s的最小值为，故选A.
2．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是 ( )
A．[-]B．[-]
C．[-]D．[-]
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合函数解析式的特征利用换元法，结合三角函数的性质和均值不等式的结论求解函数的值域即可.
【详解】
令，则：，即：，
分类讨论：
当时，，则：，
函数的解析式换元为：
，
当且仅当时等号成立，此时函数的值域为；
当时，，则：，
函数的解析式换元为：
，
当且仅当时等号成立，此时函数的值域为；
综上可得：函数f(x)=(0≤x≤2)的值域是[-].
本题选择C选项.
【点睛】
求函数最值和值域的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
4．已知，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
令，，，令在R上单调递减，所以>,即a>c,又因为，在（0,1）上单调递增，所以,即a5．已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为所以函数周期为,，由知 ，又时，且 ，所以解得，故选D.
6．已知函数)的图象在区间上恰有个最低点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据范围可得的范围；分别讨论在轴左侧无最低点、个最低点、个最低点和个最低点的情况，对应正弦函数的图象和性质可确定的范围.
【详解】

①在轴左侧无最低点，即当时，
当正好对应在上的第个最低点时，，
，（舍）
在轴左侧无最低点不合题意
②若在轴左侧仅有个最低点，即时，
，此时在轴左侧至少有个最低点
在轴左侧仅有个最低点不合题意
③若在轴左侧有个最低点，即时，
又，即
时，在恰有个最低点
④若在轴左侧有个最低点，即时，
，此时在轴左侧至多有个最低点
在轴左侧有个最低点不合题意
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查根据正弦型函数的最值点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过对最低点分布情况的分析，找到符合题意的分布情况，进而结合正弦函数图象得到不等关系，求得所求参数的范围，属于较难题.
7．已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
，则的最小正周期为，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数式的化简，三角函数的性质之周期性，解题的关键在于对表达式的化简，有一定难度；利用平方差公式，同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式，可将函数的解析式化为，进而得到函数的周期.
8．函数的最小值为___________________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简函数为，令，，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.
【详解】
令，则
，
当时，，即的最小值为
本题正确结果：
【点睛】
本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.
9．函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
化简得到，令，即恰有三个实根，分成两类分别讨论即可得到的范围.
【详解】
由题意可得，
令，即恰有三个实根，
三根为：①
，k
∵，∴
∴
或，
当k=-1时，解得的范围为
故答案为：
【点睛】
（1）研究函数时，要把看为一个整体，并结合函数的性质求解，在研究单调性时要注意的符号对单调性的影响。
（2）对于函数零点个数的问题，可转化为函数图象公共点的个数问题处理，解题时需要画出函数图象的草图，并根据参数取值的不同情况进行逐一分析、判断，然后得解。
10．已知函数，若，且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意，可得，可令＝1，，所以，，进而＝，m，n，k都是整数，再根据，进而求出结果.
【详解】
令＝1，，则
，
＝＝＝，m，n，k都是整数，
因为，所以，
所以，的最大值为.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质，根据得到＝1，，是对本题的重要突破，熟练掌握三角函数的公式是解决本题的关键.
11．若曲线关于直线对称，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
，
,
,
又，
所以的最小值为.
12．已知与函数若,使得等式成立,则实数的取值集合是________.
【答案】
【解析】
，则，所以；
，则，所以，
因为，都有，使得等式成立，
所以，
所以，则，所以实数的取值集合为.
本题主要考查三角函数的性质,考查了转化思想、恒成立问题与存在问题、逻辑推理能力与计算能力，本题的解答中正确理解含有全称量词和存在性量词的命题之间的关系，转化为集合之间的运算时解答的关键.
13．函数=的部分图像如图所示.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将的图像向右平移个单位,再将横坐标伸长为原来的倍,得到函数,若在上有两个解,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
（1）先求出w=π，再根据图像求出，再求函数的单调递减区间.(2)先求出=，再利用数形结合求a的取值范围.
【详解】
（1）由题得.
所以
所以.
令
所以函数的单调递减区间为.
（2）将的图像向右平移个单位得到,再将横坐标
伸长为原来的倍,得到函数=,若在上有两个解,
所以，所以所以
所以a的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求法和单调区间的求法，考查三角函数的图像变换和三角方程的有解问题，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14．已知函数 .
(1) 求的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.
【答案】(1)，单调递增区间为.(2).
【解析】
试题分析：
(1)整理函数的解析式可得，据此可得函数的最小正周期，单调递增区间为.
(2)由题意可得，结合(1)中的函数解析式可知的值域为.而，故.
试题解析：
(1)


，
最小正周期，
函数的单调递增区间满足：，
解得的单调递增区间为.
(2)，所以，
，
所以的值域为.
而，所以，即.
点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acs(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cs(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
15．已知．
（1） 化简；
（2） 若，求的值；
（3） 若，且，求的值．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是三角函数的化简，本题中需要利用诱导公式、周期性和同角三角函数的基本关系进行化简，很容易求出．（2）本题考察的是三角函数的值，由（1）化简的的式子代入就可以求出所求的函数值．（3）本题考察的是三角函数求值的问题，题中给出了角的取值范围和，通过两角差的余弦公式，进行凑角然后代入相关值，就可以求出所求的三角函数值．
试题解析：（1）
（2）
（3）
考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）两角差的余弦公式