人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优质教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优质教学设计，文件包含2024-2025学年高中数学人教A版必修一57三角函数的应用教案教学设计docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一57三角函数的应用分层作业教师版docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一57三角函数的应用分层作业docx、2024-2025学年高中数学人教A版必修一57三角函数的应用导学案docx等4份教案配套教学资源，其中教案共24页， 欢迎下载使用。


本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。以下是本节的课时安排：
三角函数是一种特殊的周期函数，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象，也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角的三角函数建立联系。
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题，提升数学运算的核心素养；
2．会将实际问题抽象为三角函数模型，培养数学建模的核心素养。
重点：会用三角函数解决一些简单的实际问题；
难点：体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
江心屿
探究 1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示 1.水深随时间的变化呈周期变化.
2.若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线.
（二）三角函数在物理中的应用
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝eq \f(2π,ω)，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
【做一做】函数y＝eq \f(1,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋\f(π,6)))的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6) B．6π，eq \f(1,3)，eq \f(π,6)
C．3π，3，－eq \f(π,6) D．6π，3，eq \f(π,6)
【答案】B
（三）典型例题
1. 三角函数在物理中的应用
例1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
③经过多长时间小球往复振动一次？
【解析】列表如下：
描点、连线，图象如图所示．
①将t＝0代入s＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3)，
所以小球开始振动时的位移是2eq \r(3) cm.
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
③因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).
①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
②如果t在任何一段eq \f(1,150)秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
【解析】①由题图可知A＝300.
设t1＝－eq \f(1,900)，t2＝eq \f(1,180)，则周期T＝2(t2－t1)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq \f(1,75)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝150π.
又当t＝eq \f(1,180)时，I＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0，而|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
故所求函数的解析式为I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(150πt＋\f(π,6))).
②依题意，周期T≤eq \f(1,150)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,150)(ω＞0)，∴ω≥300π≈942.48.
又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.
【类题通法】三角函数解决物理问题的三个关键量
(1)物体运动的初始位置，即初相．
(2)完成一次运动需要的时间，即周期．
(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．
【巩固练习1】弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移．
【解析】 (1)设振幅为A，则2A＝20 cm，所以A＝10 cm.
设周期为T，则eq \f(T,2)＝0.5 s，所以T＝1，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的距离为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200 (cm)．
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
2.三角函数在生活中的应用
例3. 估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝eq \f(k,2)sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；
(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
【解析】(1)先用五点法作出f(t)＝3sin eq \f(2π,365)(t－79)的简图，
由eq \f(2π,365)(t－79)＝0及eq \f(2π,365)(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.
当t＝0时，f(0)＝3sin eq \f(2π,365)(－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.
将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．
(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．
(3)D(t)>10.5，即3sin eq \f(2π,365)(t－79)＋12>10.5，
sin eq \f(2π,365)(t－79)>－eq \f(1,2)，t∈[0,365]．
∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．
【类题通法】已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解．
【巩固练习2】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】(1)因为f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
又0≤t＜24，所以eq \f(π,3)≤eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(7π,3)，
－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.
当t＝2时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；
当t＝14时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.
于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，
故有10－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＞11，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＜－eq \f(1,2).
又0≤t＜24，所以eq \f(7π,6)＜eq \f(π,12)t＋eq \f(π,3)＜eq \f(11π,6)，
即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．
3.拟合三角函数模型
例4.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
【解析】(1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)，∴y＝3sin eq \f(π,6)t＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5，∴sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2).①
∵0≤t≤24，∴0≤eq \f(π,6)t≤4π.②
由①②得eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤eq \f(5,6)π或eq \f(13,6)π≤eq \f(π,6)t≤eq \f(17,6)π.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
【类题通法】在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
【巩固练习3】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acs ω t＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
【解析】(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝eq \f(π,6).
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为eq \f(1,2)，函数解析式为y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1>1，cs eq \f(π,6)t>0,2kπ－eq \f(π,2)即12k－3又0≤t≤24，
所以0≤t<3或9【设计意图】通过三角函数的实际应用，培养学生数学建模的核心素养。
（五）操作演练 素养提升
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过eq \f(1,2)周期后，乙的位置将传播至( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
3．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋115，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】1.C 2.C 3.C 4.C
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固函数的表示法，树立用函数解析式解决相关问题的意识。
完成教材：第244页 练习 第1，2，3题
第248页 练习 第1,2题
第249 页 习题5.7 第1，2,3题











第七节
课时内容
三角函数的应用
所在位置
教材第242页
新教材
内容
分析
教材用4个实例介绍了三角函数模型的应用：弹簧振子问题，交变电流问题，温度随时间呈周期变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，前两个实例中的模型是物理学中比较理想化的模型，后两个实例中的模型是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的模型，教材在素材的选择上注意了真实性和广泛性，引导学生提供解决有一定综合性和思考水平的问题，培养综合应用数学和其他知识解决问题的能力。
核心素养培养
通过实例，培养数学建模的核心素养；通过解决实际应用问题，提升数学运算的核心素养。
教学主线
三角函数的图象与性质
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
t
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2t＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5