2021学年5.7 三角函数的应用当堂检测题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1．某摩天轮建筑，其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（    ）

A．75米 B．85米 C．100米 D．110米

【答案】B

【解析】设他与地面的高度与时间的关系为

，，，，

由题意可知，，，

，

即，

又，

即，

故，

，

(7)．

故选：B．

2．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度关于时间的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依题意，，解得，

又，

．

又（3），

，

．

，

．

故选：A

3．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若摩天轮某座舱经过最低点开始计时，则10分钟后离地面的高度为（    ）

A．43米 B．78米 C．118米 D．121米

【答案】D

【解析】设10分钟后到达点，作于，如图所示

，，

，

，

摩天轮进行10分钟后离地面的高度为：（米．

故选：D．

4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，

∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，

∴.

故选：C

5．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为（    ）

A．2h米 B．h米

C．h米 D．2h米

【答案】A

【解析】

如图所示，，，

故答案为：A

6．已知矩形中，.设点关于的对称点为，与交于点，若，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，由题意得.

不妨设，则，，

在中，，即.

在中，.

则，

故选：A.

二、填空题

7．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.

（1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度；

（2）这段曲线的函数解析式为______________.

【答案】50    30       

【解析】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30，

故，所以，

又由图象可得半周期为，，故，

又时，，∴ ，∴.

故.

故答案：50，30，.

8．如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________.

【答案】

【解析】设，

由题意得：，

则，

，

，

，

，

，

，

当即时

取得最小值，最小值为

故答案为：

9．在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)

①；

②；

③的定义域为；

④；

⑤.

【答案】②④⑤

【解析】

①，故错误；

②，故正确；

③，即，有，故错误；

④，故正确；

⑤，所以，故正确.

故答案为：②④⑤

三、解答题

10．南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为，即，其中分别在边上，记.

（1）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设与相交于点，当时，请你求出：

（i）线段的长为多少？

（ii）线段的长为多少？

（2）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形的面积，记为)最大，应取何值？的最大值为多少？

【答案】（1）（i），（ii），（2）

【解析】解：（1）如图建立平面直角坐标系，由于，，

所以，

由，得，所以,

因为，，所以，

在中，，则，

所以，

设直线为，则，解得，

所以直线为，

直线为，

由，得，即，

所以

（2），，

所以，

所以，

，当且仅当，即时取等号，

所以当时，取得最大值，最大值为

11．已知直线是之间的一定点，并且A点到的距离分别为．B是直线上一动点，作，且使与直线交于点C，求面积的最小值．

【答案】

【解析】如图，过A作直线分别交于点，设，则，

故，

所以

所以，当，即时，面积的最小值为.

12．某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，至少长米，C为的中点，到的距离比的长小米，．

（1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段和长度之和）

（2）如何设计的长，可使支架总长度最短．

【答案】（1）；定义域为；（2）当时，金属支架总长度最短．

【解析】（1）由则，且，则支架的总长度为，

在中，由余弦定理，化简得

即①

记，由，则

．

故架的总长度表示为的函数为定义域为

（2）由题中条件得，即，设

则原式

=

由基本不等式，有且仅当，即时“=”成立，

又由满足．，．

当时，金属支架总长度最短．