高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用教案，文件包含专题27三角函数的应用讲原卷版doc、专题27三角函数的应用讲解析版doc等2份教案配套教学资源，其中教案共29页， 欢迎下载使用。

专题27三角函数的应用（讲）

知识点课前预习与精讲精析

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义
物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关：
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)；
(3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)；
(4)ωx＋φ：称为相位(phase)；
(5)φ：x＝0时的相位，称为初相(initial phase)．
知识延伸：当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将三角函数符号前的数或x的系数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin(2x－)的初相不是φ＝－，∵A＝－1<0，y＝－sin(2x－)＝sin[π＋(2x－)]＝sin(2x＋)，∴初相φ＝．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
　R　
值域
[－A，A]
周期性
T＝　　
对称性
对称中心(，0)(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当　φ＝kπ　(k∈Z)时是奇函数
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间
由2kπ＋≤2ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间


1．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？

【解答】解：（1）由题意，
A＝50，b＝60，T＝3；
故ω，
故y＝50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，
φ；
故y50sin（t）+60；
（2）在第一个3分钟内求即可，
令50sin（t）+60＞85；
则sin（t）；
故t，
解得，1＜t＜2；
故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．
2．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y＝Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[﹣4，0]的图象，图象的最高点为B（﹣1，2）．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段FGBC的函数表达式；
（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE＝θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．

【解答】解：（1）由已知条件，得A＝2，
又∵，
∴ω，
又∵当x＝﹣1时，
有
∴，
∴曲线段FBC的解析式为．
（2）由得，
x＝6k+（﹣1）k﹣4（k∈Z），
又∵x∈[﹣4，0]，
∴k＝0，x＝﹣3，
∴G（﹣3，1），；
∴景观路GO长为千米．
（3）如图，

，
∴，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，
PP1＝OPsinθ＝2sinθ，
在△OMP中，
，
∴OM2cosθsinθ，
SOMPQ＝OM•PP1＝（2cosθsinθ）2sinθ＝2sin2θ
sin（2θ），θ∈（0，）；
当2θ时，即θ时，
平行四边形面积有最大值为（平方千米）．
3．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？
【解答】解：设出厂价波动函数为y1＝6+Asin（ω1x+φ1）
根据最高价格和最低价格可知A2 T1＝8，ω1，φ1，φ1
∴y1＝6+2sin（x）
设销售价波动函数为y2＝8+Bsin（ω2x+φ2）
易知B＝2，T2＝8，ω2，π+φ2，φ2
∴y2＝8+2sin（ x）
每件盈利 y＝y2﹣y1＝[8+2sin（x）]﹣[6+2sin（x）]＝2﹣2sinx
当sinx＝﹣1 x＝2kπ，x＝8k﹣2时y取最大值
当k＝1 即x＝6时 y最大
∴估计6月份盈利最大
4．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（min）时P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求2017min时P距离地面的高度；
（2）当离地面（50+20）m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？

【解答】解：（1）依题意，A＝40，h＝50，T＝3，则ω，
且f（0）＝10，
故φ，
∴t（min）时P距离地面的高度为
f（t）＝40sin（t）+50（t≥0），
计算f（2017）＝40sin（2017）+50＝70，
知2017min时P距离地面的高度为70m；
（2）由（1）知f（t）＝40sin（t）+50＝50﹣40cos（t），其中t≥0；
依题意，令f（t）＞50+2，
∴﹣40cos（t）＞20，
即cos（t），
解得2kπt＜2kπ，k∈N，
即3kt＜3k，k∈N；
由3k（3k）0.5，
∴转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．
5．如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m，缆车每60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面的距离为hm．
（1）求h与θ之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过ts达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45s后缆车距离地面的高度．

【解答】解：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ，
故点B的坐标为（4.8cos（θ），4.8sin（θ）），
∴h＝5.6+4.8sin（θ）＝5.6﹣4.8cosθ．
（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，
∴h＝5.6﹣4.8cost，t∈[0，+∞）．
当t＝45s．h＝5.6．


典型题型与解题方法

重要考点一：三角函数模型在物理中的应用
【典型例题】某实验室一天的温度（单位℃）随时间t（单位．h）的变化近似满足函数关系式：f（t）＝12﹣2cos（），t∈[0，24）．
（1）求该实验室一天当中上午10时的温度
（2）若某实验需要在不低于13℃的条件下才可以做，那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行？
【解析】解：（1）∵，
∴，
亥实验室一天当中上午10时的温度为13℃．
（2）令，
即 ，
∴，
∴24k+10≤t≤24k+18，k∈Z，
∵0≤t＜24∴10≤t≤18，
故该实验室应该在一天中 t∈[10，18]这个时间段进行．即10时至18时进行．
【题型强化】某实验室白天的温度f（t）（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，t∈[6，18]．
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温度高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】解：（1）已知，
因为6≤t≤18，所以，，
所以f（t）在t∈[6，18]上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为9℃，最大温差为3℃．
（2）依题意当f（t）＞11时，实验室需要降温，
即，，
∴，k∈Z，
∴24k+10＜t＜24k+18，k∈Z，又∵6≤t≤18，
∴10＜t＜18，即在10时到18时实验室需要降温．
【收官验收】如图，点A，B是单位圆O上的两点，A，B点分别在第一，而象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，若∠COA＝60°，∠AOB＝α，点B的坐标为（，）．
（1）求sinα的值；
（2）已知动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，求动点P从A点开始逆时针方向作圆周运动时，点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式．

【解析】解：（1）∵点B的坐标为（，），
∴sin∠COB，cos∠COB，…
∴sinα＝sin（∠COB﹣60°）
（Ⅱ）∵动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，∠COA＝60°
∴ω
∴点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式为y＝sin（t）（t≥0）…
【名师点睛】
解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．
重要考点二：三角函数模型在生活中的应用
【典型例题】一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

【解析】解：（1）设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示；
由OB＝1，OP0＝2，所以∠BOP0，所以∠AOP0；
设h＝2sin（ωt）+1，则T3，解得ω；
所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为
h＝2sin（t）+1（t≥0）；
（2）由h＝2sin（t）+1≥2，
得sin（t）；
令t∈[0，3]，则t∈[，]；
由t，
解得t，
又1，
所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度超过2米．

【题型强化】某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为，半径为80米，点P在上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为．设∠AOP＝θ，．
（1）用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；
（2）当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？

【解析】解：（1）直角三角形OPC中，PC＝OPsinθ＝80sinθ，OC＝OPcosθ＝80cosθ，
所以△OPC的面积为PC×OC＝3200sinθcosθ＝1600sin2θ，
同理△OPD的面积为1600sin2（θ）＝1600cos2θ．
（2）设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，t（t＞0），
则y＝1600sin2θ•t+1600cos2θ•t＝3200tsin（2θ），
∵．
∴2θ．
∴当2θ，即θ时，y取得最大值．
答：（1）△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；
（2）当θ时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．
【收官验收】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0：00
4.25
9：00
1.75
18：00
4.25
3：00
6.75
12：00
4.25
21：00
1.75
6：00
4.25
15：00
6.75
24：00
4.25
（1）设港口在x时刻的水深为y米，现给出两个函数模型：y＝Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）和y＝ax2+bx+c（a≠0）．请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出x＝7时，港口的水深．
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？
【解析】解：（1）选择函数模型y＝Asin（ωx+φ）+h更适合．
因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知h＝4.25，，
因为T＝12，所以，
所以，
因为x＝0时，y＝4.25，代入上式得sinφ＝0，因为﹣π＜φ＜π，所以φ＝0，
所以．
当x＝7时，，
所以在x＝7时，港口的水深为3米．
（2）因为货船需要的安全水深是4+1.5＝5.5米，
所以y≥5.5时，船可以进港，
令，则，
因为0≤x＜24，解得1≤x≤5或13≤x≤17，
所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港．
因为（5﹣1）+（17﹣3）＝8，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时．
【名师点睛】
1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．
重要考点三：数据拟合三角函数问题
【典型例题】已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t的（0≤t≤24，单位：小时）函数，记作：y＝f（t），下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观察，y＝f（t）的曲线，可以近似地看成函数y＝Acosωt+b的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y＝f（t）近似表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于0.75米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】解：（1）设函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）
∵同一周期内，当t＝12时ymax＝1.5，当t＝6时ymin＝0.5，
∴函数的周期T＝2（12﹣6）＝12，得ω，A（1.5﹣0.5）且k（1.5+0.5）＝1
可得f（t）sin（t+φ）+1，
再将（6，0.5）代入，得0.5sin（6+φ）+1，解之得φ
∴函数近似表达式为f（t）sin（t）+1，即；
（2）由题意，可得，即，
解之得．即12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），
∴在同一天内取k＝0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24
∴在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．
【题型强化】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻（t）
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米（y）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
（1）若用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|）来近似描述这个港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？
【解析】解：（1）水深和时间之间的对应关系，周期T＝12．
∴ω，
可知A，
h．
∴f（t）sin（ωt+φ）+5．
当t＝3时f（3）＝7.5．
即sin（3φ）＝1．
∵|φ|，
∴φ＝0．
∴函数表达式为∴f（t）sint+5．（0＜t≤24）
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.25米，
∴y≥6.25，即sint+5≥6.25
可得sint．
∴2kπ2kπ，k∈Z．
解得：1≤t≤5或13≤t≤17．
故得该船1≤t≤5或13≤t≤17．能进入港口满足安全要求．
【收官验收】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
2.4
1.5
0.6
1.4
2.4
1.6
0.6
1.5
（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y＝Asin（ωt+ϕ），②y＝Acos（ωt+φ）+b，③y＝﹣Asinωt+b（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．
【解析】（满分12分）
解：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：

依题意，选②y＝Acos（ωt+ϕ）+b做为函数模型，
∴，
∵∴
又∵函数y＝0.9cos（φ）+1.5的图象过点（3，2.4），
∴2.4＝0.9×cos（φ）+1.5，
∴cos（φ）＝1，∴sinφ＝﹣1，
又∵﹣π＜φ＜0，∴φ，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
令y≥1.05，即∴
∴，
∴12k﹣1≤t≤12k+7
又∵5≤t≤18∵5≤t≤7或11≤t≤18
∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，
才能确保集训队员的安全．
【名师点睛】
处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等．
重要考点四：不能正确认识简谐运动的过程而导致错误
【典型例题】如图所示，一个半径为10m的摩天轮，轮子的底部在地面上2m处，如果此摩天轮按逆时针方向转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（∠POA＝30°）时开始计时．
（1）求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（s）的函数关系式；
（2）在摩天轮转动一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m．

【解析】解：（1）根据题意，在t时，摩天轮上某人所转过的角为tt，
故在t时，此人相对于地面的高度为
（t≥0）；…
（2）由17，
得，
则5≤t≤15；
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m．…
【题型强化】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米．
Ⅰ）如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？
【解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图．

根据图象，可考虑用函数y＝Asin（ωt+φ）+h刻画水深与时间之间的对应关系．
从数据和图象可以得出A＝3，h＝10，T＝12，φ＝0，
由T12，得ω，所以这个港口水深与时间的关系可用y＝3sint+10近似描述…
（2）Ⅰ）由题意，y≥11.5就可以进出港，令sint，如图，在区间[0，12]内，
函数y＝3sint+10

与直线y＝11.5有两个交点，由t或，
得tA＝1，tB＝5，由周期性得tC＝13，tD＝17，
由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时…
Ⅱ）设在时刻t货船航行的安全水深为y，那么y＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）．
设f（t）＝3sint+10，t∈[2，10]，
g（t）＝11.5﹣0.5（t﹣2）（t≥2）
由f（6）＝10＞g（6）＝9.5且f（7）＝8.5＜g（7）＝9知，
为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货…
【收官验收】如图1，某大风车的半径为2米，每12秒沿逆时针方向匀速旋转一周，它的最低点O离地面1米．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t秒后与地面距离为h米．
（1）直接写出函数h＝f（t）的关系式，并在给出的坐标系中用五点作图法作出h＝f（t）在[0，12）上的图象（要列表，描点）；
（2）A从最低点O开始，沿逆时针方向旋转第一周内，有多长时间离地面的高度超过4米？
【解析】解：（1）h＝f（t）＝3﹣2，
列表：

0

π

2π
t
0
3
6
9
12
f（t）
3
1
5
1
3
描点连线：
（Ⅱ）∵3﹣24，
∴，
又∵，t∈[0，12]，
∴4＜t＜8，
所以有4秒钟的时间离地面的高度超过4米．
注：用几何图形求解亦可．

【名师点睛】
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)来表示运动的位置y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．