高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优质导学案及答案

5.7 三角函数的应用（学案）

【学习目标】

【自主学习】

一．简谐运动

在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0

1.    就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；

2.简谐运动的周期是T＝     ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；

3.简谐运动的频率由公式f＝＝    给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；

4.      称为相位；x＝0时的相位    称为初相．

二.三角函数模型的应用

1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用________________准确地描述它们的运动变化规律．

2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝－2sin(3x＋2)的振幅为－2.(　　)

(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm. (　　)

(3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为 A.(　　)

(4)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．(　　)

2.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)

A．3π，，　　    B．6π，，       C．3π，3，－     D．6π，3，

3.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin (t－)，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m．

【经典例题】

题型一 三角函数模型在物理学中的应用

点拨：解三角函数应用问题的一般步骤

例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．

(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

【跟踪训练】1 已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ).

(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任何一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

题型二 三角函数在生活中的应用

例2　如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m?

【跟踪训练】2 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

【当堂达标】

1.简谐运动的相位与初相是（    ）

A．，     B．，4     C．，－       D．，

2.如图所示，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)

A．2 s        B．1 s        C. s   D. s

3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin (100πt＋)，则当t＝s时，电流强度I为(　　)

A．5A             B．2.5A          C．2A             D．－5A

4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0,5]　　　　   B．[5,10]         C．[10,15]          D．[15,20]

5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为        ．

6.交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．

7.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asinωt＋B的图象．

(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

【课堂小结】

1.掌握2个应用

(1)三角函数在物理中的应用．

(2)三角函数在生活中的应用．

2.掌握4个步骤

解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．

【参考答案】

【自主学习】

A     ωx＋φ  φ  三角函数模型

【小试牛刀】

1.(1)×　 (2)×　(3)√   (4)×　

2.B

3. 1 解析：当t＝12时，f(12)＝2sin (5π－)＝2sin＝1，即12点时潮水的高度是1m.

【经典例题】

例1 解：列表如下：

描点、连线，图象如图所示．

(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.

(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.

【跟踪训练】1  解：(1)由题图可知A＝300.

设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，

∴ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，即sin＝0，

而|φ|＜，∴φ＝.

故所求函数的解析式为I＝300sin.

(2)依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，

∴ω≥300π≈942.48.

又ω∈N*，故ω的最小正整数值为943.

例2　解：(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为t＝t，

故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12(t≥0)．

(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，则25≤t≤125.

故转动的一圈内，此人有100s相对于地面的高度不小于17m.

【跟踪训练】2 解：(1)因为f(t)＝10－2sin，

又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin＞11，即sin＜－.

又0≤t＜24，所以＜t＋＜，

即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．

【当堂达标】

1.C 解析：相位是，当时的相位为初相即．故选：C

2.C解析：因为T＝＝1，所以从最右边到左边的时间为半个周期，即 s，故选C.

3.B解析：将t＝代入I＝5sin (100πt＋)，得I＝2.5A.

4.C 解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.

5. y＝－6sinx　解析：设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.当x＝9时，ymax＝6.故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.

6. 解：(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110 V.

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220 V，当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值.

7. 解： (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.又ymin＝7，ymax＝13，

∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.

∴函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．

(2)由题意，得水深y≥4.5＋7，

即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，

∴sint≥，t∈，k＝0,1，

∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，

所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．