高中数学5.7 三角函数的应用优秀第1课时教案及反思

这是一份高中数学5.7 三角函数的应用优秀第1课时教案及反思，共9页。教案主要包含了内容和及其解析，教学目标及解析，教学问题诊断分析等内容，欢迎下载使用。

5.7 三角函数的应用第一课时教学设计
一、内容和及其解析
（一）教学内容
本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。
（二）教学内容解析
本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养，从而培养学生的创新精神和实践能力.
二、教学目标及解析
（一）教学目标
1． 会通过建立三角模型，解决实际问题。
2． 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．掌握对函数图像的应用，培养直观想象和逻辑推理核心素养能力。
3． 通过学习三角函数模型的实际应用，能使学生学会把实际问题抽象为数学问题，培养数学建模素养。
（二） 教学目标解析
①要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，根据相等关系或不等关系列式.
②在建立三角函数模型这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想来打开思路，解决问题.
③在应用研究数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.
④实际问题通常涉及复杂的数据，因此可能需要用到计算机或计算器.
三、教学问题诊断分析
问题1 如何理解函数中，的物理意义．

突破：通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解的物理意义．
问题2 三角函数模型的作用
突破：三角函数作为描述现实世界中（周期现象）的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．
三角函数模型的应用体现在两个方面：
①已知函数模型求解数学问题；
②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三 角函数的有关知识解决问题．
审题
建模
求解
定论
阅读理解材料
建立三角函数模型
求解三角函数模型
得出相应结论
问题3 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
突破：





教学难点：
重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；
难点：实际问题抽象为三角函数模型.
四、 教学支持条件
PPT课件，视频
五、 教学过程设计（主体内容）
（一）情景导入
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.
问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？
【学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充】
【预设的答案】：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面：
（1）匀速圆周运动。如表的指针的转动，摩天轮等；
（2）自然界中的周期性现象。如潮汐变化，日升日落，一天当中的气温变化等；
（3）物理学中的周期性现象。如钟摆，弹簧振子运动，发电机产生的交变电流等．
【设计意图】通过开门见山，提出问题，让学生体会由实际问题建立三角函数模型的过程，培养和发展数学建模、数学抽象、直观想象的核心素养。
师：这节课我们通过几个具体的例子，一起来用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----三角函数模型的简单应用.
（二）典例探究
例一：某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间(单位)与位移 (单位)之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．请你查阅资料，了解振子的运动原理．



问题2： 画出散点图并观察，位移随时间的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？【让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.】
【预设的答案】根据散点图(如图)，分析得出位移y随时间t的变化规律可以用这个函数模型进行刻画．

【设计意图】通过散点图，可以帮助学生较为直观地分析两个变量之间的关系，然后根据这种关系选择一种合适的函数模型去刻画问题.
问题3：由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？
【学生观察数据表和散点图基础上回答问题，并根据所得数据求出函数的解析式．教师对学生的解答进行点评之后，给出简谐运动的有关概念．】

【预设的答案】：A＝20mm，T＝0.6s，初始状态的位移为－20mm．函数的解析式为.
【设计意图】通过设置问题，让学生利用待定系数法求解函数解析式.
归纳总结
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，x∈[0,+∞)（A>0， ω >0）来表示．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx＋φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
【设计意图】在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成振幅、周期和频率等概念.
例二.用三角函数模型刻画交变电流
如图（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图像，将测得得图像放大，得到图（2）
（1）求电流i随时间t变化的函数解析式.
（2）当时，求电流i.

问题4：观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？
【学生观察图（2），小组讨论，合作探讨，回答教师提出的问题.】
【预设的答案】：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用来刻画．
教师补充：其中A为振幅，为频率，为相位，为初相．
问题5：根据图象，你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）时的电流吗？由这些值，你能进一步解决问题（1）、（2）吗？
【预设的答案】：A=5，T=s，初始状态的电流为4.33 A．
由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
归纳提升：
解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.
（三）课堂练习
1．下列说法正确的个数是( )
①三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型．
②与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决．
③若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y＝3sin(4x＋)，则其往复振动一次所需时间为秒．
④若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，则电流的最大值为4A.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①④正确，②③错误，故选B.
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A． s B．50 s
C． s D．100 s
[解析]　T＝＝ s，故选A.
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )

A．2πs　 　　 B．π s　　 　
C．0.5 s　 　　 D．1 s
[解析]　本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．即ω＝2π，所以T＝＝1.
4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，劳动节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
[解析]　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]．
六、 目标检测设计
练习1：如图3所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的解析式．

【预设的答案】：
（1）振幅A＝3，周期T＝4，频率f＝．
（2）设这个简谐运动的函数表达式为．

练习2：商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A. B. C. D.
【预设的答案】：C
解析：由，，得，，所以函数的增区间为，.当时，，而，故选C.
练习3.如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象,则该函数解析式可以是( )

A. B.
C. D.
【预设的答案】：C
解析：由题图得,,
,.
又函数图象过点,则，，
取，.故选C.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，巩固运用三角函数分析实际问题的能力，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
七、 课堂小结
解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；
(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论．
【设计意图】学生根据课堂学习回顾本节课所学内容和学习经历，自主总结知识要点，及运用的思想方法。进一步提升学生的学习体验。
八、 课后作业
1. 教科书习题5.7第1，2题
2. 预习下节课内容

九、 教学反思