2020-2021学年5.7 三角函数的应用课时作业

5.7　三角函数的应用

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin2t+,s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　　)

A.s1>s2 B.s1<s2

C.s1=s2 D.不能确定

答案C

解析当t=时,s1=5sin=5sin=-5,s2=10cos=10×-=-5,故s1=s2.

2.

如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

答案C

解析由题意可知当sinx+φ取最小值-1时,

函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,

∴y=3sinx+φ+5,当sinx+φ取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.

3.有一冲击波,其波形为函数y=-sin 的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则正整数t的最小值是 (　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

答案C

解析由y=-sin的图象知,要使在区间[0,t]上至少有2个波峰,必须使区间[0,t]的长度不小于2T-,即t≥=7.故选C.

4.(2021天津河西高一期末)如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是　　　　　　　　　　　.(不要求写定义域) 

答案y=10sinx++20

解析由图可知,A=×(30-10)=10,T=2×(14-6)=16,b=20,∴ω=.

∵点(10,20)在函数的图象上,

∴10sin×10+φ+20=20,即sin+φ=0,则+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.

∵|φ|<π,则φ=.则这段曲线的函数解析式是y=10sinx++20.

5.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sin+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是　　　　　℃. 

答案14

解析因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时,函数取最小值-6+20=14.

6.如图所示,某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.

(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式;(其中t以年初以来的月为计量单位)

(2)估计当年3月1日动物种群数量.

解(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|≤,则

解得A=100,b=800.

周期T=2×(6-0)=12,∴ω=,

∴y=100sint+φ+800.

又当t=6时,y=900,

∴900=100sin×6+φ+800,

∴sin(π+φ)=1,∴sinφ=-1,

∴φ=-,即y=100sint-+800.

(2)当t=2时,

y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

等级考提升练

7.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin (0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是(　　)

A.[0,5] B.[5,10]

C.[10,15] D.[15,20]

答案C

解析当10≤t≤15时,有π<5≤π,此时F(t)=50+4sin单调递增,即车流量在增加.故选C.

8.(2021北京海淀高一校级月考)在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为              (　　)

A.x=sint- B.x=3sin t

C.x=sin3t+ D.x=3sint+

答案D

解析设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sinφ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sint+.故选D.

9.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为              (　　)

答案C

解析由题意可得f(x)=0≤f(x)≤,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.

10.

为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数关系为              (　　)

A.y=sin B.y=sin

C.y=sin D.y=sin

答案C

解析设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.

由=60,得|ω|=,

∴ω=-.∴y=sin.

又当t=0时,y=,∴φ=.

∴y=sin.

11.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.该质点的运动周期为0.8 s

B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大

D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

答案ABD

解析由图可得,半个周期为0.4s,所以周期为0.8s,A正确;平衡位置为x轴,最低点纵坐标是-5,故振幅为5cm,B正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零,故C错误,D正确.

12.(2021江苏无锡高一期末)

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速转动过程中,筒车上一盛水筒M距离水面的高度H(单位:米)与转动时间t(单位:秒)满足函数关系式H=2sint+φ+,φ∈0,,且t=0时,盛水筒M与水面距离为2.25米,当筒车转动100秒后,盛水筒M与水面距离为　　　　　米. 

答案0.25

解析∵H=2sint+φ+,φ∈0,,

当t=0时,H=2sinφ+=2.25,则sinφ=,

∵φ∈0,,∴φ=.故H=2sint++.∴当t=100时,盛水筒M与水面距离为H=2sin×100++=2×-+=0.25(米).

13.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).

(1)作出这些数据的散点图;

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;

(3)作出(2)中所选函数的图象.

解(1)散点图如下:

(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+C,则C==37,A=37.4-37=0.4,ω=.由0.4sin+37=37.4,得sin+φ=1,取φ=-.

故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据.

(3)图象如下:

新情境创新练

14.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;

③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.

根据上述分析可得,=12,

故ω=,且解得

根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,

当x=8时,f(x)最大,

故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1.

又因为0<|φ|<π,故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

f(x)=200sinx-+300.

(2)由条件可知,200sinx-+300≥400,化简得sinx-≥⇒2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.

因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.

即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.