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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用优秀导学案,共14页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程等内容,欢迎下载使用。

    三角函数的应用
    【学习目标】
    会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
    【学习重难点】
    三角函数的实际应用问题。
    【学习过程】
    一、自主学习
    知识点一:函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中各参数的物理意义

    知识点二:三角函数模型应用的步骤
    三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.
    步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.
    这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.
    知识点三:三角函数模型的拟合应用
    我们可以利用搜集到的数据,做出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
    解答三角函数应用题应注意四点
    (1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用,阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,列出等量或不等量的关系.
    (2)在建立变量关系这一关键步骤上,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题.
    (3)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题.
    (4)实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算机或计算器.
    教材解难:
    教材P248思考
    不对.因为这条船停止后还需0.4h,若在P点停止,再经0.4h后船驶出安全水深.
    基础自测:
    1.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
    A.[0,5]
    B.[5,10]
    C.[10,15]
    D.[15,20]
    解析:由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.
    答案:C
    2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动,已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:
    s1=5sin,s2=5cos.
    则在时间t=时,s1与s2的大小关系是( )
    A.s1>s2
    B.s1 C.s1=s2
    D.不能确定
    解析:当t=时,s1=-5,s2=-5,所以s1=s2.
    答案:C
    3.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将传播至( )

    A.甲
    B.乙
    C.丙
    D.丁
    解析:相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期,故选C.
    答案:C
    4.简谐振动y=sin的频率和相位分别是________.
    解析:简谐振动y=sin的周期是T==,相位是4x+,频率f==.
    答案:,4x+
    二、素养提升
    题型一:三角函数在物理中的应用
    例1:已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为:h=3sin.
    (1)求小球开始振动的位置;
    (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间;
    (3)经过多长时间小球往返振动一次?
    (4)每秒内小球能往返振动多少次?
    解析:(1)令t=0,得h=3sin=,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置cm处.
    (2)由题意知,当h=3时,t的最小值为,即小球第一次上升到最高点的时间为s.
    当h=-3时,t的最小值为,即小球第一次下降到最低点的时间为s.
    (3)T==π,即经过约πs小球往返振动一次.
    (4)f==,即每秒内小球往返振动次.
    →→→
    方法归纳:
    处理物理学问题的策略
    (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
    (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
    跟踪训练1:已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin,t∈[0,+∞).用“五点法”做出这个函数的简图,并回答下列问题:
    (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
    (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
    (3)经过多长时间小球往复振动一次?
    解析:列表如下,
    t
    0




    2t+


    π


    sin

    1
    0
    -1
    0
    s
    2
    4
    0
    -4
    0
    描点、连线,图象如图所示.

    (1)将t=0代入s=4sin,得s=4sin=2,所以小球开始振动时的位移是2cm.
    (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和-4cm.
    (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
    解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义,易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系.
    题型二:三角函数在实际生活中的应用[教材P245例2]
    例2:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
    时刻
    水深/m
    时刻
    水深/m
    时刻
    水深/m
    0:00
    5.0
    9:18
    2.5
    18:36
    5.0
    3:06
    7.5
    12:24
    5.0
    21:42
    2.5
    6:12
    5.0
    15:30
    7.5
    24:00
    4.0
    (1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系,给出整点时水深的近似数值(精确0.001m).
    (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?
    (3)某船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船这一天在2:00开始卸货,吃水深度以0.3m/h的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域,那么该船最好在什么时间停止卸货,将船驶向较深的水域?

    解析:(1)以时间x(单位:h)为横坐标,水深y(单位:m)为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图1).根据图象,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:
    A=2.5,h=5,T=12.4,φ=0;
    由T==12.4,得ω=.
    所以,这个港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sinx+5近似描述.
    由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表):
    时刻
    0:00
    1:00
    2:00
    3:00
    4:00
    5:00
    6:00
    7:00
    8:00
    9:00
    10:00
    11:00
    水深/m
    5.000
    6.213
    7.122
    7.497
    7.245
    6.428
    5.253
    4.014
    3.023
    2.529
    2.656
    3.372
    时刻
    12:00
    13:00
    14:00
    15:00
    16:00
    17:00
    18:00
    19:00
    20:00
    21:00
    22:00
    23:00
    水深/m
    4.497
    5.748
    6.812
    7.420
    7.420
    6.812
    5.748
    4.497
    3.372
    2.656
    2.529
    3.023
    (2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m,所以当y≥5.5时就可以进港.令
    2.5sinx+5=5.5,sinx=0.2.
    由计算器可得
    0.2013579208≈0.2014.
    如图2,在区间[0,12]内,函数y=2.5sinx+5的图象与直线y=5.5有两个交点A,B,因此
    x≈0.2014,或π-x≈0.2014.

    解得xA≈0.3975,xB≈5.8025.
    由函数的周期性易得:
    xC≈12.4+0.3975=12.7975,
    xD≈12.4+5.8025=18.2025.
    因此,货船可以在零时30分左右进港,早晨5时45分左右出港;或在下午13时左右进港,下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.

    (3)设在xh时货船的安全水深为ym,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象,可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点(图3).
    借助计算工具,用二分法可以求得点P的坐标约为(7.016,3.995),因此为了安全,货船最好在6.6时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.
    观察问题中所给出的数据,可以看出,水深的变化具有周期性,根据表中的数据画出散点图,如图1.从散点图的形状可以判断,这个港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画,其中x是时间,y是水深.根据数据可以确定A,ω,φ,h的值.
    教材反思:
    解三角函数应用问题的基本步骤

    跟踪训练2:如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:

    (1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式;
    (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?
    解析:(1)由已知可设y=40.5-40cosωt(t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=,即ω=.
    所以y=40.5-40cost(t≥0).
    (2)令y=40.5-40cost=60.5,得cost=-,
    所以t=π或t=π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).
    (1)由已知可得解析式.
    (2)利用y=60.5解t.
    题型三:根据数据拟合函数
    例3:某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.
    t/小时
    0
    3
    6
    9
    12
    15
    18
    21
    24
    y/米
    10.0
    13.0
    9.9
    7.0
    10.0
    13.0
    9.9
    7.0
    10.0
    经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asinωt+b的图象.
    (1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式.
    (2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
    解析:(1)由已知数据,描出曲线如图:

    易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,
    ∴ω==,∴y=3sint+10.(0≤t≤24)
    (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,
    由y≥11.5,得3sint+10≥11.5,∴sint≥.①
    ∵0≤t≤24,∴0≤t≤4π.②
    由①②得≤t≤或≤t≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
    ∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.
    由表格画出曲线图,由图可求A,b,由周期T可求ω,即求y=Asinωt+b.
    方法归纳:
    在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤
    (1)根据原始数据,绘出散点图;
    (2)通过散点图,做出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线;
    (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;
    (4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
    跟踪训练3:已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
    t
    0
    3
    6
    9
    12
    15
    18
    21
    24
    y
    1.5
    1.0
    0.5
    1.0
    1.5
    1.0
    0.5
    0.99
    1.5
    经长期观测,y=f(x)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.
    (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式;
    (2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
    解析:(1)由表中数据可知,T=12,所以ω=.又t=0时,y=1.5,所以A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅A为,函数解析式为y=cost+1(0≤t≤24).
    (2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,
    所以y=cost+1>1,cost>0,2kπ- 又0≤t≤24.所以0≤t<3或9 根据表格,确立y=Acosωt+b的模型,求出A,T,b,推出ω,利用t=0时,y为1.5,t=3,y=1.0,求出b,即可求出拟合模型的解析式.
    三、学业达标
    (一)选择题
    1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=3sin100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的周期是( )
    A.
    B.50
    C.
    D.100
    解析:T==.
    答案:A

    2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
    A.5
    B.6
    C.8
    D.10
    解析:由图可知-3+k=2,则k=5,∴y=3sin+5,∴ymax=3+5=8.
    答案:C
    3.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
    x
    1
    2
    y
    10000
    9500
    则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
    A.10000元
    B.9500元
    C.9000元
    D.8500元
    解析:因为y=500sin(ωx+φ)+9500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9500=10000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9500=9500,即
    所以易得3ω+φ=-+2kπ,k∈Z.
    又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9500,所以y=9000.
    答案:C

    4.如图,单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( )
    A.2s
    B.1s
    C.s
    D.s
    解析:由题意,知周期T==1(s),从最右边到最左边的时间是半个周期,为s.
    答案:C
    (二)填空题
    5.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________.
    解析:T==(分),f==80(次/分).
    答案:80

    6.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),0<φ<,函数图象如图所示,则φ=________.
    解析:根据图象,知,两点的距离刚好是个周期,所以T=-=.
    所以T=1,则ω==2π.
    因为当t=时,函数取得最大值,
    所以2π×+φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<,所以φ=.
    答案:
    7.据市场调查,某种商品每件的售价按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低,为4千元,则f(x)=________.
    解析:由题意得解得A=2,B=6,周期T=2×(7-3)=8,所以ω==.
    所以f(x)=2sin+6.
    又当x=3时,y=8,
    所以8=2sin+6,
    所以sin=1,结合|φ|<可得φ=-,
    所以f(x)=2sin+6.
    答案:f(x)=2sin+6
    (三)解答题
    8.弹簧振子以O为平衡位置,在B,C两点间做简谐运动,B,C相距20cm,某时刻振子处在B点,经0.5s振子首次到达C点,求:
    (1)振动的振幅、周期和频率;
    (2)弹簧振子在5s内通过的路程及位移.
    解析:(1)设振幅为A,则2A=20cm,
    所以A=10cm.
    设周期为T,则=0.5s,所以T=1s,所以f=1Hz.
    (2)振子在1s内通过的距离为4A,故在5s内通过的路程s=5×4A=20A=20×10=200(cm).
    5s末物体处在B点,所以它的位移为0cm.
    9.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin(100πt+)来表示,求:
    (1)开始时电压;
    (2)电压值重复出现一次的时间间隔;
    (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
    解析:(1)当t=0时,E=110(V),
    即开始时的电压为110V.
    (2)T==(s),即时间间隔为0.02s.
    (3)电压的最大值为220V,
    当100πt+=,即t=s时第一次取得最大值.
    尖子生题库:
    10.心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80mmHg为标准值,设某人的血压满足方程式P(t)=115+25sin(160πt),其中P(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题:
    (1)求函数P(t)的周期;
    (2)求此人每分钟心跳的次数;
    (3)画出函数P(t)的草图;
    (4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.
    解析:(1)由于ω=160π代入周期公式T=,可得T==(min),
    所以函数P(t)的周期为min.
    (2)函数P(t)的频率f==80(次/分),即此人每分钟心跳的次数为80.
    (3)列表:
    t/min
    0




    P(t)/mmHg
    115
    140
    115
    90
    115
    描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示.

    (4)此人的收缩压为115+25=140(mmHg),舒张压为115-25=90(mmHg),与标准值120/80mmHg相比较,此人血压偏高.
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