人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用随堂练习题

5.7　三角函数的应用

基础过关练

题组一　函数式y=Asin(ωx+φ) 描述简谐运动时的基本概念

1.已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0,1),则(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.T=6,φ= B.T=6,φ=

C.T=6π,φ= D.T=6π,φ=

2.简谐运动y=sin的频率f=　　　　. 

题组二　三角函数模型在物理中的应用

3.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于(　　)

A. B. C. D.

4.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)(假设向上为正)满足函数关系式s=2sin.给出下列三种说法:①小球开始时在平衡位置上方 cm处;②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处;③每经过2π s小球重复振动一次.其中正确的说法是(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

5.如图所示,弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过π s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是　　　　　　.  

题组三　三角函数模型在生活中的应用

6.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)

A.5 B.6 C.8 D.10

7.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表:

则适合这组数据的函数模型是(　　)

A.y=acos

B.y=acos+k(a>0,k>0)

C.y=-acos+k(a>0,k>0)

D.y=acos-3

8.如图所示,质点P在半径为2的圆周上按逆时针方向运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1 rad/s,那么点P到x轴的距离d关于时间t(s)的函数图象大致为(　　)

9.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asin+60(单位:美元,t为天数,A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时,油价最低,则A的值为　　　　,ω的最小值为　　　　　. 

10.如图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线,其近似为函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,则该天8时的温度大约为　　　　.(精确到1 ℃) 

题组四　三角函数模型的建立及其应用

11.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速转动,观察后轮气针的运动规律,若将后轮放入如图所示的坐标系中,轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动,P0是气针的初始位置,气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.

(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式,并求出P的运动周期;

(2)当φ=,r=ω=1时,作出其图象.

12.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).

(1)求出种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);

(2)估计当年3月1日动物种群数量.

13.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;

③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

能力提升练

题组一　三角函数模型在物理中的应用

1.()一个单摆如图所示,以OA为始边,OB为终边的角θ与时间t(s)的函数满足:θ=sin,则单摆完成5次完整摆动所花的时间为(　　)

A.5 s B.10 s

C. s D.5π s

2.()电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则t=时的电流强度为(　　)

A.0安培

B.-5安培

C.10安培

D.-10安培

3.()在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos 2t.当t=时,s1与s2的大小关系是(　　)

A.s1>s2 B.s1<s2

C.s1=s2 D.不能确定

4.(多选)()如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)

A.该质点的运动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零

题组二　三角函数模型在生活中的应用

5.(2019福建三明高三期末,)在水平地面上同一地点观测远方匀速垂直上升的热气球,在上午10点整热气球的仰角是30°,到上午10点20分热气球的仰角变成34°.请利用下表判断,到上午11点整时,热气球的仰角最接近(　　)

A.39° B.41° C.43° D.45°

6.(多选)(2020山东烟台高一上期末,)如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中(深度解析)

A.经过10 min点P距离地面10 m

B.若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的

C.第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同

D.摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min

7.(2019福建师大附中高一上期末,)如图所示,边长为 1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处,点B恰好能经过原点.设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:

①函数y=f(x)是偶函数;

②y=f(x)是周期为4的函数;

③函数y=f(x)在区间[10,12]上单调递减;

④函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,] .

其中判断正确的序号是　　　　.(写出所有正确结论的序号) 

题组三　三角函数模型的建立及其应用

8.(2019江苏南京高一上期末,)已知函数f(x)=2cos x(x∈[0,π])的图象与函数g(x)=3tan x的图象交于A,B两点,则△OAB(O为坐标原点)的面积为(　　)

A. B. C. D.

9.(2019北京丰台高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边与单位圆交于点P(P不在坐标轴上),过点P作x轴的垂线,垂足为M,则△POM面积的最大值为(　　)

A. B. C. D.

10.()通常情况下,同一地区一天的气温随时间变化的曲线接近于函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b的图象.2019年12月下旬某地区连续几天最高气温都出现在14时,最高气温为14 ℃;最低气温出现在凌晨2时,最低气温为零下2 ℃.

(1)请推理该地区该时段的气温函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t∈[0,24))的解析式;

(2)23日上午9时某高中将举行阶段性考试,如果此时气温低于10 ℃(不考虑室内外的温差),教师就要开空调,请问届时应该开空调吗?

11.(2019广东佛山高一上期末,)如图是半径为1 m的水车截面图,在它的边缘圆周上有一动点P,按逆时针方向以角速度 rad/s(每秒绕圆心转动 rad)做圆周运动,已知点P的初始位置为P0,且∠xOP0=,设点P的纵坐标y是转动时间t(单位:s)的函数,记为y=f(t).

(1)写出函数y=f(t)的解析式,并求f(0), f的值;

(2)选用恰当的方法作出函数f(t),0≤t≤6的简图;

(3)试比较f, f, f的大小(直接给出大小关系,不用说明理由).

答案全解全析

基础过关练

1.A　由题意知T==6, f(0)=2sin φ=1,

因为|φ|<,

所以φ=,故选A.

2.答案　

解析　因为周期T==16,所以简谐运动y=sin的频率f==.

3.D　因为周期T==1,

所以=2π,

所以l=.

4.D　 当t=0时,s=2sin=,故①正确;smin=-2,故②正确;函数的最小正周期T=2π,故③正确.

5.答案　y=4sin(答案不唯一)

解析　不妨设y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由题知A=4,T=π,所以ω==2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以φ=2kπ+,k∈Z,不妨取φ=,故所求关系式可以为y=4sin.

6.C　由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,

∴ymax=k+3=8.

7.C　当x=1时,图象处于最低点,排除B;当x=7时,图象处于最高点,排除A,D.故选C.

8.C　 根据点P0的坐标可得∠xOP0=-,故∠xOP=t-.设点P(x,y),则由三角函数的定义,可得sin∠xOP=,即sin=,故y=2sin,因此点P到x轴的距离d=|y|=2,据解析式可得C选项中的图象符合条件,故选C.

9.答案　20;

解析　由A+60=80得A=20.

因为当t=150时油价最低,所以150ωπ+=-+2kπ,k∈Z,即ω=-,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值,此时ω=-=.

10.答案　13 ℃

解析　由题意得A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20.

∵T=2×(14-6)=16,

∴=16,∴ω=,

∴y=10sin+20.

将x=6,y=10代入,得10sin+20=10,即sin=-1.

∵<φ<π,∴φ=,

∴y=10sin+20,x∈[6,14].

∴当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,

即这一天8时的温度大约为13 ℃.

11.解析　(1)过P作x轴的垂线,设垂足为M,则MP就是正弦线.

∴y=rsin(ωt+φ),因此T=.

(2)当φ=,r=ω=1时,y=sin,

其图象可由y=sin t的图象向左平移个单位长度得到,如图所示.

12.解析　(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),

则

解得A=100,b=800.

又周期T=12,

∴ω==,

∴y=100sint+φ+800.

又当t=6时,y=900,

∴900=100sin×6+φ+800,

∴sin(π+φ)=1,

∴sin φ=-1,

∴可取φ=-,

∴y=100sint-+800.

(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日动物种群数量估计是750.

13.解析　(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知, f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.

根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得

根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,

故sin=-1,

且sin=1.

又因为0<|φ|<π,故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.

(2)由条件可知,200sin+300≥400,化简得sin≥,即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,

解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.

因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备400份以上的食物.

能力提升练

1.D　函数的周期为T==π,5个周期即5π,故选D.

2.A　由题图知A=10,函数的周期T=2×=,所以ω===100π,则I=10sin(100πt+φ),将点代入I=10sin(100πt+φ),可得sin=1,∴+φ=+2kπ,k∈Z.又0<φ<π,∴φ=,故函数解析式为I=10sin,将t=代入函数解析式,得I=0.

3.C　当t=时,s1=5sin=5sin=-5,s2=10cos=-5,所以s1=s2.

4.BC　由题图可知,运动周期为2×(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.

5.B　设上午10点整时热气球距离地面的高度为h,10点20分时,高度为h+m,11点整时的高度为H,此时的角度为θ,根据直角三角形的边角关系得到==,所以m≈0.17 h,因为热气球是匀速上升的,故H=h+3m≈h+0.17×3h=1.51h,代入上述关系式得到tan θ≈0.871,根据题表中的数据得到仰角最接近41°.

6.ACD　建立如图所示的平面直角坐标系,

设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,

由点P的起始位置在最高点知,φ=,

又由题知OP在t min内转过的角为t,即,

所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为+,

即点P的纵坐标为40sin,

所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40sin=50+40cos.

当t=10时,h=50+40cos π=10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40cos=50+40cos,h(43)=50+40cos=50+40cos,C正确;由h(t)= 50+40cos≥70得cos≥,解得2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,即20k-≤t≤20k+,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min,D正确.故选ACD.

解题模板　解决与旋转有关的应用问题,可用三角函数(简谐运动)来研究,解题时要明确各个量及其关系,如本题中的周期为20 min,振幅为40 m,初相为,平衡位置的高度为50 m.要防止将这些量弄错导致解题错误.

7.答案　①②④

解析　当-2≤x<-1时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,

当-1≤x<1时,P的轨迹是以B为圆心,为半径的圆,

当1≤x<2时,P的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,

当2≤x<3时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,

故函数的周期为4.

最终构成图象如图所示:

①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故正确;

②f(x)的周期为4,故正确;

③函数y=f(x)在区间[2,4]上为增函数,故在区间[10,12]上也是增函数,故错误;

④函数y=f(x)在区间[-1,1]上的值域是[1,],故正确.

综上,正确的序号是①②④.

8.D　令2cos x=3tan x,可得2cos2x=3sin x,即 2sin2x+3sin x-2=0,

解得sin x=或sin x=-2(舍去).

又∵x∈[0,π],

∴x=或x=,

∴不妨取A,B,在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象,如图所示.

根据函数图象的对称性可得AB的中点C,

∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积,

即OC·|yA|+OC·|yB|=OC·|yA-yB|=××2=,故选D.

9.C　如图所示,根据题意,设P的坐标为(cos θ,sin θ),其中点P不在坐标轴上.

则|OM|=|cos θ|,|MP|=|sin θ|,

则S△POM=×|OM|×|MP|==≤,

即△POM面积的最大值为,故选C.

10.解析　(1)A=[14-(-2)]=8,b=×[14+(-2)]=6,由T=24得ω==.

所以f(t)=8sin+6.

又 f(2)=8sin+6=-2,

即sin=-1,故+φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,所以φ=-,

所以函数解析式为f(t)=8sin+6.

(2)当t=9时,y=8sin+6<8sin+6=10,气温低于10 ℃,满足开空调的条件,所以应该开空调.

11.解析　(1)由题意知函数y=f(t)=sin,t≥0, f(0)=sin=,

f=sin

=cos=.

(2)根据题意列表如下:

描点、连线,作出函数f(t),0≤t≤6的简图,如图所示.

(3)f>f>f.