高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用练习

5.7三角函数的应用

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则的最小值是　　

A． B． 

C． D．

2．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．，

3．函数的最大值为　　

A． B． C． D．

4．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为　　

A． B． C． D．

5．已知函数，记，时的最大值为，则对任意的，，的最大值为　　

A．4 B．5 C．6 D．10

二．填空题（共4小题）

6．已知函数，

（1）当，，则的最大值为 　　；

（2）若对任意，，都有，则的取值范围为 　　．

7．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为　　．

8．已知函数的最小正周期为．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．

9．设直线与曲线有公共点，则整数的最大值是　　．

三．解答题（共3小题）

10．已知函数．

（1）若，求在，上的最大值与最小值；

（2）当，时，，求实数的取值范围．

11．已知，函数，其中．

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求函数的最大值（可以用表示）；

（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围．

12．已知函数．

（1）求函数的最大值及此时的值；

（2）在中，，，分别为内角，，的对边，且对定义域中的任意的都有（A），若，求的最大值．

（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教版新版高一同步分层作业5.7三角函数的应用

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．设，，，则的最小值是　　

A． B． 

C． D．

【分析】令，则，结合，构造数字式：，进而利用元均值不等式，可得函数的最小值．

【解答】解：令，

则，

又，

构造数字式：

，

，

，

当且仅当时，取等号，

即函数的最小值为，

故选：．

【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，本题运算量大，转化困难，属于难题．

2．已知当时，恒成立，则正实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．，

【分析】先对在区间，上进行讨论，可以看成显然成立，然后只需对区间讨论，转化为，，研究函数的单调性，即可求得的取值范围．

【解答】解：当，时，，显然恒成立，

当时，，所以，

记，，则，，

令，则，

所以在上单调递增，，

若，则，记，，则，

所以存在，使得，当时，，单调递减，

所以当时，，不符合题意，

若，则，即当时，单调递增，

所以，符合题意．

综上所述，正实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，三角函数的最值，导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．

3．函数的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】由，将所求函数的最值转化为求，时函数的最值即可，由可得时函数取得最大值，利用导数求函数的最大值即可．

【解答】解：，

故只需考虑，时函数的最值即可，

，

所以当，，即时函数取得最大值，

，

考虑函数，，，，

所以存在唯一零点，使得，可得，且，单调递减，

，，单调递增，

记，由正弦函数单调性可得，函数单调递增，，，函数单调递减，

所以函数的最大值为，

由，解得，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的最值，三角函数恒等变换，考查导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．

4．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得．

①再根据，可得；

②通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，

求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．

【解答】解：，其中，

处取得最大值

，即，，

，①，，

，，

，②，

①②得，

，

即，解得，，

若，则，

，

，，

，

，这与矛盾，故应舍去，

由①得，，

，

在第一象限，

取，，

由，即，

，，

，，

使最小，则，

即，

若不等式恒成立，则，

故选：．

【点评】本题考查了三角恒等换和同角的三角函数的关系，三角形函数的图象和性质，属于难题．

5．已知函数，记，时的最大值为，则对任意的，，的最大值为　　

A．4 B．5 C．6 D．10

【分析】先令，换元，则，再对当，时的范围进行讨论即，可求出的最大值为的最大值．

【解答】解：令，则，

因为，，，，

所以当 时，，，

所以此时，

当 时，对称轴，

①当 时，即 时，

，，

此时，即；

②当 时，即 时，

，

又，，

所以，

当 时，对称轴，

当时，即 时，，

所以，所以；

当 时，即 时，

，，

所以，

所以 最大值为10．

故选：．

【点评】本题考查三角函数有界性问题，二次函数的图象与性质，综合性比较强，属于难题．

二．填空题（共4小题）

6．已知函数，

（1）当，，则的最大值为 　　；

（2）若对任意，，都有，则的取值范围为 　　．

【分析】（1）当，时，，结合二倍角公式和二次函数的单调性，即可求解．

（2）函数，设，则，，问题等价于，对任意的，，，都有，分，，，四种情况讨论，并取并集，即可求解．

【解答】解：（1）当，时，，

所以当，即，时，，

故的最大值为．

（2）函数，

设，则，，

问题等价于，对任意的，，，都有，

①当时，则，则在，上单调递减，（1），解得，

故，

②当时，则，，

故，

③当，则，，（1），

故，

④当时，，在，上单调递增，（1），解得，

故，

综上所述，的取值范围为，．

故答案为：（1）．（2），．

【点评】本题主要考了三角函数的综合应用，以及函数的恒成立问题，需要学生很强的综合能力，属于难题．

7．已知函数的最小正周期为，若在上的最大值为，则的最小值为　　．

【分析】先给出一个引理并证明，由函数的周期性确定的值，将问题转化为引理的知识进行分析求解，即可得到答案．

【解答】解：先给出引理：

若函数在某区间上的最大值、最小值分别为，，在该区间上有最大值，

则的最小值为，此时．

证明如下：如图所示，，

其可视为曲线上一点到直线的距离，

则为，中较大的一个，

，

所以的最小值为，此时．

本题解析如下：

因为函数的最小正周期为，

所以，不妨设，则，

当时，，，

则，

令，则可视为曲线上一点到直线的距离，

由曲线的特征可知，其一定有一个极值点在上，记为，

根据图象的对称性，不妨设，则在，上单调递减，在，上单调递增，

由直线为曲线的对称轴可知，对于任意的，越大，则越大，

记为0，中距离较远的一个，则，

为，中较大的一个，

所以，

由引理可知，的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数最值问题的求解，涉及了三角函数的周期性、对称性以及单调性的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于较难题．

8．已知函数的最小正周期为．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是　，　．

【分析】依题意可求得，，，，令，则，，恒成立，等价转化为：，，恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性可求得实数的取值范围．

【解答】解：函数的最小正周期为，

，

解得，

，

由得：，，

，，

，，，．

令，则，，

于是，不等式恒成立，

等价转化为：，，恒成立恒成立恒成立，

令，则，，

由对勾函数的性质可知在区间，上单调递增，

当时，，

，，即实数的取值范围是，，

故答案为：，．

【点评】本题考查三角函数的周期性与最值，突出考查等价转化思想与不等式恒成立问题，考查逻辑推理与运算能力，属于难题．

9．设直线与曲线有公共点，则整数的最大值是　1　．

【分析】设直线与曲线有公共点，，则，当，时等号成立，再设，通过求导、判断单调性可求得最大值．

【解答】解：设直线与曲线有公共点，，

则，

当，时等号成立．

设，则，

所以在上是增函数，在上是减函数，

所以（1），，又，

所以，当时等号成立，

则，等号不能同时成立，

所以整数的最大值是1．

【点评】本题考查了三角函数的最值，属难题．

三．解答题（共3小题）

10．已知函数．

（1）若，求在，上的最大值与最小值；

（2）当，时，，求实数的取值范围．

【分析】（1）求出的导函数，利用导数求出的单调性，从而可求得在，上的最值；

（2）由，可得，求出的导函数，再分，两种情况讨论，利用导数求出的最大值小于等于1，从而可得的取值范围．

【解答】解：（1），

当时，，

令可得，所以，，

令可得，所以，，

故在，上单调递增，在，上单调递减，

故，

因为，，

所以．

（2），故，

，

因为，所以，

所以，，

①时，，在，上单调递增，恒成立；

②时，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以，，，

所以存在，使得，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

因为，，所以．

综上，的取值范围是，．

【点评】本题主要考查三角函数的求值，利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．

11．已知，函数，其中．

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求函数的最大值（可以用表示）；

（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围．

【分析】（1）令，换元即可得解；

（2）问题转化为，，的最大值，由二次函数分类讨论即可得解；

（3）问题转化为对，成立，分类讨论即可得解．

【解答】解：（1），，

则，，

所以，

显然，

所以，，

所以，；

（2）的最大值即的最大值

①，即时，在单调递减，；

②，即时，在单调递增，（2）；

③时，在单调递增，单调递减，；

综上，．

（3）由题意可得：，，；

①，即时，在单调递减，

则；

②，即时，在单调递增，

则；

③时，在单调递增，单调递减，

，则．

综上，．

【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的图象与性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．

12．已知函数．

（1）求函数的最大值及此时的值；

（2）在中，，，分别为内角，，的对边，且对定义域中的任意的都有（A），若，求的最大值．

【分析】（1）利用两角和与二倍角公式化简函数为．后求函数的最大值及此时的值；

（2）在中，，，分别为内角，，所对的边，且对定义域中的任意的都有（A），推出（A）是的最大值及，求出，通过余弦定理，和基本不等式确定的范围，然后求出的表达式，即可求出它的最大值．

【解答】解：

；

当，即时，；

（2）由（A）是的最大值及得到，，

将，代入，可得，

又，，则，

，当且仅当时，最大，最大值为．

【点评】本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示，基本不等式的应用，二倍角和两角和的正弦函数的应用是解题的关键，解答（2）的关键是挖掘（A）是的最大值，属中档题