数学必修 第一册4.4 对数函数随堂练习题

这是一份数学必修 第一册4.4 对数函数随堂练习题，共15页。试卷主要包含了设，，，则，，的大小关系为，若，则，已知，，，则，，的大小关系为，定义在上的函数，如果满足等内容，欢迎下载使用。
4.4对数函数一．选择题（共5小题）1．设，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为　　A． B． C．8 D．43．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　A． B． C． D．4．若，则　　A． B． C． D．5．已知是自然对数的底数，设，，，则　　A． B． C． D．二．填空题（共4小题）6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是　 　．7．已知，，，则，，的大小关系为 　　8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是　　．9．设为，，的反函数，则的最大值为　　．三．解答题（共3小题）10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．                 11．已知函数是上的偶函数，且当时，．（1）求（1）的值；（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若，求实数的取值范围．                         12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．
                                     4.4对数函数参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．设，，，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【分析】构造函数，利用导数研究单调性，则答案可求．【解答】解：构造函数，则，当时，，则在上为增函数，（3），即，，即，则；设，则，当时，，在上为增函数，则（3），即，则．又．．故选：．【点评】本题考查对数值大小的比较，考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，属难题．2．已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为　　A． B． C．8 D．4【分析】设，，，的横坐标分别为，，，，由题意求出四个点的横坐标，然后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：设，，，的横坐标分别为，，，，由题意可得，，，，，则有，，，，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最小值为．故选：．【点评】本题考查了对数函数的应用，主要考查了对数式与指数式的互化，基本不等式求最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．3．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为　　A． B． C． D．【分析】求出，的坐标，设出的坐标，根据中点坐标公式求出的值即可．【解答】解：由题意，，，设，因为是等边三角形，所以点到直线的距离为，所以，，根据中点坐标公式可得，所以，解得，故选：．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查中点坐标公式，是中档题．4．若，则　　A． B． C． D．【分析】通过构造函数，得到时递增函数，再构造函数，利用在，上单调递减，得到（a）（b）（c），即，变形可得到．【解答】解：设，，令，，，递增函数，设，，，当时，，，在，上单调递减，，，（a）（b）（c），，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了通过构造函数，利用构造函数的单调性 再通过合理变形解决问题，属于中档题．5．已知是自然对数的底数，设，，，则　　A． B． C． D．【分析】构造新函数，利用函数的单调性比较大小即可．【解答】解：已知是自然对数的底数，，，，设，则，当时，，函数在上是增函数，当时，，函数在上是减函数，（3），（2），而，所以，又因为，，为常用不等式，可得，令，，当时，，函数在上是减函数，故（2）（e），则，即，则，故：故选：．【点评】本题考查了利用函数的单调性比较大小，属于中档题．二．填空题（共4小题）6．已知函数与，若对任意的，，都存在，，使得，则实数的取值范围是　，，　．【分析】分别求出和的值域，令的值域为的值域的子集列出不等式解出．【解答】解：，，（2）（6），即，的值域为，．的图象开口向上，对称轴为，（1）若，则在，上是增函数，（2），即的值域为，，，解得．（2）若，则在，上是减函数，（2）（1），即的值域为，，，解得．（3）若，则（a），（2），的值域为，，，解得．（4）若，则（a），，的值域为，，，解得．综上，的取值范围是，，，，，，．故答案为，，．【点评】本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题．7．已知，，，则，，的大小关系为 　　【分析】构造函数，，，利用导数和函数的单调性即可判断．【解答】解：，，，令，，令，则，，，，在上单调递增，（1），，，同理令，再令，则，，，，在上单调递减，（1），，，．故答案为：．【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．8．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是　，　．【分析】由题意，对定义域内任意实数，使得恒成立，由此进行讨论分析可求的取值范围．【解答】解：由题意，其定义域内任意实数，使得，，解析式要有意义，则有，①当时，，定义域为，满足恒成立；②当时，，定义域为，满足恒成立；③当时，有在上恒成立，所以，解得；④当时，在时，有，不符合题意．综上，的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键，属于中档题．9．设为，，的反函数，则的最大值为　　．【分析】根据是，上的增函数，且与的单调性相同，得出的定义域为，，进而可得的最大值．【解答】解：，是，上的单调增函数，且为，，的反函数，和的单调性相同，当时，的最大值为，且当时，的定义域为，，且当时，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的性质，函数的定义域值域．主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．三．解答题（共3小题）10．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在，上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；（2）先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）问题转化为在，上恒成立，通过换元法求解即可．【解答】解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故．（2）由（1）得：，而，易知在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为，．（3）由题意知，在，上恒成立，，．在，上恒成立．设，，，由，，得．易知在，上递增，设，，所以在，上递减，在，上的最大值为（1），在，上的最小值为（1），所以实数的取值范围为，．【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的新定义问题，考查换元思想，是一道中档题．11．已知函数是上的偶函数，且当时，．（1）求（1）的值；（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若，求实数的取值范围．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出（1）即的值即可；（2）令，得到，根据函数的奇偶性求出的解析式，从而求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为，得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：（1）（1）；（2）令，则，则，故时，，故；故在，递增，在递减；（3）若，即，时，（1），则，时，，则，故或，解得：或，即，，【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．12．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．【分析】（1）函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得出答案（2）时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围（3）由于在，上是增函数，在，上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称，，即，，恒成立，即，即恒成立，所以，解得，又时，无意义，故；（2）时，恒成立，即，在恒成立，由于是减函数，故当，函数取到最大值，，即实数的取值范围是；（3）在，上是增函数，在，上是减函数，只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．代入函数解析式得，解得，即当时关于的方程在，上有解．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识