广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.3简单复合函数的导数训练提升新人教版选择性必修第二册

5.2.3　简单复合函数的导数

课后·训练提升

基础巩固

1.函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(　　)

A.y=un,u=x2-1

B.y=(u-1)n,u=x2

C.y=tn,t=(x2-1)n

D.y=(t-1)n,t=x2-1

答案:A

2.(多选题)下列求导结果正确的是(　　)

A.(xln(-x))'=ln(-x)-1 

B.(sin 2x)'=2cos 2x

C.(ln(-2x+3))'=

D.()'=2x

答案:BD

解析:(xln(-x))'=x'·ln(-x)+x(ln(-x))'=ln(-x)+x·=ln(-x)+1,故A错误;

(sin2x)'=2cos2x,故B正确;

(ln(-2x+3))'=(-2x+3)'=,故C错误;

()'=()·(x2-1)'=2x,故D正确.

3.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f'(1)等于(　　)

A.0 B.60 

C.-1 D.-60

答案:B

解析:因为f'(x)=10(1-2x3)9(-6x2),

所以f'(1)=10×(1-2)9×(-6)=60.

4.函数y=xln(2x+5)的导数y'=(　　)

A.ln(2x+5)- 

B.ln(2x+5)+

C.2xln(2x+5) 

D.

答案:B

解析:y'=[xln(2x+5)]'

=x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]'

=ln(2x+5)+x··(2x+5)'

=ln(2x+5)+.

5.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则的值为(　　)

A.10 B.-10 

C.-20 D.20

答案:C

解析:∵f(x)=2ln(3x)+8x,

∴f'(x)=+8=8+.

根据导数定义知=-2=-2f'(1)=-20.

故应选C.

6.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:D

解析:y'=a-,由题意得y'|x=0=2,即a-1=2,故a=3.

7.函数y=sin 2xcos 3x的导数y'=　　　　　　　　　. 

答案:2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x

解析:y'=(sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)'=2cos2xcos3x-3sin2xsin3x.

8.曲线y=xex-1在点(1,1)处的切线的斜率为　　　　　. 

答案:2

解析:y'=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,

故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e1-1=2.

9.若函数f(x)=,则f'(x)=　　　　　. 

答案:

解析:∵f(x)=,

∴f'(x)=.

10.若曲线y=e-x在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是　　　　　. 

答案:(-ln 2,2)

解析:设P(x0,),则y'=-=-2,得x0=-ln2,故点P的坐标为(-ln2,2).

11.求曲线y=2sin2x在点P处的切线方程.

解:因为y'=(2sin2x)'=2×2sinx(sinx)'=2×2sinxcosx=2sin2x,

所以切线斜率k=2sin=.

所以所求切线方程为y-,即x-y+=0.

12.设函数f(x)=aexln x+.

(1)求导函数f'(x);

(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.

解:(1)由f(x)=aexlnx+,

得f'(x)=(aexlnx)'+=aexlnx+.

(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,将x=1代入函数f(x)得f(1)=b,故b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,故a=1.

能力提升

1.函数y=sin 2x-cos 2x的导数y'=(　　)

A.2cos 

B.cos 2x-sin 2x

C.sin 2x+cos 2x 

D.2cos

答案:A

解析:y'=(sin2x)'-(cos2x)'

=cos2x·(2x)'+sin2x·(2x)'

=2cos2x+2sin2x

=2

=2cos.

故选A.

2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)

A. B. C. D.1

答案:A

解析:∵y'|x=0=-2e-2×0=-2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2.

如图,由得x=y=,

∴A.

故所求三角形的面积为×1=.

3.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为　　　　　　　　. 

答案:5x+y-3=0

解析:因为y'=e-5x(-5x)'=-5e-5x,

所以切线的斜率k=-5,

故切线方程为y-3=-5(x-0),

即5x+y-3=0.

4.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f',则φ=　　　　　;若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　　　　. 

答案:

解析:f'(x)=-sin(x+φ).

由条件知,f'=-sin(π+φ)=sinφ=,∴sinφ=.

∵0<φ<π,

∴φ=或φ=.

∵f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sin,

∴若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,

即0=2sin,∴φ+=kπ(k∈Z).

又φ∈(0,π),∴φ=.

5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　. 

答案:2

解析:设切点坐标是(x0,x0+1),

依题意有

解得x0=-1,a=2.

6.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,求曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程.

解:设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.

因为f(x)为偶函数,所以f(x)=ex-1+x,所以f'(x)=ex-1+1,f'(1)=2,

所以所求的切线方程为y-2=2(x-1),

即2x-y=0.

7.已知曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.

解:由y'=(e2xcos3x)'=(e2x)'cos3x+e2x(cos3x)'=2e2xcos3x+e2x(-3sin3x)=e2x(2cos3x-3sin3x),

得y'|x=0=2.

则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.

由直线l与切线平行,可设直线l的方程为2x-y+c=0(c≠1),

则两平行线间的距离d=,得c=6或c=-4.

故直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0.