广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性训练提升新人教版选择性必修第二册

5.3　导数在研究函数中的应用

5.3.1　函数的单调性

课后·训练提升

基础巩固

1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是(　　)

答案:D

解析:∵函数f(x)在区间(0,+∞),(-∞,0)内都单调递减,∴当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)<0.故选D.

2.若a>0,且f(x)=x3-ax在区间[1,+∞)内单调递增,则a的取值范围是(　　)

A.(0,3) B.(0,3]

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

答案:B

解析:由题意得,f'(x)=3x2-a≥0在区间[1,+∞)内恒成立,

所以a≤(3x2)min=3,又a>0,所以0<a≤3.

3.下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递增的是(　　)

A.y=sin x 

B.y=xex

C.y=x3-x 

D.y=ln x-x

答案:B

解析:B项中,y=xex,y'=ex+xex=ex(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故y=xex在区间(0,+∞)内单调递增.

4.(多选题)若函数y=exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的为(　　)

A.f(x)=2-x 

B.f(x)=3-x

C.f(x)=x3 

D.f(x)=x2+2

答案:AD

解析:A中,exf(x)=ex·2-x=在R内单调递增,故f(x)=2-x具有M性质;

B中,exf(x)=ex·3-x=在R内单调递减,故f(x)=3-x不具有M性质;

C中,exf(x)=ex·x3,令g(x)=ex·x3,则g'(x)=ex·x3+ex·3x2=x2ex(x+3),当x>-3时,g'(x)>0,当x<-3时,g'(x)<0,故exf(x)=ex·x3在区间(-∞,-3)内单调递减,在区间(-3,+∞)内单调递增,故f(x)=x3不具有M性质;

D中,exf(x)=ex(x2+2),令g(x)=ex(x2+2),

则g'(x)=ex(x2+2)+ex·2x=ex[(x+1)2+1]>0,

得exf(x)=ex(x2+2)在R内单调递增,故f(x)=x2+2具有M性质.

5.定义在R内的连续函数f(x),若(x-1)f'(x)<0,则下列各项正确的是(　　)

A.f(0)+f(2)>2f(1)

B.f(0)+f(2)=2f(1)

C.f(0)+f(2)<2f(1)

D.f(0)+f(2)与2f(1)大小关系不定

答案:C

解析:∵(x-1)f'(x)<0,

∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,

∴f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,在区间(-∞,1)内单调递增,

∴f(0)<f(1),f(2)<f(1),

∴f(0)+f(2)<2f(1).

6.若y=sin x+ax在R内是增函数,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:[1,+∞)

解析:由已知得y'=cosx+a≥0对x∈R恒成立,即a≥-cosx对x∈R恒成立.所以a≥1.

7.已知函数f(x)=2x3+ax2+1(a为常数)在区间(-∞,0),(2,+∞)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则a的值为　　　　　. 

答案:-6

解析:由题意得f'(x)=6x2+2ax=0的两根为0和2,可得a=-6.

8.已知函数f(x)=3x-2sin x,若f(a2-3a)+f(3-a)<0,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

答案:(1,3)

解析:函数f(x)的定义域为R.

∵f(x)=3x-2sinx,f(-x)=-3x+2sinx=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.

又f'(x)=3-2cosx>0,∴函数f(x)为增函数,

f(a2-3a)+f(3-a)<0,即f(a2-3a)<-f(3-a)=f(a-3),即a2-3a<a-3,

解得1<a<3.

9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,f'(x)<2,则不等式f(x)>2x-1的解集为　　　　. 

答案:(-∞,1)

解析:令g(x)=f(x)-2x+1,则g'(x)=f'(x)-2<0,又g(1)=f(1)-2×1+1=0,所以当g(x)>g(1)=0时,x<1,所以f(x)-2x+1>0,即f(x)>2x-1的解集为(-∞,1).

10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调区间.

解:(1)由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,

所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f'(x)=3x2+2bx+c.

由f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1.

又f'(-1)=6,所以有

解得b=c=-3.

故所求函数解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2.

(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x-3.

令f'(x)>0,得x<1-或x>1+;

令f'(x)<0,得1-<x<1+.

故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-),(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).

11.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).

(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=-时,f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1),

f'(x)=-x+=-(x>-1).

当f'(x)>0时,解得-1<x<1;

当f'(x)<0时,解得x>1.

故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).

(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递减,

所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,

即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立.

令g(x)=-=-,

易知当x∈[1,+∞)时,g(x)min=g(1)=-,则a≤-.

故实数a的取值范围为.

能力提升

1.函数f(x)=的图象大致为(　　)

答案:B

解析:函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除选项A;

当x>0时,f(x)>0,且f'(x)=,故当x∈(0,1)时,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增,排除选项C;

当x<0时,函数f(x)=<0,排除选项D,故选B.

2.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是(　　)

A. B. 

C.(1,2] D.[1,2)

答案:A

解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-.

由f'(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为;

由f'(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为.

因为函数f(x)在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以k-1<<k+1,解得-<k<.

又因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以k-1≥0,即k≥1.

综上可知,1≤k<.

3.(多选题)下列不等式正确的是(　　)

A.>ln 2 

B.ln 2<ln

C.ln 2< 

D.>5

答案:ABC

解析:构造函数f(x)=,导数为f'(x)=.

当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

∵32>23,y=lnx在定义域上单调递增,∴ln32>ln23,即2ln3>3ln2,∴>ln2,故A正确;

∵e>>2,∴f>f(2),

∴,lnln2,故B正确;

∵f(2)<f(e)=,∴,即ln2<,故C正确;

∵e>>2,∴f()>f(2),∴,

∴2lnln2,

∴ln()2>ln,∴5>,故D错误.

故选ABC.

4.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为　. 

答案:(-∞,-1)∪(0,1)

解析:由xf'(x)<0,可得

由题图可知当-1<x<1时,f'(x)<0,

当x<-1或x>1时,f'(x)>0,

则

解得0<x<1或x<-1.

故xf'(x)<0的解集为(0,1)∪(-∞,-1).

5.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:(0,+∞)

解析:∵y'=-4x2+a,且y=-x3+ax有三个单调区间,

∴方程y'=-4x2+a=0有两个不相等的实根,

∴Δ=02-4×(-4)×a>0,∴a>0.

6.若函数f(x)=-x2+bln(x+2)在区间(-1,+∞)内单调递减,则b的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-1]

解析:f'(x)=-x+,

由题意知f'(x)=-x+≤0在区间(-1,+∞)内恒成立,

即≤x在区间(-1,+∞)内恒成立,

∵x>-1,∴x+2>1>0,

∴b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)内恒成立.

设y=x(x+2),则y=x2+2x=(x+1)2-1,

∵x>-1,∴y>-1,

∴要使b≤x(x+2)在区间(-1,+∞)内恒成立,则有b≤-1.

7.已知函数f(x)=+aln x+x,且曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=-2x+2平行,则a=　　　　　,函数f(x)的单调递增区间是　　　　　. 

答案:-1　(2,+∞)

解析:f(x)=+alnx+x,定义域为(0,+∞),

f'(x)=-+1=.

由题知f'(1)=a-1=-2,解得a=-1,

故f'(x)=,令f'(x)=0,得x1=2或x2=-1(舍).

f'(x)>0,即x2-x-2>0,且x>0,得x>2,

故函数y=f(x)的单调递增区间为(2,+∞).

8.若f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上单调递增,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:[-1,1]

解析:f'(x)=2·,

∵f(x)在区间[-1,1]上单调递增,

∴f'(x)=2·≥0在区间[-1,1]上恒成立.

∵(x2+2)2>0,

∴x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立.

令g(x)=x2-ax-2,

则

即

∴-1≤a≤1.

故a的取值范围是[-1,1].

9.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　. 

答案:(-∞,-1)∪(0,1)

解析:因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.

当x≠0时,令g(x)=,则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0.

又当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)='=<0,故g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增.

所以当0<x<1时,g(x)>g(1)=0⇔>0⇔f(x)>0;

当x<-1时,g(x)<g(-1)=0⇔<0⇔f(x)>0.

综上所述,使f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).

10.设函数f(x)=xekx(k≠0).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.

解:(1)由f'(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0).

若k>0,则当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;

当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.

若k<0,则当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;

当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.

综上所述,当k>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;

当k<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)由(1)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,

即0<k≤1时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.

若k<0,则当且仅当-≥1,即-1≤k<0时,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增.

综上可知,当函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].

11.已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,试讨论f(x)的单调性.

解:f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=1+.

令g(x)=x2-ax+2,Δ=a2-8.

①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0,都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

②当Δ=0,即a=2时,当且仅当x=时,有f'(x)=0,对定义域内其余的x都有f'(x)>0,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不相等的实根,x1=,x2=,0<x1<x2.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.

故f(x)在区间和区间内单调递增;

在区间内单调递减.