广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.2导数的四则运算法则训练提升新人教版选择性必修第二册

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5.2.2　导数的四则运算法则课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列求导结果正确的是(　　)A.(1-x2)'=1-2xB.(cos 30°)'=-sin 30°C.'=3xD.()'=答案:CD解析:对于A,(1-x2)'=-2x,故A错误;对于B,(cos30°)'=0,故B错误;对于C,'=3x,故C正确;对于D,()'='=,故D正确.2.若函数f(x)=exsin x,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为(　　)A.直角 B.0C.钝角 D.锐角答案:C解析:∵f'(x)=exsinx+excosx,∴f'(4)=e4(sin4+cos4).∵π<4<,∴sin4<0,cos4<0,∴f'(4)<0.由导数的几何意义得,切线的倾斜角为钝角.3.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为(　　)A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞) D.(-1,0)答案:C解析:∵f(x)=x2-2x-4lnx,∴f'(x)=2x-2-,由f'(x)>0,整理得>0,∵x>0,∴x>2.故所求解集为(2,+∞).4.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1答案:D解析:y'=aex+lnx+1,斜率k=y'|x=1=ae+1=2,解得a=e-1.将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1,故选D.5.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f'(0)等于(　　)A.26 B.29 C.212 D.215答案:C解析:∵f'(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]'=x'[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]'=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]',∴f'(0)=a1a2·…·a8,又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,∴f'(0)==84=212.6.若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　　. 答案:(e,e)解析:设P(x0,y0).∵y=xlnx,∴y'=lnx+x·=1+lnx.∴切线的斜率k=1+lnx0.又k=2,∴1+lnx0=2,∴x0=e.∴y0=elne=e.∴点P的坐标是(e,e).7.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　. 答案:f(x)=2x3-9x2+12x解析:因为f'(x)=3ax2+2bx+c,f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,所以解得故函数f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x.8.已知函数f(x)=f'cos x+sin x,则f的值为　　　　　. 答案:1解析:∵f'(x)=-f'sinx+cosx,∴f'=-f',得f'-1.∴f(x)=(-1)cosx+sinx,∴f=1.9.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在横坐标为x0的点处切线的斜率的乘积为3,则x0=　　　　　. 答案:1解析:由题知y'1=,y'2=3x2-2x+2,所以两曲线在横坐标为x0的点处切线的斜率分别为,3-2x0+2,所以=3,解得x0=1.10.已知偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在(1,f(1))处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.解:∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).∴ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-2,∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1.∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=,c=-.∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.能力提升1.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于(　　)A.2 B. C.- D.-2答案:D解析:∵y==1+,∴y'=-,∴y'|x=3=-.∴-a×=-1,即a=-2.2.在下面的四个图象中,其中一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)等于(　　)A. B.-C. D.-答案:B解析:∵f'(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f'(x)的图象开口向上,其图象必为③.由图象特征知f'(0)=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=--1+1=-.故选B.3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)A. B.C. D.答案:D解析:因为y=,所以y'=.因为ex>0,所以ex+≥2,当且仅当x=0时,等号成立,所以y'∈[-1,0),所以tanα∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈.4.已知f(x)=xex,则f'(1)=　　　　　;若过点A(a,0)的任意一条直线都不与该曲线C相切,则a的取值范围是　　　　　. 答案:2e　(-4,0)解析:∵f'(x)=(x+1)ex,∴f'(1)=2e.设点B(x0,x0)为曲线C上任意一点,则曲线C在点B处的切线方程为y-x0=(x0+1)(x-x0).根据题意,切线l不经过点A,则关于x0的方程0-x0=(x0+1)(a-x0),即-ax0-a=0无实根,∴Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0.∴a的取值范围是(-4,0).5.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　　. 答案:8解析:由y=x+lnx,得y'=1+,则曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.将其代入曲线方程y=ax2+(a+2)x+1得ax2+ax+2=0,所以a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.6.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解:f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)∵曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,∴关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,∴a≠-.∴a的取值范围为.7.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明曲线y=f(x)在任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.解:(1)由7x-4y-12=0,得y=x-3.当x=2时,y=,所以f(2)=2a-.①又f'(x)=a+,所以f'(2)=a+.②由①②解得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任意一点,由f'(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).令x=0,得y=-,则切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)在任意一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.