广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1.2导数的概念及其几何意义训练提升新人教版选择性必修第二册

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5.1.2　导数的概念及其几何意义课后·训练提升基础巩固1.下列说法正确的是(　　)A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f'(x0)有可能存在答案:C解析:因为切线斜率k=f'(x0),所以f'(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在,而当斜率不存在时,切线方程也可能存在,其切线方程为x=x0.2.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定答案:B解析:由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处的切线的斜率,由题中图象可知f'(xA)<f'(xB).3.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)等于(　　)A.2 B.3 C.4 D.5答案:A解析:易得切点P的坐标为(5,3),切线的斜率k=-1,∴f(5)=3,f'(5)=-1.∴f(5)+f'(5)=3-1=2.4.对于函数y=f(x)=,使其导数值等于函数值的x的值为　　　　　. 答案:-2解析:f'(x)===-.由题意知,f'(x)=f(x),即-,解得x=-2.5.已知y=f(x)=mx2+n,且f(1)=-1,f(x)的导函数f'(x)=4x,则m=　　　　　,n=　　　　　. 答案:2　-3解析:∵=mΔx+2mx,∴f'(x)=(mΔx+2mx)=2mx=4x,∴m=2.又f(1)=-1,即2+n=-1,∴n=-3.故m=2,n=-3.6.若曲线y=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标是　　　　　. 答案:(0,0)解析:设P(x0,y0),则y'(2x0+2+Δx)=2x0+2.因为点P处的切线垂直于直线x+2y=0,所以点P处的切线的斜率为2,所以2x0+2=2,解得x0=0,即点P的坐标是(0,0).7.函数f(x)的图象如图所示,试根据函数图象判断0,f'(1),f'(3),的大小关系.解:设x=1,x=3时对应曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线为BQ,如图所示.则=kAB,f'(3)=kBQ,f'(1)=kAT,由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角,直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角,即kBQ<kAB<kAT,故0<f'(3)<<f'(1).8.曲线y=f(x)=x2在哪一点处的切线分别满足下列条件?(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)倾斜角为135°.解:f'(x)==2x,设P(x0,y0)是满足条件的点.(1)∵切线与直线y=4x-5平行,∴2x0=4,∴x0=2,y0=4,即P(2,4)是满足条件的点.(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,∴2x0·=-1,得x0=-,y0=,即P是满足条件的点.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,y0=,即P是满足条件的点.9.若曲线y=f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为,求a的值.解:∵f'(a)==3a2,∴曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与x轴的交点坐标为.∴三角形的面积为·|a3|=,解得a=±1.能力提升1.某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数图象如图所示.在这四种方案中,运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　)答案:B解析:从函数图象上看,要求图象在区间[0,T]上越来越陡峭,在各选项中,只有B项中图象的切线斜率在不断增大,即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高.故选B.2.如图,在平面直角坐标系Oxy中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2时的导数是　　　　　. 答案:2解析:由题意知点B的坐标为(t,t),则|AB|=t,|OA|=t,∴S(t)=·|OA|·|AB|=t·t=t2,∴S'(2)==2.3.已知曲线y=f(x)=,y=g(x)=,它们的交点坐标为　　　　　,过两曲线的交点作两条曲线的切线,则曲线f(x)在交点处的切线方程为　　　　　　　　　. 答案:(1,1)　x-2y+1=0解析:由故两曲线的交点坐标为(1,1).由f(x)=,得f'(1)=,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.4.已知曲线y=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则切点P的坐标为　　　　　,实数a的值为　　　　　. 答案:(2,1)　-7解析:设切点P(x0,y0),切线斜率为k.由y'=(4x+2Δx)=4x,得k=y'=4x0,根据题意4x0=8,x0=2,则y0=8×2-15=1,a=1-2×22=-7.故切点P的坐标为(2,1),a=-7.5.已知f(x)=x2,g(x)=x3,则适合f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值为　　　　　　　　　. 答案:解析:由导数的定义知,f'(x0)==2x0,g'(x0)==3.因为f'(x0)+2=g'(x0),所以2x0+2=3,即3-2x0-2=0,解得x0=或x0=.6.曲线y=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为　　　　　. 答案:解析:由导数的定义可得y'|x=1=2,∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,它与两坐标轴的交点分别为A(0,-1),B,∴S△AOB=|OA||OB|=.7.已知抛物线y=x2和直线x-y-2=0,求抛物线上一点到该直线的最短距离.解:(方法一)设P(x,x2)为抛物线上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的距离为d==,所以当x=时,d最小,最小值为.(方法二)由题意设直线x-y+b=0与抛物线y=x2相切,则x2-x-b=0,由Δ=0得b=-,直线x-y-=0与x-y-2=0的距离d=,所以抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.(方法三)由题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,),则y'=2x0=1,所以x0=,所以切点坐标为,切点到直线x-y-2=0的距离d=,所以抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.8.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.解:(1)∵y'===2x+1,∴y'|x=1=3,∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-,∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组又直线l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),,∴所求三角形的面积S=.