第五章 一元函数的导数及其应用（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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第五章  一元函数的导数及其应用 （B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数在R上单调递增，则实数b的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，

∵在R上单调递增，∴在R上恒成立，

∴，即，解得．

故选：B

2．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知函数，则（    ）

A．为偶函数 B．在区间单调递减

C．的最小值为2e D．有1个零点

【答案】C

【解析】的定义域为，，A选项不正确；

当时，，

，， ，即，不满足在区间单调递减，B选项不正确；

因为，所以关于对称，

当时，，令，

因为在单调递增；而在也递增，由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，故在处取最小值，C选项正确；

时，，所以，所以没有零点，D选项不正确.

故选：C.

3．（2022·全国·高二专题练习）已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，

∴

∴

∴是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，

将代入得：，排除C．

故选：A．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，则实数的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，，故函数为奇函数，

且不恒为零，

故函数在上为增函数，

由可得，则，

所以，，解得.

故选：A.

5．（2022·四川泸州·高二期末（理））在给出的①，② ，③ 三个不等式中，正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】对于①：记.

因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，即.

当时，有，即.故①正确；

记.

因为，所以当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递减，所以当时，，即.

对于②：当时，有，即.故②正确；

对于③：当时，有，即，亦即.故③正确.

故选：D

6．（2022·浙江·杭州四中高二期中）设函数，，若函数只有1个零点，则函数在上的最大值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】由题知，，因为，

所以，令，

则，令，解得，

故当，，当，，

所以，故，

则，故函数在上是增函数，

所以，故A，B，D错误.

故选：C.

7．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（理））已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对A：∵为偶函数，则

两边求导可得

∴为奇函数，则

令，则可得，则，A成立；

对B：令，则可得，则，B成立；

∵，则可得

，则可得

两式相加可得：，

∴关于点成中心对称

则，D成立

又∵，则可得

，则可得

两式相减可得：

∴以4为周期的周期函数

根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立

故选：C.

8．（2022·山东青岛·高二期末）已知函数，曲线与直线有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，

，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，当且仅当时，取等号，

所以当时，函数只有一个零点，

即当时，曲线与直线有且仅有一个交点，

所以当时，曲线与直线没有交点，

所以.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2022·浙江·镇海中学高二期中）如图，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（    ）

A．有极大值，也有极小值

B．是的极小值点

C．是的极大值点

D．是的极大值点

【答案】ABD

【解析】=，

当时，，故，在上单调递减，

当时，，故，在上单调递增，

当时，，故，在上单调递减，

当时，，故，在上单调递增，

故在处取得极小值，在处取得极大值，处取得极小值.

故ABD正确，C错误，

故选：ABD.

10．（2022·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）下列命题中是真命题有（    ）

A．若，则是函数的极值点

B．函数的切线与函数可以有两个公共点

C．若函数在区间上有零点，则的值为0或3

D．若函数的导数，且，则不等式的解集是

【答案】BD

【解析】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；

B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；

C：函数在区间上有零点，故，则，明显，代入，得，不符合零点存在定理，故C错误；

D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；

故选：BD.

11．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在处取得极值，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．函数的图像与直线只有一个公共点

D．对任意的

【答案】ACD

【解析】对于A，因为函数在处取得极值，

所以，，解得，故A正确.

即

对于B，因为真数，所以

所以，欲证，只需证

因为，定义域为

所以，令，解得

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以，即，所以，

即，故B错误

对于C，欲证与只有一个交点，只需证只有一个根，

即证只有一个根，即只有一个根，

由上述可得在递减，在递增，

所以，故C正确

对于D，由上述得恒成立，

即恒成立，

所以当时，，即

因为

所以

且

所以，

即证，故D正确

故选:ACD.

12．（2022·江西·景德镇一中高二期中）关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．对不等式在上恒成立

D．对任意两个正实数，且，若，则

【答案】BC

【解析】对于A，，，

令，得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

为的极小值点，A错误；

对于B，，

则，所以函数在上单调递减，

又，所以函数有且只有1个零点，B正确；

对于C，若在上恒成立，得在上恒成立，

则

令，则，

令，，

当时，，单调递减，

，即，

在上单调递减，

故函数，则，C正确；

对于D， 令，

，

则

在上单调递减，

则，即，

，，结合A选项可得，

，函数在上单调递增，

则，

即对任意两个正实数，且，若，则，D错误.

故选：BC.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2022·陕西·户县苍游中学高二期中（文））若直线和曲线相切，则实数的值为_________.

【答案】1

【解析】已知，得，设切点为，

已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中

可得解得.

故答案为：

14．（2022·全国·高二专题练习）对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为___________.

【答案】

【解析】由球的体积公式可得，得，

所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，

故答案为：

15．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】由，得，

当在内为减函数时，则在内恒成立，

所以在内恒成立，

当在内为增函数时，则在内恒成立，

所以在内恒成立，

令，因为在内单调递增，在内单调递减，

所以在内的值域为，所以或，

所以函数在内单调时，a的取值范围是，

故在上不单调时，实数a的取值范围是．

故答案为：．

16．（2022·全国·高二专题练习）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．

【答案】．

【解析】由曲线上存在点，使得，即，

下面证明，因为在定义域上严格递增，

假设，则，

不满足，同理，不满足，

所以，那么函数，

即函数在有解，所以，

即，，令，

则，

，，单调递增，

又，所以，所以a的取值范围是．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知函数．

(1)求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；

(2)当时，证明：．

【解析】（1），切线的斜率为，

由得切点坐标为，

所以在点处的切线方程.

（2）当时，

令，得，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在处取得最小值，即.

18．（12分）

（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知函数，且．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有三个极值点，且，求证：．

【解析】(1)对函数进行求导，

，，切点为

故切线为.

(2)

由题意知，有三个实数跟，则，

方程有两个根，即有两个交点

令，

当时，，故在上单调递增；     

当时，，故在上单调递减；

作出，的图象如图

由图可知，，与的图象有两个交点，

横坐标分别为，且

要证

即证

即证

，则

则

即，由对数平均数表达式可得

故

即可证得.

19．（12分）

（2022·辽宁实验中学高二期中）已知，，过原点做图像的切线，切点为M，已知

(1)求的解析式；

(2)若的图像与的图像有一条通过原点的公切线，求a的值．

【解析】(1)设切点，∵，∴，∴，

∴，又；

∴，∴

(2)此公切线即为（1）中的切线，∵，∴切线为，设与的图像切于点，又∵，∴，解得，∴

20．（12分）

（2022·陕西·西安中学高二期末（文））已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.

(1)求切线的倾斜角的取值范围；

(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

【解析】(1)因为，则，

解得，所以，

则，故，，

，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，.

(2)设曲线与过点，的切线相切于点，

则切线的斜率为，所以切线方程为

因为点，在切线上，

所以 ，即，

由题意，该方程有三解

设，则，令，解得或，

当或时，，当时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

故的极小值为，极大值为，

所以实数的取值范围是.

21．（12分）

（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））已知函数.

(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围

(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.

【解析】（1），则，

因为切线与直线垂直，所以，解得.

（2），则，

在上单调递增，所以在上恒成立，即，

令，则，当时取得最小值，，所以.

（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；

当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，

，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,

所以所以有两个零点，故.

22．（12分）

（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知函数（其中）．

(1)当a＝1时，求函数的单调区间；

(2)，恒成立，求实数a的取值的集合．

【解析】（1）∵，

化简得：，

设,

，因此恒成立．

∴在区间和上是单调递增函数．

（2），

（i）当x＞0时，恒成立，

（ii）当x＜0时，恒成立，令，

即：当x＞0时，，当x＜0时，，

，令，

，

由则函数递增，x＞0时，，

即：，当x＞0时，是减函数，

，当x＜0时，，

即：，当x＜0时，是增函数，，

因此，在上是减函数，在上是减函数．

当x＞0时，，当x＜0时，，

又由洛必达法则得：

，

因此，x＞0时，，x＜0时，，

综上可知：．