高中数学4.1 数列的概念教学设计

课程基本信息

课例编号

学科

数学

年级

高二

学期

上学期

课题

数列的概念（2）

教科书

书名：普通高中教科书数学A版选择性必修2                                  

出版社：人民教育出版社                出版日期：2020年5月

教学人员

姓名

单位

授课教师

指导教师

教学目标

教学目标：

1.了解数列递推公式的定义，能根据数列的递推公式求该数列的项.了解数列前n项和公式的定义，掌握通项公式与前n项和公式的关系，能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式.

2.经历递推公式概念的形成过程，提高观察、归纳、猜想的能力，体会一个数列递推公式与通项公式的区别与联系.

3.体验探索数列规律的乐趣，感悟数列递推公式引入的必要性，体会数学的应用价值，提高数学学习的兴趣.

教学重点：数列的递推公式与前n项和公式的定义.

教学难点：数列递推公式的意义和价值.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

复习旧知

问题1 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？

师生活动：教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或.教师提醒学生：因为n是正整数，所以-12要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项．在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.

问题2 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式．

师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号-1.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是.

追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？

师生活动：教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形．于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍．学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出.教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是写成.教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律.通项公式反映的是项与序号之间的关系.而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系.根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推.

学习新知

问题3 什么是一个数列的递推公式？

师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.

追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？

师生活动：教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：.教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.

追问（2）：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？

师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和上节课学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.

例1 已知数列的首项为，递推公式为（n≥2），写出这个数列的前5项.

师生活动：教师引导学生根据递推公式，令n=2，就得到.同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，.教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了．

问题4 什么是数列的前n项和公式？

师生活动：教师引导学生顾名思义：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作.如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式．

追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？

师生活动：教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前n-1项的和，也就是.如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，.学生接着思考n=1的情况，发现就是第1项，所以就等于.于是我们有 .

问题5 已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？

师生活动：教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.教师提醒学生关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，要分开写.

课堂小结

问题6 这节课学习了哪些新知识？

师生活动：学生跟随教师的思路，回顾本节课学习的新知识：递推公式和前n项和公式.关于递推公式，教师强调：递推公式是数列的重要表示方式，反映的是相邻两项或多项之间的关系，知道了一个数列的首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.关于前n项和公式，教师强调：我们可以通过一个数列的前n项和公式求出该数列的通项公式.教师告诉学生：按照研究路径，下节课将学习两种特殊的数列——等差数列和等比数列，让学生做好准备.

课后作业

1.已知数列满足，（n≥2），写出它的前5项，并猜想它的通项公式.

2.已知数列的前n项和公式为，求的通项公式.