初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课后练习题

第02讲 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法3种题型）

1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.                                                      

2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n) 2=p (p≥0)的方程.                                                                  

3.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程.          

4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 

知识点1：直接开平方法

形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；

如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

知识点2：配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

要点诠释：

（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；

（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

（3）配方法的理论依据是完全平方公式．

知识点3：配方法的应用

1．用于比较大小：

在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.

2．用于求待定字母的值：

配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．

3．用于求最值：

“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．

4．用于证明：

“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．

要点诠释：

“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．

题型1：用直接开平方法解一元二次方程

例1．（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（　　）

A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4

例2．（2022秋•江都区期中）解方程：

（1）4x2＝49；                  （2）（2x﹣1）2﹣25＝0．

例3.解关于的方程：．

例4.解关于的方程：．

例5.解关于的方程：．

例6.解关于的方程：．

例7.解关于的方程： ．

例8.解关于的方程：．

题型2：用配方法解一元二次方程

例9．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）

例10.用配方法解方程：．

例11.用配方法解方程：．

例12.用配方法解方程：．

例13.用配方法解方程：．

题型3：配方法的应用

例14．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（　　）

A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5

例15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．

例16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．

例17.已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？

一、单选题

1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）一元二次方程的解是（    ）

A． B． C．， D．，

2．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）一元二次方程，经过配方可变形为（    ）

A． B． C． D．

3．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）已知实数满足，则代数式的最小值等于（    ）

A．1 B． C． D．无法确定

4．（2023·江苏苏州·一模）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（　　）

A．， B．， C．， D．，

5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（  ）

A． B．

C． D．

二、填空题

7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）一元二次方程配方为，则k的值是______．

8．（2022秋·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中）用配方法解方程，方程可变形为，则_________，__________．

9．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_________．

10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __．

三、解答题

11．（2023·江苏常州·统考一模）解方程：

(1)；                 (2)．

12．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）解方程：．

13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）解方程：

(1)；                       (2)．

14．（2023·江苏扬州·统考二模）（1）数学活动小组在研究函数的图像时提出了下列问题：

①函数的自变量x的取值范围是 ；

②容易发现，当时，；当时，．由此可见，图像在第 象限；

③阅读材料：当时，．

当时，即时，有最小值是2．

请仿照上述过程，求出当时，的最大值；

（2）当时，求的最小值；

（3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．

一、单选题

1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）把方程化为的形式后，m的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1

2．（2021秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知关于x的多项式的最小值为8，则m的值可能为（   ）

A．1 B．2 C．4 D．5

3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若，，则A、B的大小关系为（　　）

A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B

二、填空题

4．（2022·江苏·九年级假期作业）已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是________．

5．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）方程的根是_____．

6．（2022·江苏·九年级专题练习）已知代数式A＝3x2﹣x＋1，B＝4x2＋3x＋7，则A____B（填＞，＜或＝）．

7．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）若实数x，y满足条件2x2﹣6x＋y2＝0，则x2＋y2＋2x的最大值是____．

8．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为__________．

9．（2022秋·江苏南京·九年级统考阶段练习）已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．

三、解答题

10．（2021秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：

①，

∵，

∴．

因此，代数式有最小值﹣2；

②，

∵，

∴．

因此，代数式有最大值4；

阅读上述材料并完成下列问题：

(1)代数式的最小值为______；

(2)求代数式的最大值．

11．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．

同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；

解：，

，．

当时，的值最小，最小值是1．

的最小值是1．

请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)直接写出的最小值为　 　．

(2)求代数式的最小值．

(3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．

(4)若，求的最小值．

12．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．

如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？

解：

因为，所以，

因此，当时，代数式有最小值，最小值是．

【问题解决】

利用配方法解决下列问题：

(1)当___________时，代数式有最小值，最小值为 ___________．

(2)当x取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？

【拓展提高】

(3)当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？

(4)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．

13．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如

①选取二次项和一次项配方：；

②选取二次项和常数项配方：，或

③选取一次项和常数项配方：

请根据阅读材料解决下列问题：

(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；

(2)已知，求的值

(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？