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    第02讲 一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)(老师版+学生版)
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    初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课后练习题

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    这是一份初中数学苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法课后练习题,文件包含第02讲一元二次方程的解法直接开平方法配方法3种题型学生版docx、第02讲一元二次方程的解法直接开平方法配方法3种题型老师版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。

    02 一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法3种题型)

    1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.                                                      

    2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n) 2=p (p≥0)的方程.                                                                  

    3.理解配方的基本过程,会运用配方法解一元二次方程.          

    4.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化的数学思想. 

    知识点1:直接开平方法

    形如x2p或(nx+m2pp0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

    如果方程化成x2p的形式,那么可得x=±

    如果方程能化成(nx+m2pp0)的形式,那么nx+m=±

    注意:等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

    降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

    方法是根据平方根的意义开平方.

    知识点2:配方法

    1)将一元二次方程配成(x+m2n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.

    2)用配方法解一元二次方程的步骤:

    把原方程化为ax2+bx+c0a0)的形式;

    方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;

    方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

    把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;

    如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.

    要点诠释:

    1配方法解一元二次方程的口诀:一除二移三配四开方;

    2)配方法关键的一步是配方,即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.

    3)配方法的理论依据是完全平方公式

    知识点3配方法的应用

    1.用于比较大小:

    在比较大小中的应用,通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方,使此差大于零(或小于零)而比较出大小.

    2.用于求待定字母的值:

    配方法在求值中的应用,将原等式右边变为0,左边配成完全平方式后,再运用非负数的性质求出待定字母的取值.

    3.用于求最值:

    配方法在求最大(小)值时的应用,将原式化成一个完全平方式后可求出最值.

    4.用于证明:

    配方法在代数证明中有着广泛的应用,我们学习二次函数后还会知道配方法在二次函数中也有着广泛的应用.

    要点诠释:

    配方法在初中数学中占有非常重要的地位,是恒等变形的重要手段,是研究相等关系,讨论不等关系的常用技巧,是挖掘题目当中隐含条件的有力工具,同学们一定要把它学好.

    题型1:用直接开平方法解一元二次方程

    12022秋•江都区校级期末)方程x24的解是(  )

    Ax1x22 Bx1x2=﹣2 Cx12x2=﹣2 Dx14x2=﹣4

    2.(2022秋•江都区期中)解方程:

    14x249                  2)(2x12250

     

     

     

    3.解关于的方程:

     

     

     

    4.解关于的方程:

     

     

     

    5.解关于的方程:

     

     

     

    6.解关于的方程:

     

     

     

    7.解关于的方程:

     

     

     

    8.解关于的方程:

     

     

     

     

     

     

    题型2:用配方法解一元二次方程

    9.(2022秋•秦淮区期末)解方程:x26x+40(用配方法)

     

     

     

     

    10.用配方法解方程

     

     

     

     

    11.用配方法解方程:

     

     

     

     

    12.用配方法解方程:

     

     

     

     

    13.用配方法解方程:

     

     

     

     

     

     

    题型3配方法的应用

    14.(2023春•梁溪区校级期中)在求解代数式2a212a+22的最值(最大值或最小值)时,老师给出以下解法:解:原式=2a26a+222a26a+9)﹣18+222a32+4,∵无论a取何值,2a320,∴代数式2a32+44,即当a3时,代数式2a212a+22有最小值为4.仿照上述思路,则代数式﹣3a2+6a8的最值为(  )

    A.最大值﹣5 B.最小值﹣8 C.最大值﹣11 D.最小值﹣5

    15.(2023春•吴江区期中)我们可以将一些形如ax2+bx+ca0)的多项式变形为ax+m2+n的形式,例如x2+4x5x2+4x+22225=(x+229,我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+ca0)的配方法.已知关于ab的代数式满足a2+b2+2a4b+50,请你利用配方法求a+b的值.

     

     

     

     

    16.(2023春•吴中区期中)阅读材料:若m22mn+2n28n+160,求mn的值.

    解:∵m22mn+2n28n+160,∴(m22mn+n2+n28n+16)=0

    ∴(mn2+n420,∴mn0n40,∴n4m4

    根据你的观察,探究下面的问题:

    1)已知x2+4xy+5y2+6y+90,求xy的值.

    2)已知△ABC的三边长abc都是正整数,且满足a24a+2b24b+60,求边c的值.

     

     

     

     

    17.已知ABC的一边长为4,另外两边是关于x的方程的两根,当k为何值时,ABC是等腰三角形?

     

     

    一、单选题

    1.(2023·江苏南京·九年级统考期末)一元二次方程的解是(    

    A B C D

    2.(2022·江苏盐城·九年级统考期中)一元二次方程,经过配方可变形为(    

    A B C D

    3.(2022·江苏镇江·九年级统考期中)已知实数满足,则代数式的最小值等于(    

    A1 B C D.无法确定

    4.(2023·江苏苏州·一模)已知关于x的一元二次方程mhk均为常数且)的解是,则关于x的一元二次方程的解是(  )

    A B C D

    5.(2022·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中)在平面直角坐标系中,若已知点,则下列结论一定不成立的是(    

    A B C D

    6.(2022·江苏南京·九年级统考期中)用配方法解方程时,原方程应变形为(  

    A B

    C D

    二、填空题

    7.(2022·江苏扬州·九年级统考期末)一元二次方程配方为,则k的值是______

    8.(2022·江苏南京·九年级南京市科利华中学校考期中)用配方法解方程,方程可变形为,则___________________

    9.(2022·江苏扬州·九年级统考期中)新定义,若关于的一元二次方程:,称为同类方程.如同类方程.现有关于的一元二次方程:同类方程.那么代数式能取的最大值是_________

    10.(2022·江苏苏州·九年级校考期中)已知实数满足,则实数的最大值为 __

    三、解答题

    11.(2023·江苏常州·统考一模)解方程:

    (1)                 (2)

     

     

     

     

    12.(2023·江苏宿迁·九年级统考期末)解方程:

     

     

     

     

    13.(2023·江苏无锡·九年级校联考期末)解方程:

    (1)                       (2)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    14.(2023·江苏扬州·统考二模)(1)数学活动小组在研究函数的图像时提出了下列问题:

    函数的自变量x的取值范围是

    容易发现,当时,;当时,.由此可见,图像在第 象限;

    阅读材料:当时,

    时,即时,有最小值是2

    请仿照上述过程,求出当时,的最大值;

    2)当时,求的最小值;

    3)如图,四边形的对角线相交于点的面积分别为49,求四边形面积的最小值.

     

     

    一、单选题

    1.(2022·江苏苏州·九年级校考阶段练习)把方程化为的形式后,m的值是(  )

    A2 B2 C1 D1

    2.(2021·江苏无锡·九年级校考阶段练习)已知关于x的多项式的最小值为8,则m的值可能为(   

    A1 B2 C4 D5

    3.(2022·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习)若,则AB的大小关系为(  )

    AAB BAB CAB DAB

    二、填空题

    4.(2022·江苏·九年级假期作业)已知多项式Ax2x+(3),若无论x取何实数,A的值都不是负数,则k的取值范围是________

    5.(2022·江苏南京·九年级校考阶段练习)方程的根是_____

    6.(2022·江苏·九年级专题练习)已知代数式A3x2x1B4x23x7,则A____B(填>,<或=).

    7.(2022·江苏·九年级阶段练习)若实数xy满足条件2x26xy20,则x2y22x的最大值是____

    8.(2022·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如果一元二次方程的两根相差1,那么该方程成为1.例如1方程.若关于x的方程(ab是常数,)1方程t的最大值为__________

    9.(2022·江苏南京·九年级统考阶段练习)已知实数ab,满足,则代数式的最小值等于______

    三、解答题

    10.(2021·江苏徐州·九年级校考阶段练习)利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题,观察下列式子:

    因此,代数式有最小值2

    因此,代数式有最大值4

    阅读上述材料并完成下列问题:

    (1)代数式的最小值为______

    (2)求代数式的最大值.

     

     

    11.(2022·江苏无锡·九年级校考阶段练习)王老师提出问题:求代数式的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.

    同学们经过探索、交流和讨论,最后总结出如下解答方法;

    解:

    时,的值最小,最小值是1

    的最小值是1

    请你根据上述方法,解答下列各题:

    (1)直接写出的最小值为   

    (2)求代数式的最小值.

    (3)你认为代数式有最大值还是有最小值?求出该最大值或最小值.

    (4),求的最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    12.(2022·江苏盐城·九年级校联考阶段练习)【项目学习】我们把多项式叫做完全平方式

    如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式的值不变,这种方法叫做配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法.例如:求当a取何值,代数式有最小值?最小值是多少?

    解:

    因为,所以

    因此,当时,代数式有最小值,最小值是

    【问题解决】

    利用配方法解决下列问题:

    (1)___________时,代数式有最小值,最小值为 ___________

    (2)x取何值时,代数式有最小值?最小值是多少?

    【拓展提高】

    (3)xy何值时,代数式取得最小值,最小值为多少?

    (4)如图所示的第一个长方形边长分别是,面积为;如图所示的第二个长方形边长分别是,面积为,试比较的大小,并说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

    13.(2022·江苏常州·九年级校考阶段练习)阅读材料:选取二次三项式中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如

    选取二次项和一次项配方:

    选取二次项和常数项配方:,或

    选取一次项和常数项配方:

    请根据阅读材料解决下列问题:

    (1)比照上面的例子,写出三种不同形式的配方;

    (2)已知,求的值

    (3)为何值时,代数式取得最小值,最小值为多少?


     

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