初中数学苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法习题

这是一份初中数学苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法习题，文件包含123一元二次方程的解法配方法的应用重难点专项练习四大题型原卷版docx、123一元二次方程的解法配方法的应用重难点专项练习四大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。


考察题型一 最值问题
【单变量配方求最值】
1．已知是实数，则多项式的最小值为
A．4B．3C．2D．1
【详解】解：
．
，
，
的最小值是1，
即的最小值为1．
故本题选：．
2．已知，，下列结论正确的是
A．的最大值是0B．的最小值是
C．当时，为正数D．当时，为负数
【详解】解：，
的最小值为：，
当时，，
解得：，
，
．
故本题选：．
3．在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式，无论取何值，，代数式，即当时，代数式有最小值为4．仿照上述思路，则代数式的最值为
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【详解】解：由题意可得：原式
，
无论取何值，，即，
代数式，即当时，代数式有最大值．
故本题选：．
【双变量先消元变单变量，再配方求最值】
1．如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是
A．B．C．D．
【详解】解：，
，则，
根据图形可得：剩下的钢板面积
，
，，
，即剩下的钢板面积，
剩下的钢板面积的最大值为，只有选项符合．
故本题选：．
2．关于的一元二次方程新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式取的最大值是
A．2020B．2021C．2022D．2023
【详解】解：与是“同族二次方程”，
，
即，
，解得：，
，
则代数式能取的最大值是2020．
故本题选：．
【双变量双配方求最值】
1．不论，取什么实数，代数式的值
A．不小于2B．不小于7C．为任何实数D．可能为负数
【详解】解：原式
，
，，
．
故本题选：．
2．如果多项式，则的最小值是 ．
【详解】解：
，
，，
的最小值是2015．
故本题答案为：2015．
3．已知多项式，多项式．
①若多项式是完全平方式，则或；
②；
③若，，则；
④代数式的最小值为2022．
以上结论正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【详解】解：①根据题意得：，
，解得：或，故①正确；
②
，
，，
，
，故②正确；
③，，
，
由②可知，，
，故③错误；
④
，
又，，
，
最小值为，故④错误．
故本题选：．
【配方结合整体思想求最值】
1．若为任意实数，且，则的最大值为
A．135B．144C．168D．200
【详解】解：
，
的最大值为144．
故本题选：．
2．已知实数，满足，则的最小值为
A．8B．5C．4D．0
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
即的最小值为8．
故本题选：．
3．已知实数，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
，
（当时，取等号），
，
（当时，取等号），
，
，
，
，
即的最小值为．
故本题选：．
【综合大题】
1．我们知道：；
，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）探究：当取不同的实数时，求代数式的最小值．
（2）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
【详解】解：（1），
当时，代数式存在最小值为；
（2）设长方形的面积为，
根据题意得：，
则时，存在最大值，最大值为9．
2．阅读下列材料，并利用材料中使用的方法解决问题：
在学习完全平方公式时，老师提出了这样一个问题：同学们，你们能判断代数式的最小值吗？小明作出了如下的回答：
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把它找出来：，
因为完全平方式是非负的，所以它一定大于等于0，余下的1为常数，所以有，
所以的最小值是1，当且仅当即时取得最小值，其中，我们将代数式改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方，利用配方求解下列问题：
（1）记，求的最小值，并说明取何值时最小；
（2）已知，求、的值；
（3）记，求的最小值，并说明、取何值时最小．
【详解】解：（1），
，
时，取得最小值4，
即时，最小；
（2），
，
，，
，；
（3）
，
当，时，取得最小值3，
即当，时，最小．
3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为2．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值 ；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
【详解】解：（1）
，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为8，
故本题答案为：8；
（2），
，
，
无论取何实数，二次根式都有意义；
（3），
四边形的面积，
，
，
四边形的面积
，
当，四边形的面积最大，最大值为．
考察题型二 比较大小
【单变量配方比较大小】
1．设，，若取任意有理数，则的值
A．大于0B．等于0C．小于0D．无法确定
【详解】解：，，
，
取任意有理数，
，
．
故本题选：．
2．设，，则，的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：，，
，
．
故本题选：．
【双变量双配方比较大小】
1．若，，则、的大小关系为
A．B．C．D．
【详解】解：
，
，，
，
即，．
故本题选：．
2．已知、满足等式，，则、的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：，
．
故本题选：．
【配方结合整体思想比较大小】
1．已知、满足等式，，，则，的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：，
，
．
故本题选：．
2．已知任意实数满足等式，，则，的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：
，
，
．
故本题选：．
【综合大题】
1．阅读材料：选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，即例如：．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，将二次三项式配方得： ；
0（填“”，“ ”，“ ” ）；
（2）如图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，求两个长方形的面积和（用含的式子表示），并比较与的大小．
【详解】解：（1）
，
，
，
，
故本题答案为：2；5；；
（2），
．
，
又，
，
即，
．
2．请阅读下列材料：
若，求，的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若，则的值为 ；的值为 ．
（2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的值．
（3）若，，试比较与的大小关系，并说明理由．
【详解】解：（1），
，
，
，，
，，
故本题答案为：3；；
（2），
，
，
，，
，，
，即，
是正整数，
；
（3），理由如下：
，
．
考察题型三 求参、求值问题
【已知最值反求参】
1．关于的二次三项式有最小值，则常数 ．
【详解】解：，
，
有最小值，
，
解得：．
故本题答案为：15．
2．已知关于的多项式的最大值为7，则的值可能是
A．2B．4C．3D．5
【详解】解：，
因为关于的多项式的最大值为7，
所以，
解得：，
所以可能为2．
故本题选：．
【“0+0=0”模型】
1．若的边，满足式子：，则第三边的长可能是
A．2B．5C．7D．8
【详解】解：，
，
，，
，，
，
，
第三边的取值范围是．
故本题选：．
2．已知，的值为 ．
【详解】解：，
，
，
，，
解得：，，．
故本题答案为：．
3．已知，，满足，，则的值为
A．1B．C．D．
【详解】解：，，
，，
两式相加得：，
即，
，
，，
．
故本题选：．
4．已知，则的值为
A．B．0C．D．
【详解】解：，
，
，
，
，，
解得：，，
．
故本题选：．
【“0+0+0=0”模型】
1．已知，，满足，，，则的值为

A．B．5C．6D．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，，，
解得：，，，
．
故本题选：．
2．已知实数，满足，求 ．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
．
故本题答案为：0．
【综合大题】
1．阅读材料．
将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法．这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．
例如，我们可以通过配方法，求代数式的最小值，解题过程如下：
解：，
又，当时，有最小值为．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1），则的值是 ；
（2）若代数式的最小值为2，求的值．
【详解】解：（1），
，，
，
故本题答案为：；
（2）代数式的最小值为2，
，
是一个完全平方式，
，
．
2．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式的最小值．
，
，当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1），则 ， ；
（2）求证：无论取何值，代数式的值都是正数；
（3）若代数式的最小值为3，求的值．
【详解】解：（1）
，
，
，，
故本题答案为：3，1；
（2）证明：
，
，
，
无论取何值，代数式的值都是正数；
（3）
，
，
的最小值为，
又代数式的最小值为3，
，解得或．
3．【阅读材料】初一上学期我们已学过：
由知，，，，．
这不禁让人赞叹：精美的包装（数学模型），总可以给人满意的答案．
初一下学期：利用完全平方式对上述式子进行变形：
由知，，
即．
反之，若，则有，
即，
，，，．
精心挑选，合理搭配，让结果精彩纷呈．
【知识应用】
（1）若，求的值；
（2）若的三边为、、，且满足，求最长边的取值范围．
【详解】解：（1）由题意知，，
，
，，
，，
；
（2）由题意知，，
，
，
，，
，
最长边的取值范围为．
4．阅读材料：若，求、的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知．则的值为 ；
（2）已知的边长、、是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程）．
（3）已知，，求的值．
【详解】解：（1）
，
，，
，，
，
故本题答案为：1；
（2）
，
，，
，，
、、是的三边，
，
、、是三个互不相等的正整数，
；
（3），即，代入得：，
整理得：，
，，
解得：，，
则，
则．
考察题型四 新定义问题
【完美数】
1．配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成，是正整数）的形式 ；
（2）若可配方成、为正整数），则 ；
【探究问题】
（3）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【详解】解：（1）是“完美数”，
，
故本题答案为：；
（2）
，
又，
，，
，
故本题答案为：12；
（3）当时，是完美数，理由如下：
，
，是整数，
，是整数，
是一个“完美数”．
2．把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式．
我们规定：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”、理由：因为，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 （填序号）．
①29；②48；③13；④28．
探究问题：
（2）若，为常数），则的值 ；
（3）已知，是整数，是常数），当 时，为“完美数”．
拓展应用：
（4）已知实数，满足，则的最小值是 ．
【详解】解：（1）①，
是“完美数”，
②，
不是“完美数”，
③，
是“完美数”，
④，
不是“完美数”，
故本题答案为：①③；
（2），
，，
，
故本题答案为：；
（3），
当时，，
则，
故本题答案为：36；
（4），
，
，
，
的最小值为3．
3．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）数53 “完美数”（填“是”或“不是” ）；
【探究问题】
（2）已知，则 ；
（3）已知， 是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由；
【拓展结论】
（4）已知实数、满足，求的最大值．
【详解】解：（1）根据题意得：，
故本题答案为：是；
（2）已知等式变形得：，
即，
，，
，，
解得：，，
则：，
故本题答案为：1；
（3）当时，为“完美数”，理由如下：
，
是完美数，
是完全平方式，
；
（4），
，即，
，
当时，最大，最大值为2．
【基本不等式】
1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当时，的最小值为 ，当时，的最大值为 ．
（2）若，求的最小值．
（3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．
【详解】解：（1）当时，；
当时，，
，
；
当时，的最小值为2，当时，的最大值为，
故本题答案为：2；；
（2）由，
，
，
当时，最小值为9；
（3）设，已知，
则由等高三角形可知：
，
四边形面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25．
2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：，，又，，当时取等号．
的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，当且仅当 时，有最小值为 ．
（2）当时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【详解】解：（1），
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为6，
故本题答案为：3，6；
（2），
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
（3）根据题意可得：垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米．
【分离参数】
1．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如，．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
（2）求分式的最大值．
（3）当时，求的最小值．
【详解】解：（1）原式
，
，
，即，
则当时，原式的最大值为8；
（2）原式
，
，
时，取得最小值，原式取得最大值，最大值为；
（3），
，
原式
，
则原式的最小值为4．
2．阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母，可；
则．
对于任意上述等式成立，
，解得：．
．
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）已知整数使分式的值为整数，请求出满足条件的整数的值．
（3）试求的最小值．
【详解】解：（1）由分母，可设，
则，，．
对于任意上述等式成立，
，
解得：，
；
（2）由分母，可设，
则，
对于任意上述等式成立，
，
解得：，
，
为整数，分式的值为整数，
为整数，
或6或0或2；
（3）
，
的值最小，
则与同时取最小值即可，
当时，整式与分式同时取最小值，
所以最小值的和最小，最小值为10．
【其他】
1．小明在学习配方法时，将关于的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项关于 对偶；
（2）当或时，关于的多项的值相等，求的值；
（3）若整式关于对偶，求的值．
【详解】解：（1），
则多项式关于对偶．
故本题答案为：；
（2），
依题意得：互为相反数，即，
；
（3）
该整式关于对偶，
．
2．阅读材料：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：
，，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，，，
则是的“雅常式”， 关于的“雅常值”为9．
（1）已知多项式，，则关于的“雅常值“是 ；
（2）已知多项式，，为常数），是的“雅常式”，且的最小值为，求关于的“雅常值”．
【详解】解：（1）
，
“雅常值”为1，
故本题答案为：1；
（2）是的“雅常式”，
，
，
，
，
且当为实数时，的最小值为，
，
，
．
1．已知、为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则 ．
【详解】解：，
，，
，
，
当且仅当，即，或，时等号成立，
的最小值为，的最小值为，即，
，
当且仅当，即，或，时等号成立，
的最大值为2，的最大值为6，即，
．
故本题答案为：．
2．阅读材料：
把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．
例如：、、是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项），根据第一种形式的配方可以得到的最小值为3．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出一种形式的配方；
（2）求的最小值；
（3）已知，求的值．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
，，
，
的最小值为；
（3），
，
，
，
，，，
，，，
，，，
．
3．已知，则的值为 ．
【详解】解：，
，
，
，
，，
解得：，，
．
故本题答案为：．