小学数学人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）优秀同步达标检测题

这是一份小学数学人教版六年级下册5 数学广角 （鸽巢问题）优秀同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了“鸽巢原理“，运用“鸽巢原理”解决问题，97等内容，欢迎下载使用。


第11讲 数学广角—鸽巢问题（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）


1、“鸽巢原理“（一）。
把m个物体任意分放进n个抽屉中（m＞n，m，n是非零自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了2个物体。
2、“鸽巢原理“（二）。
把多于kn个的物体任意分放进n个抽屉中（k是正整数，n是非零自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。
3、运用“鸽巢原理”解决问题。
运用逆向思维，依托“抽屉”和“物体”之间的相互关系来分析和解决实际问题。



1、解决“把m个物体任意分放进n个抽屉中（m＞n，m，n是非零自然数），求总有一个抽屉里至少放几个物体”的问题时，要用m除以n的商加1，而不是用商加余数。
2、已知抽屉数量和分的结果，求待分物数量，待分物数量=抽屉数量+1。 



【易错一】盒子里有5个红球，6个黄球，每次摸一个，至少摸（    ）次一定会摸到红球。
A．7 B．6 C．5
【分析】考虑最不利情况：假设先拿出来的都是黄球，拿出6个黄球后，盒子里只剩下5个红球，此时随意摸一个球一定是红球，至少摸球的次数＝黄球的个数＋1，据此解答。
【详解】6＋1＝7（次）
所以，至少摸7次一定会摸到红球。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查抽屉原理的简单应用，从最不利情况考虑是解答题目的关键。
【易错二】一个不透明的袋子里装有6颗白珠子，3颗红珠子，2颗蓝珠子，1颗黑珠子，珠子颜色不同、形状大小相同，一次摸出( )颗珠子才能保证至少有两颗白珠子。
【分析】考虑最差情况，把红珠子、蓝珠子和黑珠子都摸完，再加上两个白珠子，那么就可以保证至少有两颗白珠子。
【详解】3＋2＋1＋2
＝5＋1＋2
＝8（颗）
在把所有不符合情况全部摸出，再加上需要达到目标的数量，所以一次摸出8颗珠子才能保证至少有两颗白珠子。
【点睛】此题考查了抽屉原理，能熟练考虑最不利情况是解答的关键。
【易错三】六（1）班有6名同学参加知识竞赛，满分100分。如果他们的成绩中最低分为96分，那么参赛的同学中至少有2人成绩相同。这种说法对吗？六（2）班有7名同学参加知识竞赛，他们的成绩中最低分也是96分，六（2）班参赛的学生中至少有几人成绩相同？（竞赛成绩的分数均为整数）
【分析】得分为整数，最低分是96分，那么得分的可能是96、97、98、99、100分，共5种分数。从最不利的情况考虑，如果前5名同学得分都不相同，那么第6名或第7名无论得分是多少，都至少有2人成绩相同。
【详解】如果5名同学的成绩分别是96、97、98、99、100分，共5种分数；
6÷5＝1（名）……1（名）
1＋1＝2（名）
六（1）班参赛的同学中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
7÷5＝1（名）……2（名）
1＋1＝2（名）
答：六（1）班有6名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同，这种说法是对的。
六（2）班有7名同学参加，参赛的学生中至少有2人成绩相同。
【点睛】本题考查鸽巣问题，采用最不利原则解答。
【易错四】如图所示，盒子中有4种不同颜色的球，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出多少个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色？

【分析】此题要从最差情况考虑：摸出5个红球、4个黑球共9个球，只有2种颜色的球，此时再摸出任意一个都会出现3种不同颜色的球，据此即可解答。
【详解】5＋4＋1＝10（个）
答：至少要摸出10个球，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色。
【点睛】此题考查抽屉原理的应用，注意考虑最差情况，从最极端情况分析。
【易错五】国王让阿凡提在8×8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒。结果每个格子里至少放一粒米，无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒？
【分析】如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有1＋1＋2＋2＋3＋3＋…＋32＋32＝1056个米粒。如果少于1056个米粒，那必然有三个格子里的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒。
【详解】8×8＝64（个）
64÷2＝32（个）
1＋1＋2＋2＋3＋3＋…＋32＋32
＝（1＋32）×32÷2×2
＝33×32÷2×2
＝33×32
＝1056（个）
1056﹣1＝1055（个）
答：至多有1055个米粒。
【点睛】此题考查了学生分析、解决问题的能力，注意计算要细心。


一、选择题
1．一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10个，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸（    ）个。
A．10 B．11 C．4 D．以上都不对
2．六（1）班50名学生中至少有（    ）名学生的生日是在同一个月份。
A．3 B．4 C．5 D．6
3．把11只鸡放进4个鸡笼里，至少有（    ）只鸡要放进同一个鸡笼里。
A．3 B．4 C．2 D．5
4．盒子里有3个红球和2个黄球，至少要摸出（    ）个球，才能确保摸出两种颜色的球。
A．2 B．3 C．4
5．箱子里有红、黄、蓝三种颜色的珠子各10颗，大小、形状完全相同。从中摸出8颗，颜色相同的珠子至少有（    ）。
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
6．把红、黄、蓝、白、绿五种颜色的球各10个放到一个袋子里，要保证取到两个颜色相同的球，至少要取出几个球？（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．启航学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，最多从中挑选（    ）名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。
A．8    B．13     C．7
8．一个口袋里装有红、黄、蓝3种不同颜色的小球各10各，要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸（    ）个。
A．10 B．11 C．4
二、填空题
9．某数学兴趣小组有13名学生，他们中至少有( )个人是同一月出生的。
10．“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择一种水果，那么至少要有( )个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
11．六（1）班有50名同学，至少有( )个人是在同一月过生日。
12．一个盒子里装有4个红色球3个黄色球和2个蓝色球，至少摸出( )个球，保证有一个是黄色球。
13．六年级一班有54名学生，在这些学生中至少有( )人的出生月份是相同的。
14．在10张数学卡片中，有5个负数，5个正数。至少取出( )张卡片才能保证取出的卡片中既有正数又有负数。
15．某小学六年级2班有51名学生，总有一个月份出生的学生至少有( )人。
16．把10支铅笔放入4个文具盒中，总有一个文具盒中至少放入了( )支铅笔。如果把这些铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放入了( )支铅笔。
三、判断题
17．有7本书放入2个抽屉，有一个抽屉至少放4本书。( )
18．某校六年级共有368名同学，至少有两个人的生日是同一天。( )
19．把21支铅笔分给9个小朋友，如果每人至少分得2支铅笔，那么最多的可以分到5支铅笔。( )
20．把9块水果糖分给4名同学，其中有一名同学最少能分到3块。( )
四、解答题
21．池塘里有6只青蛙跳到4片荷叶上，总有一片荷叶上至少有2只青蛙。为什么？



22．某次数学竞赛，六（1）班有4名同学参加，总分为365分，则一定至少有一名学生的得分不低于90分。为什么？



23．一副扑克牌红桃、黑桃、方块、梅花各13张（取出大、小王）共52张。
（1）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌是同花色的？
（2）一次至少拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？
（3）一次至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌的点数相同？
（4）一次至少拿出多少张牌，才能保证至少有一张的点数为8？



24．六（2）班有48人，每人至少订一份刊物，现有甲、乙、丙三种刊物，每人有几种选择方式？这个班订相同刊物的至少有多少人？



25．某地元月份的天气有晴、阴、多云、雨、雪这五种情况，至少有多少天是同一种天气？



26．六（2）班有45人，男生、女生的人数比是3∶2，随机选取，至少选多少人才能保证选出的人中男生和女生都有？



27．六（2）班有46名同学，其中至少有多少名同学在同一个月过生日？为什么？



28．某班有44名学生，他们都订阅了甲、乙、丙三种报刊中的若干种（每名学生订了其中的一种、两种或三种）。至少有几名学生订阅的报刊是完全相同的?






参考答案
1．C
【分析】因总共有红、黄、蓝三种颜色，所以考虑到最差情况，就是摸出的3个是不同颜色的，这时，只要再摸出一个，不论是什么颜色的，就一定有两个球是同色的。据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
即要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸4个。
故答案为：C
【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。
2．C
【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，50名同学看作50个元素，考虑最差情况：把50名同学平均分配在12个抽屉中：50÷12＝4……2，那么每个抽屉都有4名，那么剩下的2名，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。
【详解】建立抽屉：一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，考虑最差情况：
50÷12＝4……2
4＋1＝5（名）
故答案为：C
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
3．A
【分析】把11只鸡装进4个鸡笼里，由于11÷4＝2只……3只，即平均每只笼子中装2只，还余3只，根据抽屉原理可知，至少有2＋1＝3只鸡装在同一个笼子里。
【详解】11÷4＝2（只）……3（只）
2＋1＝3（只）
即至少有3只鸡装在同一个笼子里。
故答案为：A
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数情况下）。
4．C
【分析】从最不利情况考虑，3个红球取尽，只剩了黄球，然后再取1个，就能保证有两种颜色的球，因此至少要摸出：（个）；据此解答。
【详解】（个）
所以至少要摸出4个球，才能确保摸出两种颜色的球。
故答案为：C。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握利用抽屉原理解决问题。
5．B
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
【详解】8÷3＝2（颗）……2（颗）
2＋1＝3（颗）
故答案为：B
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
6．A
【分析】要想保证2个球颜色相同，考虑最不利的情况，把每种颜色的球都取一遍，那么再取一个就能保证2个球颜色相同。
【详解】5＋1＝6（个）
故答案为：A。
【点睛】根据最坏原理进行分析是完成本题的关键。
7．A
【分析】最大的12岁，最小的6岁，根据“抽屉原理”，最差就有12－6＋1＝7名学生是6到12岁年龄不同的学生，只要再有1名学生，就一定有2名学生的年龄相同。据此解答。
【详解】12－6＋1＋1＝8（名）
故答案选：A
【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。
8．C
【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把3种不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：3＋1＝4（个），据此解答。
【详解】根据分析可得，
3＋1＝4（个）
所以要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸4个。
故答案为：C。
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握 抽屉原理解决问题的方法。
9．2
【分析】抽屉原则一：如果把（n＋1）个我要放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
【详解】13÷12＝1……1
1＋1＝2（人）
某数学兴趣小组有13名学生，他们中至少有2个人是同一月出生的。
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
10．5
【分析】有4种水果，每个小朋友任意选择一种有4种选择方法，最差情况是4个小朋友选择的水果都不相同，此时只要再有一个小朋友任意选择一种水果，就能保证有两人选的水果是一样的，据此解答。
【详解】4＋1＝5（个）
所以，至少要有5个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的。
【点睛】掌握抽屉原理的解题方法是解答题目的关键。
11．5
【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，50个同学看做50个元素，考虑最差情况：把50个同学平均分配在12个抽屉中：50÷12＝4……2，那么每个抽屉都有4人，那么剩下的2人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。
【详解】建立抽屉：一年有12个月，那么可以看做是12个抽屉，考虑最差情况：
50÷12＝4……2
4＋1＝5（人）
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
12．7
【分析】考虑最倒霉的情况，将所有的红色球和蓝色球全部摸出，再摸一个一定是黄球，据此分析。
【详解】4＋2＋1＝7（个）
【点睛】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
13．5
【分析】用物体数除以抽屉数，求出商，再用商＋1，求出至少数即可。
【详解】根据抽屉原理可得：
（人）（人）
（人）
【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握鸽巢问题的计算方法。
14．6
【分析】由题意可知，根据抽屉原理，最不利原则假设连续取5个数都是负数，则第6个数一定是正数，就能保证取出的卡片中既有正数又有负数。
【详解】由分析可知：
至少取出6张卡片才能保证取出的卡片中既有正数又有负数。
【点睛】本题考查抽屉原理，明确最不利原则是解题的关键。
15．5
【分析】先建立抽屉，因为一年有12个月，所以相当于有12个抽屉，先取出12个人的生月，最不利的情况是这51个人的生月都不同即每个抽屉里放4个，然后还剩3个人，无论放在哪个抽屉里，都可以保证有5个人；所以至少有5个人同月出生。
【详解】51÷12＝4（人）⋯⋯3（人）
4＋1＝5（人）
所以总有一个月份出生的学生至少有5人。
【点睛】本题在建12个抽屉的基础上求出最不利的放法的个数是本题解答的关键。
16．     3     4
【分析】（1）把10支铅笔放进4个文具盒中，10÷4＝2（支）……2（支），即平均每个文具盒放2支，还余2支，根据抽屉原理可知，总有一个文具盒里至少放2＋1＝3支。
（2〉把10支铅笔放进3个文具盒中，10÷3＝3（支）……1（支），即平均每个文具盒放3支，还余1支，根据抽屉原理可知，总有一个文具盒里至少放3＋1＝4支。
【详解】10÷4＝2（支）……2（支）
2＋1＝3（支）
总有一个文具盒中至少放入了3支铅笔。
10÷3＝3（支）……1（支）
3＋1＝4（支）
总有一个文具盒中至少放入了4支铅笔。
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下），没有余数的情况下，至少数＝平均数。
17．√
【分析】假设每个抽屉都放进3本书，那么余下的一本放进任意一个抽屉，至少有一个抽屉里有4本书，由此判断即可。
【详解】7÷2＝3……1，余下的一本无论放进哪个抽屉里，都有一个抽屉至少放4本书，原题说法正确。
故正确答案为：√。
【点睛】此题考查简单的抽屉问题，在此类题目中，至少数＝商＋余数。
18．√
【分析】一年最多有366天，将这366天当作366个抽屉，由于368÷366＝1（人）……2（人），即平均每天有1人过生日，还余2人，根据抽屉原理可知，至少有1＋1＝2人是同一天过生日。
【详解】368÷366＝1（人）……2（人）；
1＋1＝2（人）；
即至少2人同一天过生日，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商＋1（有余的情况下）。
19．√
【分析】把21支铅笔平均分给9个小朋友，每人得2支，还剩余3支，把剩余的全部给其中一个小朋友即可解答。
【详解】21÷9＝2（支）……3（支）
2＋3＝5（支）
所以原题说法正确。
【点睛】此题关键在于理解“抽屉原理”并熟练运用。
20．√
【分析】先平均分配，多出的再必须给到某位同学得到的就是得到最多的同学最少能分得的数量。
【详解】9÷4=2（块）……1（块）
2+1=3(块)
故答案为：√
【点睛】在平均分配的原则上再将余数也尽可能公平分配是此类题的分配原则。
21．如果每片荷叶上跳上1只青蛙，那么余下是2只无论跳到哪片荷叶上总有一片荷叶上至少有2只青蛙。
【分析】这是一道比较简单的抽屉问题，把这道题转化成抽屉问题解答即可。
【详解】6只青蛙跳到4片荷叶上，按平均分的方法，4片荷叶各有一只青蛙共4只，还余下2只青蛙要跳到荷叶上，无论这余下的2只青蛙，是同时跳到一片荷叶上，还是分开跳到两片荷叶上，总会满足总有一片荷叶上至少有2只青蛙，用算式表达就是：6÷4＝1……2。
【点睛】本题考查抽屉问题，具体是把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体。
解决本题的关键是理解“平均分”的思路，利用公式a÷n＝b……c，总有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体（a是物体个数，n是抽屉个数）来解决。
22．平均每人得91分还余1分，余下的1分无论分给哪一名学生，都会出现92分。
【分析】考虑最差情况：4名同学的得分尽量的平均，则每人得分是：365÷4＝91（分）…1（分），余下的1分无论分给哪一名学生，都会出现92分，据此即可解答．
【详解】365÷4＝91（分）……1（分）
90＋1＝91（分）
答：平均每人得91分还余1分，余下的1分无论分给哪一名学生，都会出现92分。
【点睛】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”解答。
23．（1）5张；（2）40张；（3）14张；（4）49张
【分析】（1）一共有四种花色，最不利的情况是拿出4张全是不同花色，再拿一张，无论什么花色，都能与其中一个花色相同；
（2）一共有4中花色，每种花色13张，最不利的情况是拿出13张是同花色，再拿13张还是同花色，再拿13张还是同花色，此时再拿一张，一定有4种花色的牌；
（3）一共有13种点数，最不利的情况是拿出的13张都是不同点数，再拿一张，一定有2张牌的点数相同；
（4）一共有13种点数，最不利的情况是拿出了除8之外的所有点数，共12×4张，再拿一张一定是点数为8的牌。
【详解】（1）4×1＋1＝4＋1＝5（张）　
答：一次至少拿出5张牌，才能保证有2张牌是同花色的。
（2）13×3＋1＝39＋1＝40（张）　
答：一次至少拿出40张牌，才能保证4种花色的牌都有。
（3）13×1＋1＝13＋1＝14（张）　
答：一次至少拿出14张牌，才能保证有2张牌的点数相同。
（4）12×4＋1＝48＋1＝49（张）
答：一次至少拿出49张牌，才能保证至少有一张的点数为8
【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数。
24．7种选择方式；7人
【分析】现有甲、乙、丙三种刊物，每人至少订一份刊物，则有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。
7种选择方式看作7个“抽屉”，48看作“物体个数”，根据抽屉原理48÷7＝6人……6人，这个班订相同刊物的至少有6＋1＝7人。
【详解】有甲、乙、丙、甲乙、甲丙、乙丙、甲乙丙7种选择方式。
48÷7＝6（人）……6（人）
6＋1＝7（人）
答：有7种选择方式。这个班订相同刊物的至少有7人。
【点睛】此题要理清什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解。
25．7天
【分析】元月份有31天，晴、阴、多云、雨、雪这五种情况看作5个抽屉，31÷5＝6（天）……1（天），即平均每种天气情况有6天，还余1天，所以至少有6＋1＝7（天）是同一种天气。
【详解】31÷5＝6（天）……1（天）
6＋1＝7（天）
答：至少有7天是同一种天气。
【点睛】此题考查简单的抽屉问题，分清31天看作物体总个数，五种天气情况看作5个抽屉，解答方法为：至少数＝商＋1（有余数的情况下）。
26．28人
【分析】根据比例的知识可知男生女生各有27人、18人，所以如果必须保证选中的人有男有女，那么要作最坏的打算即全是男生，把27位男生都选完了，再选一定是女生，所以至少选（27＋1）人即28人。
【详解】男生人数：45×＝27（人）
女生人数：45×＝18（人）
27＋1＝28（人）
答：至少选28人才能保证选出的人中男生和女生都有。
【点睛】此类题此题主要考查了鸽巢原理的运用，要从最坏的情况考虑。
27．4名；因为46÷12＝3……10，一年12个月，平均最少3个同学在同一个月，剩下的不管在哪个月，都最少有4个，所以有4名。
【分析】将12个月份看成是12个抽屉，根据鸽巢原理（二）：不能整除时至少数＝商＋1，能整除时至少数＝商，进行解答即可
【详解】由分析可得：46÷12＝3……10
3＋1＝4
所以至少有4名同学在同一个月过生日。
【点睛】本题主要考查了鸽巢原理的应用，关键是要认真分析题意，建立正确的抽屉，熟练地运用适当的鸽巢原理进行解答。
28．7名
【分析】先求出订阅报刊的情况，再根据“抽屉原理”解答：“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数＋1（有余数的情况下）”进行解答即可。
【详解】学生订阅报刊的情况共有7种。
44÷7＝6（名）……2（名）
6+1＝7（名）
【点睛】此题关键运用了“抽屉原理”的解题思路：要从最不利的情况考虑，准确建立抽屉和确定元素的总个数进行解答。