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【易错精编讲义】人教版数学六年级下册-第10讲 比例的应用 知识梳理讲义+易错练习
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这是一份【易错精编讲义】人教版数学六年级下册-第10讲 比例的应用 知识梳理讲义+易错练习，共24页。
第10讲 比例的应用（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、比例尺的意义。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
温馨提示：比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位。
2、比例尺的分类。
分法一：按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺。
分法二：按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
3、已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。
先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成最简整数比，得出比例尺。三者中知道任意两者，可求第三者。
4、应用比例尺画图的方法。
（1）确定比例尺。（2）根据比例尺求出图上距离。（3）画图。（4）标出所画图的名称和比例尺。
5、图形放大与缩小的特点。
形状相同，大小不同。
6、将图形放大与缩小的方法。
一看，看图形每边各占几格；
二算，按已知比计算出放大图或缩小图的每边各占几格；
三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
温馨提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
7、用比例解决问题。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。
1、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。
2、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。
3、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。
4、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
5、平均锯一次的时间一定，一共用的时间与锯的次数成正比例。
6、在路程一定时，速度和时间成反比例关系，速度越快，所用时间越短；反之所用时间越长。
【易错一】学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（ ）。
A．1∶100 B．1∶1000 C．1∶10000 D．1∶1
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，先把单位换算成厘米后，把4个选项里的比例尺代入到数量关系中，分别求出练习本的长是多少，找出符合实际的答案即可。
【详解】90米＝9000厘米
A．9000×＝90（厘米），练习本有90厘米长，显然不符合实际；
B．9000×＝9（厘米），练习本有9厘米长，符合实际；
C．9000×＝0.9（厘米），练习本只有0.9厘米长，显然不符合实际；
D．9000×1＝9000（厘米），练习本有9000厘米长，显然不符合实际。
故答案为：B
【点睛】此题的解题关键是通过比例尺的运用，利用图上距离与实际距离之间的换算，求出结果，再进行判断。
【易错二】在一幅比例尺为1∶10000000的雷达扫描图上发现一架飞机正以每小时8厘米的速度飞行，预计30分钟后进入我国领空。目前这架飞机距离我国领空的实际距离是多少千米？
【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出飞机每小时飞行的路程，再把30分钟转化为小时，最后根据“路程＝速度×时间”求出这架飞机距离我国领空的实际距离，据此解答。
【详解】8÷＝80000000（厘米）
80000000厘米＝800千米
30÷60＝0.5（小时）
800×0.5＝400（千米）
答：目前这架飞机距离我国领空的实际距离是400千米。
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。
【易错三】把一个半径为3cm的圆形按2∶1放大，放大后的圆形周长和原来圆形周长的最简整数比是( )∶( )，原来圆形面积是放大后圆形面积的( )。
【分析】按2∶1的比放大就是把原来的圆的半径扩大2倍，用3×2求出扩大后的圆的半径，然后根据圆的周长公式和面积公式分别求出放大前和放大后圆的周长和圆的面积，然后用放大后的圆的周长∶放大前的圆的周长，然后化成最简比；用放大前圆的面积除以放大后圆的面积，即可求出原来圆形面积是放大后圆形面积的百分之几。
【详解】3×2＝6（cm）
（2×3.14×6）∶（2×3.14×3）
＝37.68∶18.84
＝2∶1
（3.14×32）÷（3.14×62）
＝（3.14×9）÷（3.14×36）
＝28.26÷113.04
＝0.25
＝25%
【点睛】解答本题关键是求出扩大后的圆的半径，灵活运用圆的周长和面积公式解答。
【易错四】
（1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。
（2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（ ）表示，顶点C用（ ）表示。
（3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。
【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。
（2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
【详解】（1）把三角形ABC的三边同时扩大到原来的2倍，画在右边的方格图里。
（2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（5，6）表示，顶点C用（6，4）表示。
（3）A点位置不变，确定出B点和C点绕A点顺时针旋转90°后的位置，再依次连线。
【点睛】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小；用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对；决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。
【易错五】市政公司计划修一条公路，4天修了328米，照这样的速度，这条公路一共需要修20天。这条公路全长多少米？（用比例解）
【分析】由题意可知，工作效率不变，则工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设这条公路全长x米。
x∶20＝328∶4
4x＝328×20
4x＝6560
x＝6560÷4
x＝1640
答：这条公路全长1640米。
【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确工作总量和工作时间成正比例是解题的关键。
一、选择题
1．一个长方形，按3∶1放大后，面积扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．1 C．4 D．9
2．阳光小区的草坪长120米，宽80米，把它的平面图画在作业本上，选用比例尺（ ）比较合适。
A． B． C．
3．下面的说法正确的是（ ）。
A．比的前项一定，后项和比值成正比例。 B．圆的面积和半径成正比例。
C．图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例。 D．正方形的边长和面积成正比例。
4．比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，则图上距离（ ）。
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的5倍 C．不变 D．扩大8倍
5．下图，小明爸早上9：00从家出发，以平均60km/h的时速行驶，11：30到达目的地。目的地应该是（ ）。
A．甲城 B．乙城 C．丙城 D．丁城
6．比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地距离为12cm，一艘货轮于上午8时以每小时24km的速度从A地开向B地，到达B地的时间是（ ）。
A．15时 B．18时 C．22时 D．23时
7．李明家的客厅是正方形的，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.4m的方砖铺地，需要（ ）块。
A．90 B．150 C．225
8．淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟，淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，淘气做一个纸鹤用（ ）分钟。
A． B．2 C．1 D．
二、填空题
9．一只七星瓢虫的实际长度是5mm，画在图上后，量的长度是3cm，这幅图的比例尺是( )。
10．这是( )比例尺。图上1cm表示实际( )km，改写成数值比例尺( )。
11．为测量电线杆的高度，同学们竖起了一根1.6米的竹竿，在同一时刻测得竹竿的影长是0.4米，电线杆的影长是2.1米，电线杆的高度是( )米。
12．王老师和李老师家住同一幢楼，王老师家上个月用了12吨水，水费是42元，李老师家用了8吨水，水费是( )元。
13．一个长方形长10.5cm，宽8.5cm，按1∶5缩小后的长方形的面积是( )cm2。
14．一个长6米、宽2米的长方形，把它的各边放大到原来的2倍，得到图形的周长是( )米。
15．一幅地图的比例尺是，把它改写成数值比例尺是( )；实际距离360千米在这幅地图上需画( )厘米。
16．某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高4米，比较高的树高度是( )米。
三、判断题
17．把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶8000000。（每一小段有1厘米）( )
18．一个面积是6.28cm2的圆形，按2∶1放大，得到的图形面积是12.56cm2。( )
19．在比例尺是1∶1000000的地图上，图上距离2cm，表示实际距离20km。( )
20．把一个长方形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的6倍。( )
四、作图题
21．在方格纸上按要求画图。
（1）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形。
（2）按2∶1的比画出四边形放大后的图形。
22．根据下面描述，在平面图上标出位置。（比例尺1∶120000）
（1）聪聪家在公园北偏东60°方向2400米处。
（2）会展中心在公园的南偏西30°方向3000米处。
五、解答题
23．一幅地图的比例尺是。在这幅地图上量得甲、乙两城之间的距离是4.5厘米，一辆汽车以每小时90千米的速度从甲城开出，要多少小时才能到达乙城？
24．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地之间的图上距离是9厘米。甲、乙两车从两地同时相向而行，3小时相遇，甲、乙两车速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？
25．在一幅1∶20000000的地图上量得甲乙两地机场的距离是8厘米，一架民航客机以每小时640千米的速度从甲地机场飞往乙地机场，需要飞行多少小时？
26．学校有一块长120米、宽80米的长方形操场，请你用1∶4000的比例尺将其画出来，画出的长方形面积是多少？
27．如果100克的海水可以晒出3克盐，那么5000吨海水可以晒出多少吨盐？（用比例解）
28．一间房子要用方砖铺地，若用边长为4分米的方砖，需要72块，如果改用边长为6分米的方砖，需要多少块？（用比例解答）
29．（用比例解）一种大豆，每20千克可以榨油5.5千克。照这样计算，30吨大豆可以榨油多少吨？
30．为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解）
31．根据方格图中的信息，按要求画图并填空。（每个小方格的边长表示1厘米）
（1）以线段AB为一条边，画一个面积为4平方厘米的直角三角形ABC，并用数对表示点C的位置：（____，____）。
（2）画出图中长方形按1∶2缩小后的图形。缩小后的图形与原图形的面积比是（____∶____）
32．（1）如图，画出长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形。
（2）将长方形ABCD按2∶1放大后画在合适的位置。
（3）如果一个格子的边长表示1厘米，那么以BC边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的体积是 立方厘米。
参考答案
1．D
【分析】我们可以假设原长方形的长为2，宽为1，根据图形放大与缩小的意义，按3∶1放大后的长方形的长为6，长为3，分别求出原长方形、放大后的长方形的面积，进而求出面积扩大到原来的多少倍。
【详解】设原长方形的长为2，宽为1，
其面积是：2×1＝2
按3∶1放大后长方形的长为6，长为3，
其面积是：6×3＝18
18÷2＝9
即面积扩大到原来的9倍。
故答案为：D
【点睛】本题考查了图形的放大，图形的放大或缩小是指对应边放大或缩小。
2．B
【分析】先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图上距离；再根据作业本的长度确定是否合适。
【详解】120米＝12000厘米，80米＝8000厘米。
A．12000×＝60（厘米），8000×＝40（厘米），图上距离偏大，所以比例尺1∶200不合适。
B．12000×＝6（厘米），8000×＝4（厘米），图上距离合适，所以比例尺1∶2000合适。
C．12000×＝0.6（厘米），8000×＝0.4（厘米），图上距离偏小，所以比例尺1∶20000不合适。
故答案为：B
【点睛】图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位，计算时注意先统一单位。
3．C
【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。
【详解】A．比的后项×比值＝比的前项，比的前项一定，后项和比值成反比例，选项说法错误。
B．圆的面积÷r＝πr（不定），圆的面积和半径不成比例关系。
C．实际距离×比例尺＝图上距离，图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例，选项说法正确。
D．正方形的面积÷边长＝边长（不定），正方形的边长和面积不成比例关系。
故答案为：C
【点睛】关键是理解正比例和反比例的意义，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。
4．B
【分析】已知比例尺＝图上距离÷实际距离，商不变性质：被除数和除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。据此解答。
【详解】根据分析可知，比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，则图上距离扩大到原来的5倍。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了比例尺的意义和商不变性质。
5．C
【分析】先确定经过时间，根据速度×时间＝路程，求出小明爸行驶的距离，再看图确定目的地即可。
【详解】11：30－9：00＝2小时30分＝2.5小时
60×2.5＝150（km）
A．小明家到甲城大约200km；
B．小明家到乙城大于50km小于100km；
C．小明家到丙城150km；
D．小明家到丁城大于100km小于150km。
故答案为：C
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。
6．D
【分析】结合比例尺，先计算出实际距离；再根据路程÷速度＝时间，求得到达B地所需时间；最后用8时加上这个时间，就是到达B地的时间。
【详解】12÷＝12×3000000＝36000000（cm）＝360（km）
360÷24＝15（小时）
8时＋15小时＝23（时）
故答案为：D
【点睛】熟练应用图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系，在图上距离与实际距离的转化时，要注意单位的换算。
7．C
【分析】设改用边长0.4m的方砖铺地，需要x块，正方形面积＝边长×边长，根据方砖面积×块数＝客厅面积，列出反比例方程解答即可。
【详解】解：设改用边长0.4m的方砖铺地，需要x块。
0.4×0.4×x＝0.6×0.6×100
0.16x÷0.16＝36÷0.16
x＝225
故答案为：C
【点睛】关键是确定比例关系，积一定是反比例关系。
8．A
【分析】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；则可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；条件“淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟”可以替换为“笑笑做25个纸鹤比做24个纸鹤多用2分钟”，从而可知，笑笑做一个纸鹤用时2分钟；进而求出淘气做一个纸鹤用时。
【详解】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；
6∶5＝30∶25
可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；
笑笑做一个纸鹤用时：2÷（25－24）
＝2÷1
＝2（分钟）
25×2÷30＝（分钟）
故答案为：A
【点睛】根据比例转换数量关系，再解答。
9．6∶1
【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。根据比例尺的意义可知，比例尺＝图上距离∶实际距离，把数据代入进去，即可求出这幅图的比例尺。
【详解】3cm∶5mm
＝30mm∶5mm
＝30∶5
＝6∶1
即这幅图的比例尺是6∶1。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握比例尺的意义。
10． 线段 40 1∶4000000
【分析】比例尺的种类：按表现形式分为数值比例尺与线段比例尺，属于线段比例尺，图上1cm表示实际40km，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”可知，改写成数值比例尺。
【详解】1cm∶40km
＝1cm∶4000000cm
＝1∶4000000
这是线段比例尺。图上1cm表示实际40km，改写成数值比例尺1∶4000000。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握比例尺的意义。
11．8.4
【分析】把电线杆的高度设为未知数，同一时刻物体的高度和影子的长度成正比例关系，电线杆的高度∶电线杆影子的长度＝竹竿的高度∶竹竿影子的长度，据此列方程解答。
【详解】解：设电线杆的高度是米。
所以，电线杆的高度是8.4米。
【点睛】本题主要考查正比例的应用，理解同一时刻、同一地点物体的高度与影长成正比例关系是解答题目的关键。
12．28
【分析】设李老师家水费是x元，根据水费∶用水吨数＝每吨水的费用（一定），列出正比例算式求出x的值即可。
【详解】解：设李老师家水费是x元。
x∶8＝42∶12
12x＝8×42
12x÷12＝336÷12
x＝28
【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。
13．3.57
【分析】按照1∶5缩小后，长和宽都变成原来的，先求出缩小后的长和宽，再计算面积，长方形的面积＝长×宽。
【详解】10.5×＝2.1（cm）
8.5×＝1.7（cm）
2.1×1.7＝3.57（cm2）
【点睛】此题考查图形的放大与缩小的应用，掌握长方形的面积公式也是解题的关键。
14．32
【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出原来长方形的周长，各对应边的长度扩大到原来的2倍，长方形的周长也扩大到原来的2倍，现在长方形的周长＝原来长方形的周长×2，据此解答。
【详解】（6＋2）×2×2
＝8×2×2
＝16×2
＝32（米）
所以，得到图形的周长是32米。
【点睛】图形放大到原来的2倍时，各对应边的长度扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍，图形的形状不发生变化。
15． 1∶2500000 14.4
【分析】从线段比例尺中可知，图上1厘米相当于实际距离的25千米，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出数值比例尺。
已知实际距离360千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求解。
注意单位的换算：1千米＝100000厘米。
【详解】1厘米∶25千米
＝1厘米∶（25×100000）厘米
＝1∶2500000
360千米＝36000000厘米
36000000×＝14.4（厘米）
改写成数值比例尺是1∶2500000；实际距离360千米在这幅地图上需画14.4厘米。
【点睛】本题考查线段比例尺与数值比例尺的互化以及实际距离与图上距离的换算。
16．5.6
【分析】在同一时间、同一地点的树高和影长对应的比值一定，设比较高的树高度是x米，根据比较矮的树高∶矮树的影长＝比较高的树高∶高树的影长，列比例，解答即可。
【详解】解：设比较高的树高度是x米，
4∶5＝x∶7
5x＝4×7
5x＝28
5x÷5＝28÷5
x＝5.6
比较高的树高度是5.6米。
【点睛】本题主要考查了比例的应用，关键是明确同一时间、同一地点的树高和影长对应的比值一定。
17．√
【分析】根据比例尺的意义可知，题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离80千米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，单位换算后代入数据即可求出数值比例尺。
【详解】1厘米∶80千米
＝1厘米∶8000000厘米
＝1∶8000000
改写成数值比例尺是1∶8000000。
故答案为：√
【点睛】此题的解题关键是理解比例尺的意义以及掌握比例尺不同的种类。
18．×
【分析】根据图形放大与缩小的意义，一个面积是6.28cm2的圆形，先利用圆的面积公式求出圆的半径，按2∶1放大后，圆的半径扩大到原来的2倍，求出放大后圆的半径；再根据圆的面积公式即可求出扩大后的面积，看是否与原题相符。
【详解】r2＝6.28÷3.14＝2
圆的半径扩大到原来的2倍，
圆的面积为：3.14×（2r）2
＝3.14×4×r2
＝12.56×2
＝25.12（cm2）
所以原题的答案是错误的。
故答案为：×
【点睛】本题是考查图形的放大与缩小、圆的面积的计算，注意，一个图形扩大或缩小的倍数是指对应边扩大或缩小的倍数。
19．√
【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，比例尺＝图上距离∶实际距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，把题中数据代入公式计算，据此解答。
【详解】2÷
＝2×1000000
＝2000000（cm）
2000000cm＝20km
所以，在比例尺是1∶1000000的地图上，图上距离2cm，表示实际距离20km。
故答案为：√
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。
20．×
【分析】把一个长方形按3∶1放大，面积按照32∶12放大，据此确定面积扩大到原来的倍数。
【详解】32∶12＝9∶1，把一个长方形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的9倍，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小。
21．（1）（2）见详解
【分析】（1）把三角形按1∶2缩小，即三角形的每一条边缩小到原来的，原三角形的底和高分别除以2，得出缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的图形。
（2）把平行四边形按2∶1扩大，即平行四边形的每一条边扩大到原来的2倍，原平行四边形的底和高分别乘2，得出扩大后平行四边形的底和高，据此画出扩大后的图形。
【详解】（1）（2）如图：
【点睛】此题主要考查图形的放大与缩小，掌握其作图方法是解答题目的关键。
22．（1）见详解
（2）见详解
【分析】以公园为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准；先根据进率“1米＝100厘米”，把聪聪家与公园、会展中心与公园的实际距离换算单位为“厘米”；然后根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出聪聪家与公园、会展中心与公园的图上距离；最后根据方向、角度和距离在图中标出聪聪家、会展中心的位置。
【详解】（1）2400米＝240000厘米
240000×＝2（厘米）
在公园的北偏东60°方向上画2厘米长的线段，即是聪聪家，如下图。
（2）3000米＝300000厘米
300000×＝2.5（厘米）
在公园的的南偏西30°方向上画2.5厘米长的线段，即是会展中心，如下图。
【点睛】本题考查根据比例尺画图，以及依据方向、角度和距离确定物体的位置的方法。
23．3小时
【分析】从线段比例尺可以看出，图上1厘米代表实际距离60千米，化成数值比例尺，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出甲、乙两城之间的路程，最后根据路程÷速度＝时间，即可求出需要多少小时到达乙城。
【详解】1厘米∶60千米
＝1厘米∶6000000厘米
＝1∶6000000
4.5÷
＝4.5×6000000
＝27000000（厘米）
＝270（千米）
270÷90＝3（小时）
答：要3小时才能到达乙城。
【点睛】此题的解题关键是根据比例尺的意义以及图上距离和实际距离之间的换算，利用路程、速度、时间三者之间的关系，解决问题。
24．甲车的速度是90千米/时；乙车的速度是60千米/时
【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，又因甲车的速度与乙车速度的比是3∶2，分别求出两车的速度分别占速度和的几分之几，再根据乘法的意义，即可得解。
【详解】9÷
＝9×5000000
＝45000000（厘米）
45000000厘米＝450千米
450÷3＝150（千米/时）
150×＝90（千米/时）
150－90＝60（千米/时）
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【点睛】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题、按比例分配的方法。
25．2.5小时
【分析】先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出甲乙两地的路程；再根据“路程÷速度＝时间”求出从甲地飞往乙地需要飞行的时间。
【详解】8÷＝8×20000000＝160000000（厘米）
160000000厘米＝1600千米
1600÷640＝2.5（小时）
答：需要飞行2.5小时。
【点睛】明确比例尺的意义是解决此题的关键。
26．图形见详解；6平方厘米
【分析】4000厘米＝40米，由题可知，图上1厘米代表实际距离40米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出长和宽的图上距离，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。
【详解】
长：120米＝12000厘米
12000×＝3（厘米）
宽：80米＝8000厘米
8000×＝2（厘米）
面积：3×2＝6（平方厘米）
答：长方形面积是6平方厘米。
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法并熟记长方形的面积计算公式是解答题目的关键。
27．150吨
【分析】设5000吨海水可以晒出x吨盐，根据海水质量∶盐的质量＝海水质量∶盐的质量，列出比例解答即可。
【详解】解：设5000吨海水可以晒出x吨盐。
5000∶x＝100∶3
100x＝5000×3
100x÷100＝15000÷100
x＝150
答：5000吨海水可以晒出150吨盐。
【点睛】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。
28．32块
【分析】根据题意知道，一间教室的地面的面积一定，一块方砖的面积方砖的块数一间教室的面积（一定），由此判断一块方砖的面积与方砖的块数成反比例，设出未知数，列比例解答即可
【详解】解：设需要块。
答：需要32块。
【点睛】关键是确定比例关系，积一定是反比例关系。
29．8.25吨
【分析】由题意可知，每千克大豆的出油质量不变，则大豆的质量与出油的质量成正比例，现在大豆的质量∶大豆油的质量＝原来大豆的质量∶大豆油的质量，据此解答。
【详解】解：设30吨大豆可以榨油x吨。
30∶x＝20∶5.5
20x＝30×5.5
20x＝165
x＝165÷20
x＝8.25
答：30吨大豆可以榨油8.25吨。
【点睛】本题主要考查应用正比例关系解决实际问题，找出两种相关联的量成正比例关系是解答题目的关键。
30．5万只
【分析】由题意可知，这批口罩的只数是一定的，所以每天生产的只数和时间成反比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设实际每天生产x万只口罩。
20x＝4×25
20x＝100
x＝5
答：实际每天生产5万只口罩。
【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确每天生产的只数和时间成反比例是解题的关键。
31．图形见详解；
（1）（2，5）
（2）1∶4
【分析】（1）一个三角形中其中一个角是90°，这样的三角形就是直角三角形；每个小方格的边长表示1厘米，根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此画一个底为4厘米，高为2厘米的三角形即可；再根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可；
（2）将原长方形的各边长都缩小到原来的即可；然后根据长方形的面积公式：S＝ab，分别求出缩小前后的面积，进而求出缩小后的图形与原图形的面积比。
【详解】如图所示：
（1）4×2÷4
＝8÷4
＝2（厘米）
以线段AB为一条边，画一个面积为4平方厘米的直角三角形ABC，并用数对表示点C的位置：（2，5）。
（2）6×＝3（厘米）
4×＝2（厘米）
（3×2）∶（6×4）
＝6∶24
＝（6÷6）∶（24÷6）
＝1∶4
画出图中长方形按1∶2缩小后的图形。缩小后的图形与原图形的面积比是1∶4。
【点睛】本题考查图形的放大与缩小，明确缩小的是图形的各个边长是解题的关键。
32．（1）见详解
（2）见详解
（3）56.52
【分析】（1）根据旋转的特征，将长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（2）长方形ABCD按2∶1放大，即长方形的各边都扩大到原来的2倍，由此得出放大后长方形的长、宽，画出放大后的长方形。
（3）以BC边为轴旋转一周得到一个圆柱，那么BC是圆柱的高，DC是圆柱的底面半径，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出圆柱的体积。
【详解】（1）长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°，旋转后的长方形如下图。
（2）放大后的长方形的长：3×2＝6
放大后的长方形的宽：2×2＝4
放大后的长方形如下图。
（3）这个圆柱的体积是：
3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（立方厘米）
【点睛】本题考查作旋转后的图形、作放大后图形的作图方法，以及圆柱体积公式的应用，明确当以长方形的一条边作轴旋转成一个圆柱时，找出圆柱的高、底面半径与长方形的长、宽的关系是求圆柱体积的关键。
第10讲 比例的应用（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、比例尺的意义。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
温馨提示：比例尺是一个比，表示两个同类量间的倍比关系，不能带单位。
2、比例尺的分类。
分法一：按表现形式分，可以分为数值比例尺和线段比例尺。
分法二：按将实际距离缩小还是放大分，可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
3、已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法。
先把图上距离和实际距离统一单位，再用图上距离比实际距离，然后把它化简成最简整数比，得出比例尺。三者中知道任意两者，可求第三者。
4、应用比例尺画图的方法。
（1）确定比例尺。（2）根据比例尺求出图上距离。（3）画图。（4）标出所画图的名称和比例尺。
5、图形放大与缩小的特点。
形状相同，大小不同。
6、将图形放大与缩小的方法。
一看，看图形每边各占几格；
二算，按已知比计算出放大图或缩小图的每边各占几格；
三画，按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
温馨提示：把图形每条边按相同倍数放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
7、用比例解决问题。
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系列出相应的比例并求解。
1、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。
2、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。
3、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。
4、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。
5、平均锯一次的时间一定，一共用的时间与锯的次数成正比例。
6、在路程一定时，速度和时间成反比例关系，速度越快，所用时间越短；反之所用时间越长。
【易错一】学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（ ）。
A．1∶100 B．1∶1000 C．1∶10000 D．1∶1
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，先把单位换算成厘米后，把4个选项里的比例尺代入到数量关系中，分别求出练习本的长是多少，找出符合实际的答案即可。
【详解】90米＝9000厘米
A．9000×＝90（厘米），练习本有90厘米长，显然不符合实际；
B．9000×＝9（厘米），练习本有9厘米长，符合实际；
C．9000×＝0.9（厘米），练习本只有0.9厘米长，显然不符合实际；
D．9000×1＝9000（厘米），练习本有9000厘米长，显然不符合实际。
故答案为：B
【点睛】此题的解题关键是通过比例尺的运用，利用图上距离与实际距离之间的换算，求出结果，再进行判断。
【易错二】在一幅比例尺为1∶10000000的雷达扫描图上发现一架飞机正以每小时8厘米的速度飞行，预计30分钟后进入我国领空。目前这架飞机距离我国领空的实际距离是多少千米？
【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出飞机每小时飞行的路程，再把30分钟转化为小时，最后根据“路程＝速度×时间”求出这架飞机距离我国领空的实际距离，据此解答。
【详解】8÷＝80000000（厘米）
80000000厘米＝800千米
30÷60＝0.5（小时）
800×0.5＝400（千米）
答：目前这架飞机距离我国领空的实际距离是400千米。
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。
【易错三】把一个半径为3cm的圆形按2∶1放大，放大后的圆形周长和原来圆形周长的最简整数比是( )∶( )，原来圆形面积是放大后圆形面积的( )。
【分析】按2∶1的比放大就是把原来的圆的半径扩大2倍，用3×2求出扩大后的圆的半径，然后根据圆的周长公式和面积公式分别求出放大前和放大后圆的周长和圆的面积，然后用放大后的圆的周长∶放大前的圆的周长，然后化成最简比；用放大前圆的面积除以放大后圆的面积，即可求出原来圆形面积是放大后圆形面积的百分之几。
【详解】3×2＝6（cm）
（2×3.14×6）∶（2×3.14×3）
＝37.68∶18.84
＝2∶1
（3.14×32）÷（3.14×62）
＝（3.14×9）÷（3.14×36）
＝28.26÷113.04
＝0.25
＝25%
【点睛】解答本题关键是求出扩大后的圆的半径，灵活运用圆的周长和面积公式解答。
【易错四】
（1）把三角形ABC按2∶1放大，画在如图的方格里。
（2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（ ）表示，顶点C用（ ）表示。
（3）画出三角形ABC绕A点顺时针旋转90°的图形。
【分析】（1）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。
（2）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。
（3）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
【详解】（1）把三角形ABC的三边同时扩大到原来的2倍，画在右边的方格图里。
（2）如果三角形ABC的顶点A用（3，4）表示，那么顶点B用（5，6）表示，顶点C用（6，4）表示。
（3）A点位置不变，确定出B点和C点绕A点顺时针旋转90°后的位置，再依次连线。
【点睛】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小；用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对；决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。
【易错五】市政公司计划修一条公路，4天修了328米，照这样的速度，这条公路一共需要修20天。这条公路全长多少米？（用比例解）
【分析】由题意可知，工作效率不变，则工作总量和工作时间成正比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设这条公路全长x米。
x∶20＝328∶4
4x＝328×20
4x＝6560
x＝6560÷4
x＝1640
答：这条公路全长1640米。
【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确工作总量和工作时间成正比例是解题的关键。
一、选择题
1．一个长方形，按3∶1放大后，面积扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．1 C．4 D．9
2．阳光小区的草坪长120米，宽80米，把它的平面图画在作业本上，选用比例尺（ ）比较合适。
A． B． C．
3．下面的说法正确的是（ ）。
A．比的前项一定，后项和比值成正比例。 B．圆的面积和半径成正比例。
C．图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例。 D．正方形的边长和面积成正比例。
4．比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，则图上距离（ ）。
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的5倍 C．不变 D．扩大8倍
5．下图，小明爸早上9：00从家出发，以平均60km/h的时速行驶，11：30到达目的地。目的地应该是（ ）。
A．甲城 B．乙城 C．丙城 D．丁城
6．比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两地距离为12cm，一艘货轮于上午8时以每小时24km的速度从A地开向B地，到达B地的时间是（ ）。
A．15时 B．18时 C．22时 D．23时
7．李明家的客厅是正方形的，用边长0.6m的方砖铺地，正好需要100块。如果改用边长0.4m的方砖铺地，需要（ ）块。
A．90 B．150 C．225
8．淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟，淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，淘气做一个纸鹤用（ ）分钟。
A． B．2 C．1 D．
二、填空题
9．一只七星瓢虫的实际长度是5mm，画在图上后，量的长度是3cm，这幅图的比例尺是( )。
10．这是( )比例尺。图上1cm表示实际( )km，改写成数值比例尺( )。
11．为测量电线杆的高度，同学们竖起了一根1.6米的竹竿，在同一时刻测得竹竿的影长是0.4米，电线杆的影长是2.1米，电线杆的高度是( )米。
12．王老师和李老师家住同一幢楼，王老师家上个月用了12吨水，水费是42元，李老师家用了8吨水，水费是( )元。
13．一个长方形长10.5cm，宽8.5cm，按1∶5缩小后的长方形的面积是( )cm2。
14．一个长6米、宽2米的长方形，把它的各边放大到原来的2倍，得到图形的周长是( )米。
15．一幅地图的比例尺是，把它改写成数值比例尺是( )；实际距离360千米在这幅地图上需画( )厘米。
16．某天同一时刻同一地点分别测量了两棵高度不同的树的高度和影子长度，如图比较矮的树高4米，比较高的树高度是( )米。
三、判断题
17．把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶8000000。（每一小段有1厘米）( )
18．一个面积是6.28cm2的圆形，按2∶1放大，得到的图形面积是12.56cm2。( )
19．在比例尺是1∶1000000的地图上，图上距离2cm，表示实际距离20km。( )
20．把一个长方形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的6倍。( )
四、作图题
21．在方格纸上按要求画图。
（1）按1∶2的比画出三角形缩小后的图形。
（2）按2∶1的比画出四边形放大后的图形。
22．根据下面描述，在平面图上标出位置。（比例尺1∶120000）
（1）聪聪家在公园北偏东60°方向2400米处。
（2）会展中心在公园的南偏西30°方向3000米处。
五、解答题
23．一幅地图的比例尺是。在这幅地图上量得甲、乙两城之间的距离是4.5厘米，一辆汽车以每小时90千米的速度从甲城开出，要多少小时才能到达乙城？
24．在比例尺是1∶5000000的地图上，量得A、B两地之间的图上距离是9厘米。甲、乙两车从两地同时相向而行，3小时相遇，甲、乙两车速度比是3∶2，甲、乙两车的速度各是多少？
25．在一幅1∶20000000的地图上量得甲乙两地机场的距离是8厘米，一架民航客机以每小时640千米的速度从甲地机场飞往乙地机场，需要飞行多少小时？
26．学校有一块长120米、宽80米的长方形操场，请你用1∶4000的比例尺将其画出来，画出的长方形面积是多少？
27．如果100克的海水可以晒出3克盐，那么5000吨海水可以晒出多少吨盐？（用比例解）
28．一间房子要用方砖铺地，若用边长为4分米的方砖，需要72块，如果改用边长为6分米的方砖，需要多少块？（用比例解答）
29．（用比例解）一种大豆，每20千克可以榨油5.5千克。照这样计算，30吨大豆可以榨油多少吨？
30．为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解）
31．根据方格图中的信息，按要求画图并填空。（每个小方格的边长表示1厘米）
（1）以线段AB为一条边，画一个面积为4平方厘米的直角三角形ABC，并用数对表示点C的位置：（____，____）。
（2）画出图中长方形按1∶2缩小后的图形。缩小后的图形与原图形的面积比是（____∶____）
32．（1）如图，画出长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°后的图形。
（2）将长方形ABCD按2∶1放大后画在合适的位置。
（3）如果一个格子的边长表示1厘米，那么以BC边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的体积是 立方厘米。
参考答案
1．D
【分析】我们可以假设原长方形的长为2，宽为1，根据图形放大与缩小的意义，按3∶1放大后的长方形的长为6，长为3，分别求出原长方形、放大后的长方形的面积，进而求出面积扩大到原来的多少倍。
【详解】设原长方形的长为2，宽为1，
其面积是：2×1＝2
按3∶1放大后长方形的长为6，长为3，
其面积是：6×3＝18
18÷2＝9
即面积扩大到原来的9倍。
故答案为：D
【点睛】本题考查了图形的放大，图形的放大或缩小是指对应边放大或缩小。
2．B
【分析】先根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出图上距离；再根据作业本的长度确定是否合适。
【详解】120米＝12000厘米，80米＝8000厘米。
A．12000×＝60（厘米），8000×＝40（厘米），图上距离偏大，所以比例尺1∶200不合适。
B．12000×＝6（厘米），8000×＝4（厘米），图上距离合适，所以比例尺1∶2000合适。
C．12000×＝0.6（厘米），8000×＝0.4（厘米），图上距离偏小，所以比例尺1∶20000不合适。
故答案为：B
【点睛】图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位，计算时注意先统一单位。
3．C
【分析】x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。
【详解】A．比的后项×比值＝比的前项，比的前项一定，后项和比值成反比例，选项说法错误。
B．圆的面积÷r＝πr（不定），圆的面积和半径不成比例关系。
C．实际距离×比例尺＝图上距离，图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例，选项说法正确。
D．正方形的面积÷边长＝边长（不定），正方形的边长和面积不成比例关系。
故答案为：C
【点睛】关键是理解正比例和反比例的意义，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。
4．B
【分析】已知比例尺＝图上距离÷实际距离，商不变性质：被除数和除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。据此解答。
【详解】根据分析可知，比例尺一定，实际距离扩大到原来的5倍，则图上距离扩大到原来的5倍。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了比例尺的意义和商不变性质。
5．C
【分析】先确定经过时间，根据速度×时间＝路程，求出小明爸行驶的距离，再看图确定目的地即可。
【详解】11：30－9：00＝2小时30分＝2.5小时
60×2.5＝150（km）
A．小明家到甲城大约200km；
B．小明家到乙城大于50km小于100km；
C．小明家到丙城150km；
D．小明家到丁城大于100km小于150km。
故答案为：C
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。
6．D
【分析】结合比例尺，先计算出实际距离；再根据路程÷速度＝时间，求得到达B地所需时间；最后用8时加上这个时间，就是到达B地的时间。
【详解】12÷＝12×3000000＝36000000（cm）＝360（km）
360÷24＝15（小时）
8时＋15小时＝23（时）
故答案为：D
【点睛】熟练应用图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系，在图上距离与实际距离的转化时，要注意单位的换算。
7．C
【分析】设改用边长0.4m的方砖铺地，需要x块，正方形面积＝边长×边长，根据方砖面积×块数＝客厅面积，列出反比例方程解答即可。
【详解】解：设改用边长0.4m的方砖铺地，需要x块。
0.4×0.4×x＝0.6×0.6×100
0.16x÷0.16＝36÷0.16
x＝225
故答案为：C
【点睛】关键是确定比例关系，积一定是反比例关系。
8．A
【分析】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；则可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；条件“淘气做30个纸鹤比笑笑做24个多用2分钟”可以替换为“笑笑做25个纸鹤比做24个纸鹤多用2分钟”，从而可知，笑笑做一个纸鹤用时2分钟；进而求出淘气做一个纸鹤用时。
【详解】淘气和笑笑每小时折纸鹤的个数比是6∶5，则每分钟折纸鹤的个数比也是6∶5；
6∶5＝30∶25
可知，淘气折30个纸鹤时，笑笑折25个纸鹤；
笑笑做一个纸鹤用时：2÷（25－24）
＝2÷1
＝2（分钟）
25×2÷30＝（分钟）
故答案为：A
【点睛】根据比例转换数量关系，再解答。
9．6∶1
【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。根据比例尺的意义可知，比例尺＝图上距离∶实际距离，把数据代入进去，即可求出这幅图的比例尺。
【详解】3cm∶5mm
＝30mm∶5mm
＝30∶5
＝6∶1
即这幅图的比例尺是6∶1。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握比例尺的意义。
10． 线段 40 1∶4000000
【分析】比例尺的种类：按表现形式分为数值比例尺与线段比例尺，属于线段比例尺，图上1cm表示实际40km，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”可知，改写成数值比例尺。
【详解】1cm∶40km
＝1cm∶4000000cm
＝1∶4000000
这是线段比例尺。图上1cm表示实际40km，改写成数值比例尺1∶4000000。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握比例尺的意义。
11．8.4
【分析】把电线杆的高度设为未知数，同一时刻物体的高度和影子的长度成正比例关系，电线杆的高度∶电线杆影子的长度＝竹竿的高度∶竹竿影子的长度，据此列方程解答。
【详解】解：设电线杆的高度是米。
所以，电线杆的高度是8.4米。
【点睛】本题主要考查正比例的应用，理解同一时刻、同一地点物体的高度与影长成正比例关系是解答题目的关键。
12．28
【分析】设李老师家水费是x元，根据水费∶用水吨数＝每吨水的费用（一定），列出正比例算式求出x的值即可。
【详解】解：设李老师家水费是x元。
x∶8＝42∶12
12x＝8×42
12x÷12＝336÷12
x＝28
【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。
13．3.57
【分析】按照1∶5缩小后，长和宽都变成原来的，先求出缩小后的长和宽，再计算面积，长方形的面积＝长×宽。
【详解】10.5×＝2.1（cm）
8.5×＝1.7（cm）
2.1×1.7＝3.57（cm2）
【点睛】此题考查图形的放大与缩小的应用，掌握长方形的面积公式也是解题的关键。
14．32
【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出原来长方形的周长，各对应边的长度扩大到原来的2倍，长方形的周长也扩大到原来的2倍，现在长方形的周长＝原来长方形的周长×2，据此解答。
【详解】（6＋2）×2×2
＝8×2×2
＝16×2
＝32（米）
所以，得到图形的周长是32米。
【点睛】图形放大到原来的2倍时，各对应边的长度扩大到原来的2倍，周长也扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍，图形的形状不发生变化。
15． 1∶2500000 14.4
【分析】从线段比例尺中可知，图上1厘米相当于实际距离的25千米，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”，求出数值比例尺。
已知实际距离360千米，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求解。
注意单位的换算：1千米＝100000厘米。
【详解】1厘米∶25千米
＝1厘米∶（25×100000）厘米
＝1∶2500000
360千米＝36000000厘米
36000000×＝14.4（厘米）
改写成数值比例尺是1∶2500000；实际距离360千米在这幅地图上需画14.4厘米。
【点睛】本题考查线段比例尺与数值比例尺的互化以及实际距离与图上距离的换算。
16．5.6
【分析】在同一时间、同一地点的树高和影长对应的比值一定，设比较高的树高度是x米，根据比较矮的树高∶矮树的影长＝比较高的树高∶高树的影长，列比例，解答即可。
【详解】解：设比较高的树高度是x米，
4∶5＝x∶7
5x＝4×7
5x＝28
5x÷5＝28÷5
x＝5.6
比较高的树高度是5.6米。
【点睛】本题主要考查了比例的应用，关键是明确同一时间、同一地点的树高和影长对应的比值一定。
17．√
【分析】根据比例尺的意义可知，题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离80千米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，单位换算后代入数据即可求出数值比例尺。
【详解】1厘米∶80千米
＝1厘米∶8000000厘米
＝1∶8000000
改写成数值比例尺是1∶8000000。
故答案为：√
【点睛】此题的解题关键是理解比例尺的意义以及掌握比例尺不同的种类。
18．×
【分析】根据图形放大与缩小的意义，一个面积是6.28cm2的圆形，先利用圆的面积公式求出圆的半径，按2∶1放大后，圆的半径扩大到原来的2倍，求出放大后圆的半径；再根据圆的面积公式即可求出扩大后的面积，看是否与原题相符。
【详解】r2＝6.28÷3.14＝2
圆的半径扩大到原来的2倍，
圆的面积为：3.14×（2r）2
＝3.14×4×r2
＝12.56×2
＝25.12（cm2）
所以原题的答案是错误的。
故答案为：×
【点睛】本题是考查图形的放大与缩小、圆的面积的计算，注意，一个图形扩大或缩小的倍数是指对应边扩大或缩小的倍数。
19．√
【分析】比例尺表示图上距离与实际距离的比，比例尺＝图上距离∶实际距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，把题中数据代入公式计算，据此解答。
【详解】2÷
＝2×1000000
＝2000000（cm）
2000000cm＝20km
所以，在比例尺是1∶1000000的地图上，图上距离2cm，表示实际距离20km。
故答案为：√
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法是解答题目的关键。
20．×
【分析】把一个长方形按3∶1放大，面积按照32∶12放大，据此确定面积扩大到原来的倍数。
【详解】32∶12＝9∶1，把一个长方形按3∶1放大，它的面积就扩大到原来的9倍，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】图形放大或缩小是指对应边放大或缩小。
21．（1）（2）见详解
【分析】（1）把三角形按1∶2缩小，即三角形的每一条边缩小到原来的，原三角形的底和高分别除以2，得出缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的图形。
（2）把平行四边形按2∶1扩大，即平行四边形的每一条边扩大到原来的2倍，原平行四边形的底和高分别乘2，得出扩大后平行四边形的底和高，据此画出扩大后的图形。
【详解】（1）（2）如图：
【点睛】此题主要考查图形的放大与缩小，掌握其作图方法是解答题目的关键。
22．（1）见详解
（2）见详解
【分析】以公园为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准；先根据进率“1米＝100厘米”，把聪聪家与公园、会展中心与公园的实际距离换算单位为“厘米”；然后根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出聪聪家与公园、会展中心与公园的图上距离；最后根据方向、角度和距离在图中标出聪聪家、会展中心的位置。
【详解】（1）2400米＝240000厘米
240000×＝2（厘米）
在公园的北偏东60°方向上画2厘米长的线段，即是聪聪家，如下图。
（2）3000米＝300000厘米
300000×＝2.5（厘米）
在公园的的南偏西30°方向上画2.5厘米长的线段，即是会展中心，如下图。
【点睛】本题考查根据比例尺画图，以及依据方向、角度和距离确定物体的位置的方法。
23．3小时
【分析】从线段比例尺可以看出，图上1厘米代表实际距离60千米，化成数值比例尺，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出甲、乙两城之间的路程，最后根据路程÷速度＝时间，即可求出需要多少小时到达乙城。
【详解】1厘米∶60千米
＝1厘米∶6000000厘米
＝1∶6000000
4.5÷
＝4.5×6000000
＝27000000（厘米）
＝270（千米）
270÷90＝3（小时）
答：要3小时才能到达乙城。
【点睛】此题的解题关键是根据比例尺的意义以及图上距离和实际距离之间的换算，利用路程、速度、时间三者之间的关系，解决问题。
24．甲车的速度是90千米/时；乙车的速度是60千米/时
【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，又因甲车的速度与乙车速度的比是3∶2，分别求出两车的速度分别占速度和的几分之几，再根据乘法的意义，即可得解。
【详解】9÷
＝9×5000000
＝45000000（厘米）
45000000厘米＝450千米
450÷3＝150（千米/时）
150×＝90（千米/时）
150－90＝60（千米/时）
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【点睛】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题、按比例分配的方法。
25．2.5小时
【分析】先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出甲乙两地的路程；再根据“路程÷速度＝时间”求出从甲地飞往乙地需要飞行的时间。
【详解】8÷＝8×20000000＝160000000（厘米）
160000000厘米＝1600千米
1600÷640＝2.5（小时）
答：需要飞行2.5小时。
【点睛】明确比例尺的意义是解决此题的关键。
26．图形见详解；6平方厘米
【分析】4000厘米＝40米，由题可知，图上1厘米代表实际距离40米，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出长和宽的图上距离，最后利用“长方形的面积＝长×宽”求出这个长方形的面积，据此解答。
【详解】
长：120米＝12000厘米
12000×＝3（厘米）
宽：80米＝8000厘米
8000×＝2（厘米）
面积：3×2＝6（平方厘米）
答：长方形面积是6平方厘米。
【点睛】掌握图上距离和实际距离换算的方法并熟记长方形的面积计算公式是解答题目的关键。
27．150吨
【分析】设5000吨海水可以晒出x吨盐，根据海水质量∶盐的质量＝海水质量∶盐的质量，列出比例解答即可。
【详解】解：设5000吨海水可以晒出x吨盐。
5000∶x＝100∶3
100x＝5000×3
100x÷100＝15000÷100
x＝150
答：5000吨海水可以晒出150吨盐。
【点睛】用比例解决问题只要等号两边的比统一即可。
28．32块
【分析】根据题意知道，一间教室的地面的面积一定，一块方砖的面积方砖的块数一间教室的面积（一定），由此判断一块方砖的面积与方砖的块数成反比例，设出未知数，列比例解答即可
【详解】解：设需要块。
答：需要32块。
【点睛】关键是确定比例关系，积一定是反比例关系。
29．8.25吨
【分析】由题意可知，每千克大豆的出油质量不变，则大豆的质量与出油的质量成正比例，现在大豆的质量∶大豆油的质量＝原来大豆的质量∶大豆油的质量，据此解答。
【详解】解：设30吨大豆可以榨油x吨。
30∶x＝20∶5.5
20x＝30×5.5
20x＝165
x＝165÷20
x＝8.25
答：30吨大豆可以榨油8.25吨。
【点睛】本题主要考查应用正比例关系解决实际问题，找出两种相关联的量成正比例关系是解答题目的关键。
30．5万只
【分析】由题意可知，这批口罩的只数是一定的，所以每天生产的只数和时间成反比例，据此列比例解答即可。
【详解】解：设实际每天生产x万只口罩。
20x＝4×25
20x＝100
x＝5
答：实际每天生产5万只口罩。
【点睛】本题考查用比例解决实际问题，明确每天生产的只数和时间成反比例是解题的关键。
31．图形见详解；
（1）（2，5）
（2）1∶4
【分析】（1）一个三角形中其中一个角是90°，这样的三角形就是直角三角形；每个小方格的边长表示1厘米，根据三角形的面积公式：S＝ab÷2，据此画一个底为4厘米，高为2厘米的三角形即可；再根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可；
（2）将原长方形的各边长都缩小到原来的即可；然后根据长方形的面积公式：S＝ab，分别求出缩小前后的面积，进而求出缩小后的图形与原图形的面积比。
【详解】如图所示：
（1）4×2÷4
＝8÷4
＝2（厘米）
以线段AB为一条边，画一个面积为4平方厘米的直角三角形ABC，并用数对表示点C的位置：（2，5）。
（2）6×＝3（厘米）
4×＝2（厘米）
（3×2）∶（6×4）
＝6∶24
＝（6÷6）∶（24÷6）
＝1∶4
画出图中长方形按1∶2缩小后的图形。缩小后的图形与原图形的面积比是1∶4。
【点睛】本题考查图形的放大与缩小，明确缩小的是图形的各个边长是解题的关键。
32．（1）见详解
（2）见详解
（3）56.52
【分析】（1）根据旋转的特征，将长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
（2）长方形ABCD按2∶1放大，即长方形的各边都扩大到原来的2倍，由此得出放大后长方形的长、宽，画出放大后的长方形。
（3）以BC边为轴旋转一周得到一个圆柱，那么BC是圆柱的高，DC是圆柱的底面半径，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出圆柱的体积。
【详解】（1）长方形ABCD绕B点逆时针旋转90°，旋转后的长方形如下图。
（2）放大后的长方形的长：3×2＝6
放大后的长方形的宽：2×2＝4
放大后的长方形如下图。
（3）这个圆柱的体积是：
3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（立方厘米）
【点睛】本题考查作旋转后的图形、作放大后图形的作图方法，以及圆柱体积公式的应用，明确当以长方形的一条边作轴旋转成一个圆柱时，找出圆柱的高、底面半径与长方形的长、宽的关系是求圆柱体积的关键。
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