人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品同步练习题

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第13章《轴对称图形》

13.2 画轴对称图形

知识点1：关于x轴、y轴对称的点的坐标

【典例分析01】（2018秋•东湖区校级期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连OB、OC．

（1）判断△AOG的形状，并予以证明；

（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO．

解：（1）△AOG是等腰三角形；

证明：∵AC∥y轴，

∴∠CAO＝∠AOG，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO＝∠GAO，

∴∠GAO＝∠AOG，

∴AG＝GO，

∴△AOG是等腰三角形；

（2）证明：连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

∵AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，

∴AN＝CK＝BK，

在△ANG和△BKG中，

，

∴△ANG≌△BKG，（AAS）

∴AG＝BG，

∵AG＝OG，（1）中已证，

∴AG＝OG＝BG，

∴∠BOG＝∠OBG，∠OAG＝∠AOG，

∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG＝180°，

∴∠AOG+∠BOG＝90°，

∴AO⊥BO．

【变式训练1-1】．（2021秋•川汇区期末）点A（2，m）向上平移2个单位后与点B（n，﹣1）关于y轴对称，则mn＝（　　）

A．1 B． C． D．

解：点A（2，m）向上平移2个单位后得到点A′（2，m+2），

由于点A′（2，m+2）与点B（n，﹣1）关于y轴对称，

所以n＝﹣2，m+2＝﹣1，

解得m＝﹣3，n＝﹣2，

所以mn＝（﹣3）﹣2＝＝，

故选：D．

【变式训练1-2】（2021秋•西山区期中）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（　　）

A．3＜x＜5 B．x＜3 C．5＜x D．﹣5＜x＜3

解：∵P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，

∴点P（2x﹣6，x﹣5）在第一象限，

∴，

解得：3＜x＜5．

故选：A．

【变式训练1-3】（2019秋•邛崃市期末）在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，若点P的坐标为（﹣2，3），则点N的坐标为（　　）

A．（﹣3，2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）

解：∵点M与点P关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称，

∴点N与点P关于原点对称，

又∵点P的坐标为（﹣2，3），

∴点N的坐标为（2，﹣3），

故选：C．

【变式训练1-4】（2020秋•信宜市期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．

（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．

（2）写出点C1的坐标．

解：（1）如图所示：

（2）点C1的坐标为：（4，3）．

【变式训练1-5】（2017秋•淮安月考）点P（a，a﹣3）在第四象限．

（1）求a的取值范围；

（2）将点P作关于y轴的对称点P1，求P1的坐标；

（3）将点P作关于x轴的对称点，再向右平移3个单位得到P2，求P2的坐标．

解：（1）依题意得：，

解得：0＜a＜3，

（2）因为点P与点P1关于y轴的对称，所以P1的坐标是（﹣a，﹣a+3）；

（3）将点P作关于x轴的对称点得到（a，a﹣3），再向右平移3个单位得到P2的坐标是（a+3，3﹣a）．

【变式训练1-6】（2016秋•金平区校级期中）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．

（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；

（2）若A，B关于y轴对称，求（4a+b）2016的值．

解：（1）∵点A，B关于x轴对称，

∴，

解得；

（2）∵A，B关于y轴对称，

∴，

解得，

所以，（4a+b）2016＝[4×（﹣1）+3]2016＝1．

知识点2：坐标与图形变化-对称

【典例分析02】（2021秋•江夏区期中）如图，点C关于OA，OB的对称点分别为E、F，连EF，分别交OA、OB于G、H，若EF＝9，设△CGH的周长为a（a＞0），则将点P（a，﹣6）向上平移5个单位后的点P′的坐标为 　（9，﹣1）　．

解：∵点C关于OA，OB的对称点分别为E、F，

∴OA是CE的垂直平分线，OB是CF的垂直平分线，

∴GE＝GC，HC＝HF，

∴EF＝EG+G+HF＝GC+GH+HC＝△CGH的周长，

∴a＝9，

∴点P（9，﹣6）向上平移5个单位后的点P′的坐标为（9，﹣1）．

故答案为：（9，﹣1）．

【变式训练2-1】（2021秋•花都区期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，﹣n），其关于y轴对称的点F的坐标（3﹣n，﹣m+1），则（m﹣n）2022的值为（　　）

A．32022 B．﹣1 C．1 D．0

解：∵E（2m，﹣n），F（3﹣n，﹣m+1）关于y轴对称，

∴，

解得，，

∴（m﹣n）2022＝（﹣4+5）2022＝1，

故选：C．

【变式训练2-2】（2021•路北区三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（　　）

A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）

解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，

点A第二次关于x轴对称后在第三象限，

点A第三次关于y轴对称后在第四象限，

点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

∵2021÷4＝505余1，

∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．

故选：C．

【变式训练2-3】（2020秋•太原期末）已知点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）关于某条直线对称，则这条直线是（　　）

A．x轴 

B．y轴 

C．过点（4，0）且垂直于x轴的直线 

D．过点（0，﹣4）且平行于x轴的直线

解：点P（2，﹣4）与点Q（6，﹣4）的位置关系是关于直线x＝4对称，

故选：C．

【变式训练2-4】（2021秋•黄陂区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是 　﹣6≤m≤﹣3　．

解：如图1中，当点B1与A重合时，

∵直线l垂直平分线段AB，

∴PB＝PA，

∵∠ABP＝60°，

∴△APB是等边三角形，

∴PB＝AB，

∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB＝3，

∴∠BAO＝30°，

∴AB＝2OB＝6，

∴PB＝AB＝6，

∴OP＝3，

∴m＝﹣3，

如图2中，当点O1落在直线a上时，同法可证△OPO1是等边三角形，

∵AB∥OO1，OB∥AO1，

∴四边形ABOO1是平行四边形，

∴OO1＝AB＝6，

∴OP＝OO1＝6，

∴m＝﹣6，

观察图象可知，满足条件的m的值为：﹣6≤m≤﹣3，

故答案为：﹣6≤m≤﹣3，

【变式训练2-5】（2019秋•咸丰县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．

（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；

（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．

解：（1）△A2B2C2的三个顶点的坐标分别是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；

（2）如图1，当0＜a＜3时，∵P与P1关于y轴对称，P（﹣a，0），

∴P1（a，0），

又∵P1与P2关于l：直线x＝3对称，

设P2（x，0），可得：＝3，即x＝6﹣a，

∴P2（6﹣a，0），

则PP2＝6﹣a﹣（﹣a）＝6﹣a+a＝6．

【变式训练2-6】（2020秋•武汉期中）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）将△ABC向右平移五个单位，再向下平移四个单位，则平移后点A的对应点的坐标是　（3，﹣1）　．

（2）将△ABC沿x轴翻折，则翻折后点A的对应点的坐标是　（﹣2，﹣3）　．

（3）求点A关于直线y＝x（即第一、第三象限的角平分线）的对称点D的坐标；请画图并说明理由．

解：（1）平移后点A的对应点的横坐标为﹣2+5＝3，纵坐标为3﹣4＝﹣1，故答案为（3，﹣1）；

（2）翻折后点A的对应点的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣3，

故答案为（﹣2，﹣3）；

（3）由图中可以看出点D的坐标为（3，﹣2）．

【变式训练2-7】（2017秋•南昌期中）在平面直角坐标系中，有点A（a，1），点B（﹣2，b）

（1）当A、B两点关于直线x＝1对称时，求△AOB的面积；

（2）当线段AB∥y轴，且AB＝3时，求a﹣b的值．

解：（1）∵A、B关于直线x＝1对称，

∴A、B的纵坐标相同，a﹣1＝1﹣（﹣2）

∴b＝1，a＝4；

即A（4，1）、B（﹣2，1），

∴S△AOB＝×6×1＝3；

（2）当AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，

∴a＝﹣2，

∵AB＝3，

∴|b﹣1|＝3，解得b＝﹣2或b＝4，

∴当a＝﹣2，b＝﹣2时，有a﹣b＝0，

当a＝﹣2，b＝4时，有a﹣b＝﹣6．

知识点3：作图-轴对称变换

【典例分析03】（2020秋•松江区期末）如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出　5　个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．

解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，

在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．

最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称，

故答案为：5．

【变式训练3-1】（2021•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，请在所给的图形中进行操作：

①作点A关于BD的对称点P；

②作射线PC交BD于点Q；

③连接AQ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（　　）

A．∠PCB＝∠AQB B．∠PCB＜∠AQB 

C．∠PCB＞∠AQB D．以上三种情况都有可能

解：如图，

∵A，P关于BD对称，

∴∠AQB＝∠PQB，

∵∠PCB＞∠PQB，

∴∠PCB＞∠AQB，

故选：C．

【变式训练3-2】（2017春•市中区校级期末）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，

∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，

∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；

∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，

由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，

又∵∠EPO＝∠BPA，

∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；

∵△ACE≌△ADB，

∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，

∴BD边上的高与CE边上的高相等，

即点A到∠BOC两边的距离相等，

∴OA平分∠BOC，故③正确；

只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；

在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，

∴BP＜EQ，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③共3个．

故选：B．

【变式训练3-3】（2020秋•仓山区期末）如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（　　）个格点三角形与△ABC成轴对称．

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．

故选：A．

【变式训练3-4】（2021秋•龙山县期末）把图中的图形补成关于直线m对称的图形．（不写作法，保留作图痕迹）

解：如图所示：

【变式训练3-5】（2017春•天桥区期中）如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有　4　种补法．

解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．

．

故答案为：4