数学13.1.1 轴对称精品同步测试题

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专题13.1 轴对称+专题13.2 画轴对称图形

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1.理解轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，弄清他们之间的区别与联系；
2.掌握轴对称的性质，能根据性质解决简单的数学问题或实际问题；
3.理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质与判定；
4.会用尺规作出线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线解决实际问题。
知识精讲

知识点01 轴对称及其性质
【知识点】
轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.
注意：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫对称点
注意：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；
轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
轴对称、轴对称图形的性质
轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【知识拓展1】辨别轴对称图形
例1．（2022·江苏盐城·中考真题）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（       ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；
B、主体建筑的构图不对称，故本选项符合题意；
C、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；
D、主体建筑的构图对称，故本选项不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·海南·八年级期末）2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．

【知识拓展2】生活中的轴对称（镜面、剪纸等）
例2．（2022·河北八年级期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【分析】利用轴对称画图可得答案．
【详解】解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，故选：B．
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．
【即学即练】
1．（2022·江西上饶·八年级期末）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（       ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：故选：A．
【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
2．（2022·浙江温州·一模）某电梯中一面镜子正对楼层显示屏，显示屏中显示的是电梯所在楼层号和电梯运行方向．当电梯中镜子如图显示时，电梯所在楼层号为______．

【答案】15
【分析】根据镜面成像的原理：左右相反，即可得到答案．
【详解】解：由镜面成像的原理可知电梯所在的楼层为15，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了镜面成像，熟知镜面成像的原理是解题的关键．

【知识拓展3】利用轴对称的性质求角度（长度）
例3．（1）（2022·河南·八年级阶段练习）如图，和关于直线AB对称，和关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若，，则的度数为________．

【答案】105°
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，再根据轴对称的性质求得∠DAE和∠EAC，再根据三角形外角的性质可求得∠CFE．
【详解】解：∵，，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=135°，
根据轴对称的性质可知∠BAE=∠DAC=∠BAC=135°，∠DCA=∠ACB=15°，
∴∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360=45°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=90°，
∴．故答案为：105°．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理．掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．
（2）（2022•，绵阳市八年级期末）如图所示，点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为8cm，则CD为 　 　cm．

【分析】由轴对称的性质可知PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN的周长为8cm，即可求得CD的长度．
【解答】解：∵点P关于直线OA、OB的对称点分别为C、D，
∴PM＝CM，PN＝DN，∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN，∴△PMN的周长＝CD，
∵△PMN的周长为8cm，∴CD＝8cm，故答案为：8．
【即学即练】
1.（2022•沙坪坝区校级期中）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝　 　°．

【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案为：72．
2.（2022•深圳模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故选：B．


知识点02 垂直平分线的性质与判定
【知识点】
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
注意：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【知识拓展1】利用垂直平分线求角度（长度）
例1.（1）（2022•成都市高新区八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周长＝2．故选：A．
（2）（2022•绵阳市八年级期中）如图，在△ABC中，点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，若∠BOC＝100°，则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．80°
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得出OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根据四边形的内角和等于360°求出答案即可．
【解答】解：连接OA，

∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，
∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，
∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，
∵点O是边AB和AC的垂直平分线OD、OE的交点，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故选：C．
【即学即练1】
1.（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在已知的中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．14
【答案】D
【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．
【详解】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，
∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，
∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，故选：D．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
2．（2022·天津八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=____（度）．

【答案】50
【分析】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，可知此时最小，此时，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，
∵，∴，
∵，，
∴ ，∴ ．故答案为：50．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．

【知识拓展2】线段的垂直平分线的实际应用
例2．（2022·山西晋中·八年级期中）2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（       ）


A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质进行解答即可．
【详解】解：∵仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，
∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点．故选：B．
【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·山东济南市·八年级期末）如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地．若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）

A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】依题意，对实际问题进行数学模型化处理，需要寻找一个点，到三点的距离相等；结合三角形垂直平分线的性质，即可求解．
【详解】由题，对建立货物中转仓到A、B、C三地距离相等；
进行数学模型转换为：在△ABC中找一点到三点距离相等；
依据三角形垂直平分线的性质，可知，三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个点的距离相等；
∴ 中转仓位于三边垂直平分线的交点；故选A．
【点睛】本题考查三角形垂直平分线、角平分线、高线、中线的性质，重点在掌握实际问题的数学模型化．

【知识拓展3】线段的垂直平分线的判定
例3．（2022.江苏八年级期中）如图，中，边的垂直平分线交于点P．

（1）求证：．（2）点P是否也在边的垂直平分线上？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB，PB=PC，则PA=PB=PC．
（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．
【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．
（2）∵PA=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．
【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【即学即练3】
1．（2022·河南开封·一模）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：


步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；
步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；
步骤3：连接CD，且过A，B作直线
则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．
【答案】线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
【分析】连接BD，AD，根据垂直平分线的判定即可解答；
【详解】解：如图，连接BD，AD，


∵AC=AD，BC=BD，
根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可得：A，B一定在线段CD的垂直平分线上；
故答案为：线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
2．（2022•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝∠BAM，根据角平分线的定义求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．

【知识拓展4】线段的垂直平分线的作图
例4．（2022·广东九年级期末）如图，在中，．

（1）作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用基本作作图，作线段AB的垂直平分线即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠EAB＝∠B＝60°，然后根据三角形外角性质计算∠AEC的度数．
【详解】（1）分别以，为圆心，大于长为半径画弧，交于两点；
作经过以上两点的直线，分别交线段于，交于，直线即为所求．

（2）解：是线段的垂直平分线，，
．．
【点睛】本题考查了作图，基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【即学即练4】
4．（2022·西城区·八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

【答案】BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】解：如图，△AOC即为所求．

故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

知识点03 画轴对称图形
【知识点】
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
关于x（y）轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系：

已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示：
即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示．
即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【知识拓展1】关于x（y）轴对称的点的坐标
例1．（2022·新疆·八年级期末）已知点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，则a+2b＝（       ）
A．-4 B．-1 C．-2 D．4
【答案】B
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出a、b，再代入计算即可．
【详解】解：∵点A(a，2)与点B(3，b)关于x轴对称，所以a=3，b=−2，∴a+2b=3+2×(−2)=-1．故选B．
【点睛】此题主要考查关于x轴对称的点的坐标特点．关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【即学即练1】
1．（2022·贵州·金沙县八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（       ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
【答案】B
【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点是，
∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故选：B．
【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【知识拓展2】轴对称变换作图
例2．（2022·湖北荆门·八年级期中）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：

(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1；并写出B1的坐标；
(2)将△ABC向右平移8个单位，画出平移后的△A1B2C2，并写出B2的坐标；
(3)在（1）、（2）的基础上，写出△AB1C1与△A1B2C2有怎样的位置关系？
(4)在y轴上有一点P，使得PB+PC最小，请画出点P；（用虚线保留画图的痕迹）
(5)在y轴上有一点Q，使得QB－QC最大，请画出点Q．（用虚线保留画图的痕迹）
【答案】(1)作图见解析，B1（3，2）(2)作图见解析，B2（5，2）；
(3)由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；(4)作图见解析(5)作图见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于y轴对称的点，顺次连接，则△AB1C1即为所求，根据坐标系写出点B1（的坐标即可；
（2）将点向右平移8个单位，得到，顺次连接，则△A1B2C2即为所求，根据坐标系写出点B2的坐标即可；
（3）观察图形即可求解．
（4）连接BC1，交y轴于点P，连接BC，根据轴对称的性质可知则点P即为所求
（5）延长BC交y轴于点Q，根据两点之间线段最短可得Q点即为所求
（1）作图见解析，B1（3，2） （2）作图见解析，B2（5，2）；
（3）由图可知△AB1C1与△A1B2C2关于直线x＝4对称；
（4）作图见解析 连接BC1，交y轴于点P，连接BC，
∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1 当B，P，C1三点共线时，PB+PC最小
（5）作图见解析

延长BC交y轴于点Q，∵QB-QC≤BC 当B，C，Q三点共线时，取得最大值
【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，写出点的坐标，轴对称的性质求最值，两点之间线段最短求最值，掌握以上知识是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2022·云南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．

(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ．
(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．
【答案】(1)见解析(2)（1，2）(3)4(4)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△；
（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标
（3）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；
（4）连接C交x轴于点Q，根据两点之间线段最短即可使得QA＋QC最小．
（1）解：如图所示，△即为所求；
；
（2）解：点C关于y轴的对称点的坐标为（1，2）；故答案为：（1，2）；
（3）解：△ABC的面积=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；
（4）解：如图．点Q即为所求．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

【知识拓展3】设计轴对称图案
例3．（2022•武汉模拟）如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（　　）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【分析】根据对称性判断出（2，三）的运动方法，可得结论．
【解答】解：移动（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5种不同的方法，
故一共有4×5＝20（种）不同的方法，故选：D．
【即学即练3】
3．（2022•宛城区期末）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．

【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可．（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段AM即为所求．
（2）如图，点D以及对称轴，如图所示．


能力拓展

考法01 利用轴对称的性质解决折叠（翻折）问题
【典例1】（2022·四川成都·七年级期中）把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝_______．


【答案】
【分析】先利用平行线的性质得到，，再根据折叠的性质得到，所以，接着再利用折叠的性质得到，然后计算即可．
【详解】四边形为长方形，
，，，
方形纸条沿折叠成图①，，
，
长方形沿折叠成图②，，
．故答案为：．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
变式1．（2022·广西防城港·八年级期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若CD//BE，，则的度数是________．

【答案】##30度
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1=∠3=∠4=15°，进而得出∠2=30°．
【详解】解：如图，分别延长EB、DB到F，G，

由于纸带对边平行，∴∠1=∠4=15°，
∵纸带翻折，∴∠3=∠4=15°，∴∠DBF=∠3+∠4=30°，
∵CDBE，∴∠2=∠DBF=30°．故答案为：30°．
【点睛】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．
变式2．（2022·浙江·浦江县第五中学一模）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得，，由∠DCN=45°，可得，则，再求的周长即可．
【详解】如图，

第一次折叠，如图②，
，，，
由折叠的性质，，，
第二次折叠，如图③，，，
，，，
，，，
的周长，故选：A．
【点睛】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．

考法02 线段的垂直平分线的综合运用
【典例2】（2022·石家庄九年级二模）如图，在中，D为BC中点，交的平分线AE于E，于F，交AC的延长线于G．

（1）求证：；（2）若，，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接BE、EC，证明即可；
（2）证明，则，继而求得的长
【详解】（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵，D为BC中点，∴，
∵，，且AE平分，∴，
在和中，，（HL）∴．

（2）解：在和中，，
∴（HL），∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式1．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6．（1）与的数量关系为 ．（2）求的长．（3）分别连接，，，若的周长为16，求的长．

【答案】（1）；（2）6；（3）5．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；（3）先根据垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式可得，由此即可得出答案．
【解析】（1）因为的垂直平分线交于点，所以，故答案为：；
（2）因为是的垂直平分线，是的垂直平分线，所以，，
因为的周长为6，所以，所以；
（3）因为是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，所以，，
因为的周长为16，所以，
所以，所以．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的周长公式等知识点，掌握理解垂直平分线的性质是解题关键．
变式2．（2022•平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，
∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；
（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，
在△MDE和△CAE中，
，
∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．

分层提分

题组A 基础过关练
1．（2022·江苏南通·中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2．（2022·山东威海·中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(     )

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果．
【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示：

由图可得MN是法线，为入射角
因为入射角等于反射角，且关于MN对称由此可得反射角为
所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键．
3．（2022·山东枣庄·八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝5，EC＝2，则BC的长是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝5，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝5，
∴EB＝EA＝5，∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
4.（2022•雁塔区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．140°
【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论．
【解答】解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，
∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故选：B．
5.（2022•惠来县期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“进一步精简乡镇机构和财政供养人员，积极稳妥地调整乡镇建制，有条件的可实行并村”．《中共中央国务院关于积极发展现代农业扎实推进社会主义新农村建设的若干意见》中明确提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”．以上两个政策出台后，山东陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（　　）

A．三条边的垂直平分线的交点处 B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条中线的交点处
【分析】根据性的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，故选：A．
6.（2022•扎兰屯市期末）如果点A（m+2，m﹣1）在x轴上，那么点B（m+3，m﹣2）关于x轴的对称点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（m+2，m﹣1）在x轴上，可求出m的值，进而确定点B的坐标和所在的象限，再根据关于x轴对称的性质得出答案．
【解答】解：∵点A（m+2，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，即m＝1，∴m+3＝4，m﹣2＝﹣1，
∴点B（4，﹣1），∴点B（4，﹣1）在第四象限，
∴点B（4，﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，故选：A．
7．（2022·河南漯河市·）如图，与关于直线对称，下列判断错误的是（　　　）

A． B．直线垂直平分线段 C． D．
【答案】D
【分析】先根据对称的性质求得∠C，然后利用三角内角和定理即可求得；再利两个图形成的性质解答即可．
【详解】解：∵与关于直线对称∴∠C=∠C＇=30°
∴,故A正确；
∵与关于直线对称
∴直线垂直平分线段，，即B、C正确；
的延长线交于一点且该点在对称轴上，故D错误．故选：D．
【点睛】本题考查了两个图形成轴对称的性质，掌握对应边的延长线交于一点且该点在对称轴上是解答本题的关键．
8.（2022•沙坪坝区校级期中）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为　 　．

【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与20：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：05．
故答案为：12：05．
9．（2022·湖北·通山县实验初级中学一模）如图，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是________．


【答案】20°##20度
【分析】由题意根据∠CAB=180°-∠C-∠B和垂直平分线性质，求出∠CAB，∠DAB进而依据∠CAD=∠CAB-∠DAB求出即可．
【详解】解：∵∠C=100°，∠B=30°，
∴∠CAB=180°-∠C-∠B =180°-100°-30°=50°，
由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=50°-30°=20°.故答案为：20°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.（2022•道县期末）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形（阴影）如图摆放，移动标号为①的正方形到空白方格中，使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法有　3　种．

【分析】根据轴对称图形的性质进行作图即可．
【解答】解：如图所示，新图形是一个轴对称图形．

故答案为：3．
11.（2022•沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求证：点Q在PR的垂直平分线上．

【分析】根据全等三角形的判定定理证明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根据线段的垂直平分线的判定证明结论．
【解答】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
，
∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．

12．（2022·云南·三模）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．

（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，
【分析】（1）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，得到，再写出的坐标；
（2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，得到，再写出的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，；

（2）如图所示，．

【点睛】本题考查轴对称图形和点坐标，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法．
13.（2022•碑林区校级期中）在△ABC中，∠C＞∠B、请用尺规作图法，在AB上找一点P，使∠PCB＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法．）

【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求作．
【解答】解：如图，点P即为所求作．


题组B 能力提升练
1．（2022·四川宜宾·八年级期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（       ）

A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2.（2022•石城县模拟）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（　　）

A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．
把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得轴对称图形．共有8种方法．
故选：D．
3．（2022·江西·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（　　）

A．2 B．12 C．5 D．7
【答案】B
【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值．
【详解】解：是线段的垂直平分线，

，关于直线为对称，和重合时，最小，即的周长的最小值，
是线段的垂直平分线，，的最小值，
的最小周长，故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
4．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在△ABC中，点O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是（     ）

A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，利用三角形全等的判定定理和性质可得出，即可得出选项．
【详解】解∵在中，点O是的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB，OF⊥AC，
∴，，故A、B选项成立；
，，，
在△AOD与△AOF中，
，
∴，
同理可得：，
∴，，，
∴，
∴，故D选项成立，
故选：C．
【点睛】题目主要考查角平分线、线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握这些基本性质和定理是解题关键．
5.（2022•锦江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，连接BD，将△BDA沿BD对折得到△BDE，若BE恰好经过点C，则下列结论错误的是（　　）

A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD
C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE
【分析】由折叠的性质直接判断A；由折叠的性质得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，进而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根据直角三角形的两锐角互余即可判断B；根据角的和差判断C；再根据三角形的面积公式判断D．
【解答】解：如图，延长ED交AB于点F，

∵△BDA沿BD对折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，
∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正确，不符合题意；
由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，
∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正确，不符合题意；
∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，
∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，
故C正确，不符合题意；
S△ABD•AB•DF，S△CDE•CE•CD，∴，
故D错误，符合题意；故选：D．
6．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC，始终有AB=AC，DB=DC，请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的____线．

【答案】垂直平分
【分析】根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得出A、D都在线段BC的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出直线AD是线段BC的垂直平分线．
【详解】解：如图，连接、，

∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上，
∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
7．（2022·四川·成都七中阶段练习）如图，在长方形中，点E是边的中点，将长方形沿过点E的直线折叠，使点B落在平面内的点处，其中折痕交边所在直线于点F．若时，则____________．

【答案】70°或110°
【分析】分情况讨论，分别根据折叠的性质求出的大小，再根据平行线的性质得出答案．
【详解】解：如图1所示，

由翻折性质可得：，
∵，∴，∴，
又∵长方形中，∴，如图2所示，
由翻折性质可得：，，
∵，∴，
∴，∴，∴，
又∵长方形中，∴，
综上，为70°或110°，故答案为：70°或110°．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，角的和差计算，正确画出图形分类求解是解题的关键．
8．（2022·河南·一模）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．

【答案】（1，4）；（5,0）
【详解】试题分析：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：
（1）当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；
（2）每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．

考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．跨学科问题；3．点的坐标．
9．（2022·江苏盐城·三模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是______．

【答案】
【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得．
【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为，
∵是两面互相平行的平面镜，∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为，
又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，
∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为，
， ．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
10.（2022•双流区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是　 　．

【分析】连接CP，依据轴对称的性质，即可得到线段P1P2的长等于2CP，依据CP的最小值即可得出线段P1P2的长的最小值．
【解答】解：如图，连接CP，
∵点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2，
∴P1C＝PC＝P2C，
∴线段P1P2的长等于2CP，
如图所示，当CP⊥AB时，CP的长最小，此时线段P1P2的长最小，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴CP4.8，
∴线段P1P2的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．

11.（2022•博白县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．

12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1所示，S同学把一张6×6的正方形网格纸向上再向右对折两次后按图画实线，剪去多余部分只留下阴影部分，然后展开摊平在一个平面内得到了一幅剪纸图案．T同学说：“我不用剪纸，我直接在你的图1②基础上，通过‘逆向还原’的方式依次画出相应的与原图形成轴对称的图形也能得出最后的图案．”画图过程如图2所示．

对于图3中的另一种剪纸方式，请仿照图2中“逆向还原”的方式，在图4①中的正方形网格中画出还原后的图案，并判断它与图2中最后得到的图案是否相同．

答：□相同；□不相同．（在相应的方框内打勾）
【答案】不相同．
【分析】根据轴对称图形的性质即可得结论．
【详解】如图，在图4①中的正方形网格中画出了还原后的图案， 它与图2中最后得到的图案不相同．
故答：不相同．

【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案、剪纸问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质．

题组C 培优拔尖练
1．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，已知，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为（如图所示）．则下列结论：①②的周长等于7③④，其中正确的是（       ）


A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，继而得到，根据题意，据此判断①错误；
由折叠的性质得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判断②；设点D到AB的距离为h，根据三角形面积公式得到，可判断③；设点B到AC的距离为m，根据三角形面积公式得到，可判断④．
【详解】解：沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，




不垂直AB，故①错误；
由折叠的性质可知DC=DE，BE=BC=6


的周长为：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正确；
设点D到AB的距离为h，
，故③正确；
设点B到AC的距离为m，
，故④错误，
故选：Ｂ．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形周长的求法、三角形的面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·湖南娄底·一模）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（       ）

A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动
【答案】B
【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点．
【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称，
∵∠AOC=45，∴∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，

则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确.故选：B.
【点睛】本题主要考察镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质．
3.（2022•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（　　）

A． B． C． D．
【分析】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是．故选：D
4．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）如图，，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当的值最小时，的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点C关于OA的对称点E，作EN⊥OC交OA于点M，此时CM+MN=EM+MN=EN最短，进而根据∠AOB=35°，和直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】解：如图：

作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M，
∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，
根据垂线段最短，EN最短，
∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，
∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，
∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题关键．
5.（2022•荆州）若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
【解答】解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，
在数轴上表示为：，故选：C．
6.（2022•滨州月考）如图，在坐标平面内，依次作点P（﹣3，1）关于直线y＝x的对称点P1，P1关于x轴对称点P2，P2关于y轴对称点P3，P3关于直线y＝x对称点P4，P4关于x轴对称点P5，P5关于y轴对称点P6，…，按照上述变换规律继续作下去，则点P2019的坐标为（　　）

A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）
【分析】根据轴对称的性质分别求出P1，P2，P2，P3；P4，P5，P6的坐标，找出规律即可得出结论．
【解答】解：∵P（﹣3，1），∴点P关于直线y＝x的对称点P1（1，﹣3），
P1关于x轴的对称点P2（1，3），P2关于y轴的对称点P3（﹣1，3），
P3关于直线y＝x的对称点P4（3，﹣1），P4关于x轴的对称点P5（3，1），
P5关于y轴的对称点P6（﹣3，1），∴6个数一循环．
∵当n＝2019时，2019÷6＝336…3，∴P2019（﹣1，3），故选：A．
7．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．


【答案】40°##40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，，
∴，．故答案为：40．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
8.（2022•驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为　 　．

【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ，OB垂直平分PR，则利用线段垂直平分线的性质得QM＝PM＝3cm，RN＝PN＝4cm，然后计算QN，再计算QN+RN即可．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，
∴OA垂直平分PQ，∴QM＝PM＝3cm，
∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴OB垂直平分PR，∴RN＝PN＝4cm，
∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm．故答案为5.5cm．
9.（2022•莲湖区期末）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BE，AD＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，证明△BAD≌△BED，根据全等三角形的性质得到∠BED＝∠BAC＝105°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．
10.（2022•渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为　 　．（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．

11.（2022•贵港期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　 　．
（4）△ABC的面积为 　 　．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△A1B1C1；（2）根据平移的性质即可作出△A2B2C2；
（3）结合（1）（2）可得AC上有一点M（a，b）的横坐标加4，纵坐标互为相反数，即可得对应A2C2上的点M2的坐标．（4）根据网格即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点M2的坐标是（a+4，﹣b）．故答案为：（a+4，﹣b）．
（4）△ABC的面积为：2×41×41×22×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．故答案为：3．
12．（2022·湖北蕲春县·八年级月考）如图1，已知中内部的射线与的外角的平分线相交于点.若.（1）求证：平分；（2）如图2，点是射线上一点，垂直平分于点，于点，连接，若，求.

【答案】（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质进行计算和代换即可.（2）连接，过作垂足为，根据AF是角平分线可得，FG垂直平分BC可得，从而可得，再由，可得，从而可得，即可得.
【详解】（1）证明：设，

平分，，
，，
，，，
又，∴，即平分.
（2）解：连接，过作垂足为，由（1）可知平分，
又∵，，
垂直平分于点，
在与中，，
，∴，
与中，，，
∴，即，
，.
【点睛】本题考查了全等三角形综合，涉及了三角形角平分线性质、线段垂直平分线性质，（1）解答的关键是沟通三角形外角和内角的关系；（2）关键是作辅助线构造全等三角形转化线段和差关系.