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【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练【12.3 角平分线的性质】 讲义
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这是一份【同步讲义】人教版数学八年级上册-提高练【12.3 角平分线的性质】 讲义，文件包含提高练123角平分线的性质原卷版docx、提高练123角平分线的性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第12章《全等三角形》
12.3 角平分线的性质
知识点1：角平分线性质
【典例分析01】（2021八上·西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【思路引导】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
【变式训练1-1】（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
【变式训练1-2】（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【思路引导】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
【变式训练1-3】（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有( )
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【完整解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【思路引导】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
【变式训练1-4】（2021八上·林州期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为
【答案】5
【完整解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN，
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴4•CE＝10，
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为：5.
【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，从而得出CE＝CM+ME＝CM+MN，继而得出CE为CM+MN的最小值，利用三角形的面积求出CE的长即可.
【变式训练1-5】（2021八上·襄汾期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则 ．
【答案】5:4
【完整解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5:4
【思路引导】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用三角形的面积公式可得。
【变式训练1-6】（2021八上·浦东期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ．
【答案】26°
【完整解答】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：26°
【思路引导】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
【变式训练1-7】（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【思路引导】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
知识点2：角平分线判定
【典例分析02】（2020八上·南靖月考）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= .
【答案】150°
【完整解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：150°.
【思路引导】利用角平分线的判定定理可知AD平分∠BAC，由此可求出∠CAD的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠DGF的度数.
【变式训练2-1】（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【完整解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【思路引导】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
【变式训练2-2】（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【思路引导】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
【变式训练2-3】（2021八上·太和月考）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【完整解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【思路引导】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
【变式训练2-4】（2021八上·德保期末）如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1= °.
【答案】33
【完整解答】解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，
∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠1，
∵∠2=57°，
∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°.
故答案为：33.
【思路引导】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得AC平分∠BAD，进而可得∠CAD=∠1，根据直角三角形两锐角互余得出∠2+∠CAD=90°，然后问题可求解.
【变式训练2-5】（2020八上·官渡月考）如图，在 中， ， ，分别以A和B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交AB、AC于点F、D，作 于E.有下面三个结论：①BD平分 ；② ；③ 其中，正确的结论的是
【答案】①②③
【完整解答】解：∵AB=AC， ，
∴∠ABC=∠C=72°，
由题意可得MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，DF⊥AB，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
∵DE⊥BC，
∴DF=DE，故②正确；
∴∠BDC=2∠A=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴BD=BC=AD，
∴AC=AD+DC=BC+CD=AB，
∴ ，故③正确；
∴正确的结论为①②③；
故答案为①②③.
【思路引导】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可得∠ABC=∠C=72°，根据垂直平分线的性质，可得AD=BD，DF⊥AB，从而得出∠A=∠ABD=36°，即得∠DBC=36°，继而得出∠ABD=∠DBC，即得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质可得DF=DE，据此判断①②；根据三角形的外角性质，可得∠BDC=2∠A=72°，即得∠BDC=∠C，利用等角对等边，可得BD=BC=AD，由AC=AD+DC
=BC+CD=AB，据此判断③.
【变式训练2-6】（2020八上·靖江期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 .
【答案】130°
【完整解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【思路引导】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【变式训练2-7】（2020八上·抚顺月考）如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
【答案】证明：过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M.
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
∵AN⊥BC，AM⊥CD
∴∠ANB=∠AMD=90°
又∵AB=AD
∴△ABN≌△ADM
∴AN=AM
∴点A在∠BCD的平分线上，
即CA平分∠BCD.
【思路引导】过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M，由垂直的定义得∠ANB=∠AMD=90°，根据同角的补角相等得出 ∠1=∠3 ，进而利用AAS判断出△ABN≌△ADM，根据全等三角形的对应边相等得出AN=AM，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论.
【变式训练2-8】在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【思路引导】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。
知识点3：作图—角的平分线
【典例分析03】（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
【变式训练3-1】（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
【变式训练3-2】（2021八上·宽城期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A，根据作图可知，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
B.根据作图，是的角平分线，不能判定△ACD为等腰三角形，符合题意；
C.根据作图可知，点在的垂直平分线上，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
D.根据作图可知，则，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】A，根据作图可知，根据等腰三角形的判定即证；
B、根据作图痕迹可得平分，判定△ACD为等腰三角形；
C、根据作图痕迹可得点在的垂直平分线上，可得，根据等腰三角形的判定即证；
D、根据作图痕迹可得，根据等腰三角形的判定即证.
【变式训练3-3】（2021八上·哈巴河期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；正确的个数是 个.
【答案】3
【完整解答】解：①根据角平分线的作法可得AD是∠BAC的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确.
故答案为：3.
【思路引导】根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确.
【变式训练3-4】（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
【答案】100°
【完整解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【思路引导】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
【变式训练3-5】（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【完整解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【思路引导】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
【变式训练3-6】（2021八上·天河期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
【答案】（1）解：如图，线段DE，AE即为所求．
（2）证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，
由（1）知∠HDE＝∠CDE，
在HDE与CDE中，
DH=CD∠HDE=∠CDEDE=DE ，
∴HDE≌CDE（SAS），
∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，
∴∠AHE＝180°－∠DHE＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AHE＝∠B＝90°，
∵AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，
∴AH＝AB，
在RtAEG和RtAEB中，
AH=ABAE=AE，
∴RtAEH≌RtAEB（HL），
∴∠AEH＝∠AEB，
∵∠DEG＋∠AEG＋∠DEC＋∠AEB＝180°，
∴2(∠DEG＋∠AEG)＝180°，
∴∠DEG＋∠AEG＝90°，
即∠AED＝90°，
∴AE⊥DE．
【思路引导】(1)、根据尺规作图步骤作角平分线。（2）、 在DA上截取DH＝CD，连接HE，证明HDE≌CDE（SAS），得出∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，再得出AH＝AB ，根据HL证明 RtAEH≌RtAEB ，最后证明 AE⊥DE 。
2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第12章《全等三角形》
12.3 角平分线的性质
知识点1：角平分线性质
【典例分析01】（2021八上·西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，
平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【思路引导】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
【变式训练1-1】（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
【变式训练1-2】（2021八上·嵩县期末）如图， 是 的角平分线， 于点E， ， ， ，则 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【完整解答】解：如图，过点D作 DF⊥AC ，
， AD是△ABC 的角平分线，
， ，
即
解得
故答案为：C.
【思路引导】过点D作DF⊥AC于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出DF的长，再利用可求出AC的长.
【变式训练1-3】（2021八上·淳安期末）下列语句中是命题的有( )
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A＇； ③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【完整解答】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，此命题是真命题；
②作点A关于直线l的对称点A＇，它不是命题；
③三边对应相等的两个三角形全等吗？它不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题；
∴是真命题的只有2个.
故答案为：B.
【思路引导】利用命题是判断一件事情的语句，可知②③不是命题；再利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，可对①④作出判断.
【变式训练1-4】（2021八上·林州期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为
【答案】5
【完整解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N.
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∴CE＝CM+ME＝CM+MN，
∴CE为CM+MN的最小值.
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴4•CE＝10，
∴CE.
即CM+MN的最小值为5.
故答案为：5.
【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，由角平分线的性质可得MN＝ME，从而得出CE＝CM+ME＝CM+MN，继而得出CE为CM+MN的最小值，利用三角形的面积求出CE的长即可.
【变式训练1-5】（2021八上·襄汾期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则 ．
【答案】5:4
【完整解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5:4
【思路引导】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，再利用三角形的面积公式可得。
【变式训练1-6】（2021八上·浦东期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则 ．
【答案】26°
【完整解答】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：26°
【思路引导】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
【变式训练1-7】（2019八上·越秀期中）如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°- ∠B．
（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【思路引导】（1）由角平分线的性质可知 ∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA ，利用三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA =90°- ∠B，利用三角形的外角可得∠EFA=∠FAC+∠FCA，即得证。
（2）求证线段相等，很容易想到构造全等三角形进行证明，利用角平分线的性质能找出FG=FH=FM，结合（1）中已证易得∠EFH=∠DFG，再利用AAS定理即可证明。
知识点2：角平分线判定
【典例分析02】（2020八上·南靖月考）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= .
【答案】150°
【完整解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD= ∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
故答案为：150°.
【思路引导】利用角平分线的判定定理可知AD平分∠BAC，由此可求出∠CAD的度数，然后利用三角形外角的性质可求出∠DGF的度数.
【变式训练2-1】（2021八上·江油期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝25，则CD的长为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【完整解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴DE=CD，
∵S△ABD＝AB×DE=25，
∴DE=2.5，
∴CD=DE=2.5.
故答案为：C.
【思路引导】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质求出DE=CD，然后根据三角形面积公式求出DE长，则可解答.
【变式训练2-2】（2021八上·惠民月考）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①符合题意；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②符合题意；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③符合题意；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④符合题意，
故答案为：D．
【思路引导】①过点P作PD⊥AC于D，由角平分线的性质可得PM＝PN＝PD，根据角平分线的判定即证CP平分∠ACF，故正确；②证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），可得∠APM＝∠APD，同理Rt△PCD≌Rt△PCN
（HL），可得∠CPD＝∠CPN，即得∠MPN＝2∠APC，由四边形内角和求出∠ABC+2∠APC＝180°，故正确；③利用角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，从而得出∠ACB＝2∠APB，故正确；④利用全等三角形的性质可得S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，据此判断即可.
【变式训练2-3】（2021八上·太和月考）已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【完整解答】解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ=FW，
同理FW=FY，
∴FZ=FY．
∵FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ=∠FCY，
∵∠AFB=40°，
∴∠ACB=80°，
∴∠ZCY=100°，
∴∠BCF=50°．
故答案为：B．
【思路引导】作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，根据角平分线的性质可得FZ=FW=FY，根据角平分线的判定可得∠FCZ=∠FCY，据此即可求出结论.
【变式训练2-4】（2021八上·德保期末）如图，已知∠B=∠D=90°，CB=CD，∠2=57°，则∠1= °.
【答案】33
【完整解答】解：∵∠B=∠D=90°，CD=CB，
∴AC平分∠BAD，∠2+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠1，
∵∠2=57°，
∴∠1=∠CAD=90°-57°=33°.
故答案为：33.
【思路引导】根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得AC平分∠BAD，进而可得∠CAD=∠1，根据直角三角形两锐角互余得出∠2+∠CAD=90°，然后问题可求解.
【变式训练2-5】（2020八上·官渡月考）如图，在 中， ， ，分别以A和B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN分别交AB、AC于点F、D，作 于E.有下面三个结论：①BD平分 ；② ；③ 其中，正确的结论的是
【答案】①②③
【完整解答】解：∵AB=AC， ，
∴∠ABC=∠C=72°，
由题意可得MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，DF⊥AB，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC，故①正确；
∵DE⊥BC，
∴DF=DE，故②正确；
∴∠BDC=2∠A=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴BD=BC=AD，
∴AC=AD+DC=BC+CD=AB，
∴ ，故③正确；
∴正确的结论为①②③；
故答案为①②③.
【思路引导】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可得∠ABC=∠C=72°，根据垂直平分线的性质，可得AD=BD，DF⊥AB，从而得出∠A=∠ABD=36°，即得∠DBC=36°，继而得出∠ABD=∠DBC，即得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质可得DF=DE，据此判断①②；根据三角形的外角性质，可得∠BDC=2∠A=72°，即得∠BDC=∠C，利用等角对等边，可得BD=BC=AD，由AC=AD+DC
=BC+CD=AB，据此判断③.
【变式训练2-6】（2020八上·靖江期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 .
【答案】130°
【完整解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°.
故答案为：130°.
【思路引导】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
【变式训练2-7】（2020八上·抚顺月考）如图，四边形ABCD中AD=AB，∠DAB+∠BCD=180°，求证：CA平分∠DCB
【答案】证明：过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M.
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
∵AN⊥BC，AM⊥CD
∴∠ANB=∠AMD=90°
又∵AB=AD
∴△ABN≌△ADM
∴AN=AM
∴点A在∠BCD的平分线上，
即CA平分∠BCD.
【思路引导】过点A分别作AN⊥BC，AM⊥CD，垂足为N、M，由垂直的定义得∠ANB=∠AMD=90°，根据同角的补角相等得出 ∠1=∠3 ，进而利用AAS判断出△ABN≌△ADM，根据全等三角形的对应边相等得出AN=AM，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论.
【变式训练2-8】在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【思路引导】本题作出DN⊥AE、DM⊥AC，先利用角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DF=DM=DN，再利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可得DE平分且等于45°，同时利用等腰三角形两底角相等的性质借助三角形内角和又得∠DCF=15°，最后根据三角形外角性质即可求出结果。
知识点3：作图—角的平分线
【典例分析03】（2021八上·嵩县期末）已知点P在 ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：满足PA＝PC，则点P在线段AC的垂直平分线上
A、由作图痕迹可得，P在线段BC的垂直平分线上，不符合题意；
B、由作图痕迹可得，P在线段AC的垂直平分线上，符合题意；
C、由作图痕迹可得，P在∠BAC的角平分线上，不符合题意；
D、由作图痕迹可得，AP⊥BC，不在线段AC的垂直平分线上，不符合题意.
故答案为：B.
【思路引导】要使PA=PC，则点P在线段AC的垂直平分线上，观察各选项中的作图，可得答案.
【变式训练3-1】（2021八上·淳安期末）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【完整解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【思路引导】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
【变式训练3-2】（2021八上·宽城期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A，根据作图可知，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
B.根据作图，是的角平分线，不能判定△ACD为等腰三角形，符合题意；
C.根据作图可知，点在的垂直平分线上，，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
D.根据作图可知，则，△ACD为等腰三角形，不符合题意；
故答案为：B
【思路引导】A，根据作图可知，根据等腰三角形的判定即证；
B、根据作图痕迹可得平分，判定△ACD为等腰三角形；
C、根据作图痕迹可得点在的垂直平分线上，可得，根据等腰三角形的判定即证；
D、根据作图痕迹可得，根据等腰三角形的判定即证.
【变式训练3-3】（2021八上·哈巴河期末）如图，在 中， ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧分别交 、 于点 和 ，再分别以 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 并延长交 于点 ，则下列说法① 是 的平分线；② ；③点 在 的中垂线上；正确的个数是 个.
【答案】3
【完整解答】解：①根据角平分线的作法可得AD是∠BAC的平分线，说法①正确；
②∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正确；
③∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确.
故答案为：3.
【思路引导】根据角平分线的作法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC=60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确.
【变式训练3-4】（2021八上·抚顺期末）如图，在△ABC中，∠C=30°，∠B=50°，AD平分∠CAB，那么∠ADC的度数是
【答案】100°
【完整解答】解：∵在 △ABC中，∠C=30°，∠B=50°
∴∠CAB=100°
∵AD平分 ∠CAB
∴∠CAD=∠DAB=50°
在 △ACD中，∠C=30°，∠CAD=50°
∴∠ADC=100°
【思路引导】用三角形内角和为180°可得出∠CAB=100°，AD平分 ∠CAB，得出∠CAD=50° ，△ACD内角和为180°，得出∠ADC=100°
【变式训练3-5】（2020八上·于都期末）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：
①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线
【完整解答】解：由作法得OD=OE，DC=EC，
而OC为公共边，
∴△OCD≌△OCE，
∴∠DOC=∠EOC，
即射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为“SSS”，全等三角形的对应角相等，两点确定一条直线．
【思路引导】根据全等三角形的判定方法和性质进行作答即可。
【变式训练3-6】（2021八上·天河期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
【答案】（1）解：如图，线段DE，AE即为所求．
（2）证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，
由（1）知∠HDE＝∠CDE，
在HDE与CDE中，
DH=CD∠HDE=∠CDEDE=DE ，
∴HDE≌CDE（SAS），
∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，
∴∠AHE＝180°－∠DHE＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AHE＝∠B＝90°，
∵AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，
∴AH＝AB，
在RtAEG和RtAEB中，
AH=ABAE=AE，
∴RtAEH≌RtAEB（HL），
∴∠AEH＝∠AEB，
∵∠DEG＋∠AEG＋∠DEC＋∠AEB＝180°，
∴2(∠DEG＋∠AEG)＝180°，
∴∠DEG＋∠AEG＝90°，
即∠AED＝90°，
∴AE⊥DE．
【思路引导】(1)、根据尺规作图步骤作角平分线。（2）、 在DA上截取DH＝CD，连接HE，证明HDE≌CDE（SAS），得出∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，再得出AH＝AB ，根据HL证明 RtAEH≌RtAEB ，最后证明 AE⊥DE 。
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