初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品测试题

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第13章《轴对称图形》

13.1 轴对称

知识点1：线段垂直平分线的性质

【典例分析01】（2021秋•任丘市期末）如图，△ABC的边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，BC＝5cm，AC＝3cm，则△ADC的周长是 　8　cm．

解：∵AB的垂直平分AB，

∴AE＝BE，BD＝AD，

∴△ADC的周长＝BC+AC＝5+3＝8（cm），

故答案为：8．

【变式训练1-1】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若BE平分∠ABC，且∠A＝60°，则∠CED的度数为（　　）

A．60° B．55° C．50° D．45°

解：∵DE是BC的垂直平分线，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠C，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABE，

∴∠EBC＝∠C＝∠ABE，

∴∠A+3∠C＝180°，

∵∠A＝60°，

∴∠C＝40°，

∴∠CED＝90°﹣∠C＝50°，

故选：C．

【变式训练1-2】（2022春•郑州期末）如图，小艳用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片，关于这个支起的这个位置，以下说法正确的是（　　）

A．三角形的三条高的交点 

B．三角形的三条角平分线的交点 

C．三角形的三条中线的交点 

D．三角形三边的垂直平分线的交点

解：小艳用铅笔支起这张质地均匀的三角形卡片，这个点是三条中线的交点，即这个三角形的重心，

故选：C．

【变式训练1-3】（2022春•未央区期末）如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，则∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为 　32°　．

解：∵直线l为BC的中垂线，

∴PB＝PC，

∴∠PBC＝∠PCB，

∵直线m为∠ABC的角平分线，

∴∠ABP＝∠PBC，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，

∵∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，

∴3∠ABP+∠BAC+∠ACP＝180°，

∴3∠ABP+60°+24°＝180°，

∴∠ABP＝32°，

故答案为：32°．

【变式训练1-4】（2021秋•新抚区期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，点D是AC边的中点，DE⊥AC交AB于点E，连接CE．

（1）求∠A的度数；

（2）求证：BE＝2AE．

（1）解：设∠A的度数为x，则∠ACB＝4∠A＝4x，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠A＝x，

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，

∴x+x+4x＝180°，

解得：x＝30°，

∴∠A＝30°，

答：∠A的度数是30°；

（2）证明：∵点D是AC边的中点，DE⊥AC，

∴AE＝CE

∴∠ECA＝∠A＝30°

又∠ACB＝4∠A＝120°，

∴∠BCE＝90°，

又∵∠B＝30°

∴BE＝2CE，

∴BE＝2AE．

【变式训练1-5】．（2021秋•东莞市校级期末）如图，在△ACD中，BD垂直平分线段AC，过点A作BC∥AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：

（1）AC平分∠EAF；

（2）∠FAD＝∠E．

证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，

∴BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵BC∥AF，

∴∠CAF＝∠BCA，

∴∠CAF＝∠BAC，

即AC平分∠EAF；

（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，

∴DA＝DC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∵∠DCA是△ACE的一个外角，

∴∠DCA＝∠E+∠EAC，

∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，

∵∠CAF＝∠EAC，

∴∠FAD＝∠E．

知识点2：生活中的轴对称现象

【典例分析02】（2020•薛城区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与AB边的碰撞次数是　673　．

解：如图以AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，

∵2020÷6＝336…4，

当点P第2020次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），

∴它与AB边的碰撞次数是＝336×2+1＝673（次），

故答案为：673．

【变式训练2-1】（2019秋•射阳县期末）如图，弹性小球从P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则P2020的坐标是（　　）

A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）

解：由题意得，点P1的坐标为（5，3），

点P2的坐标为（3，5），

点P3的坐标为（0，2），

点P4的坐标为（2，0），

点P5的坐标为（5，3），

2020÷4＝505，

∴P2020的坐标为（2，0），

故选：D．

【变式训练2-2】（2018秋•潜山市期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　）

A．65° B．75° C．55° D．85°

解：∵由题意可得：∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，

∴∠2＝65°，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝65°．

故选：A．

【变式训练2-3】（2020秋•句容市期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是　D　点．

解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，

则4个点中，可以瞄准的是：D．

故答案为：D．

【变式训练2-4】（2019秋•西城区校级期中）如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．

（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；

（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．

解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．

（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．

知识点3：轴对称的性质

【典例分析03】（2022•馆陶县三模）如图，点P在锐角∠AOB的内部，连接OP，OP＝3，点P关于OA、OB所在直线的对称点分别是P1、P2，则P1、P2两点之间的距离可能是（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5

解：连接OP1，OP2，P1P2，

∵点P关于OA、OB所在直线的对称点分别是P1、P2，

∴OP1＝OP＝3，OP＝OP2＝3，

∵OP1+OP2＞P1P2，

0＜P1P2＜6，

故选：D．

【变式训练3-1】（2021秋•香坊区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADE关于直线AD对称，点B的对称点是点E，则∠CAE的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

解：∵∠B＝50°，∠ABC＝90°，

∴∠C＝90°﹣50°＝40°，

∵AD⊥BC，△ADB与△ADE关于直线AD对称，

∴∠AED＝∠B＝50°，

∵∠AED＝∠C+∠CAE，

∴∠CAE＝50°﹣40°＝10°，

故选：A．

【变式训练3-2】（2021秋•望城区期末）如图，△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，CD与AE交于点F，若∠ABC＝32°，∠ACB＝18°，则∠CFE的度数为 　118°　．

解：∵△ABC和△ABE关于直线AB对称，△ABC和△ADC关于直线AC对称，

∴∠DCA＝∠ACB＝18°，∠BAC＝∠BAE，

∵∠ABC＝32°，

∴∠BAC＝180°﹣18°﹣32°＝130°＝∠BAE，

∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣130°﹣130°＝100°，

∴∠CFE＝∠ACD+∠EAC＝18°+100°＝118°，

故答案为：118°．

【变式训练3-3】（2021秋•临海市期末）如图，在△ABC中，点P为AB和BC垂直平分线的交点，点Q与点P关于AC对称，连接PC，PQ，CQ．若△PCQ中有一个角是50°，则∠B＝　50或65　度．

解：连接AP、BP，如图：

∵点P为AB和BC垂直平分线的交点，

∴PA＝PB＝PC，

∴∠PAB＝∠PBA，∠PBC＝∠PCB，∠PAC＝∠PCA，

∵点Q与点P关于AC对称，

∴PC＝QC，∠PCA＝∠QCA，

∴∠CPQ＝∠CQP，

①当∠CPQ＝∠CQP＝50°时，∠PCQ＝80°，

∴∠PCA＝40°，

∴∠PAC＝40°，

∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝100°，

∴2∠ABP+2∠PBC＝100°，

∴∠ABP+∠PBC＝50°，即∠ABC＝50°，

②当∠PCQ＝50°时，∠PCA＝25°，

∴∠PAC＝25°，

∴∠PAB+∠PBA+∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠PAC﹣∠PCA＝130°，

∴2∠ABP+2∠PBC＝130°，

∴∠ABP+∠PBC＝65°，即∠ABC＝65°，

综上所述，∠ABC为50°或65°，

故答案为：50或65．

【变式训练3-4】（2021秋•滦州市期末）如图所示，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，则△PMN的周长为 　8　．

解：连接P2O、P1O，如图：

∵点P关于OA，OB的对称点为P1，P2，

∴∠PON＝∠P2ON，∠POM＝∠P1OM，OP2＝OP＝8＝OP1，P2N＝PN，P1M＝PM，

∴∠P2ON+∠P1OM＝∠PON+∠POM＝∠MON＝30°，

∴∠P2OP1＝（∠P2ON+∠P1OM）+∠MON＝30°+30°＝60°，

∴△P2OP1是等边三角形，

∴P2P1＝OP2＝OP1＝8，

∴△PMN的周长为PN+MN+PM＝P2N+MN+P1M＝P2P1＝8，

故答案为：8．

【变式训练3-5】（2021秋•韩城市期中）如图，四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，若AC＝5，DB＝7，求四边形ABDC的周长．

解：∵四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，

∴△ACD≌△ABD，

∴AC＝AB＝5，CD＝BD＝7，

∴四边形ABDC的周长＝2×5+2×7＝24．

【变式训练3-6】（2016秋•蒙阴县期末）如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC＝AB．

证明：如图，连接BC

∵CD⊥AB于D，D是AB的中点，即CD垂直平分AB，

∴AC＝BC（中垂线的性质），

∵E为AC中点，BE⊥AC，

∴BC＝AB（中垂线的性质），

∴AC＝AB．

知识点4：轴对称图形

【典例分析04】（2021春•甘孜州期末）如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有　3　个．

解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形为：

故答案为：3．

【变式训练4-1】（2022春•新郑市期末）下列图形中，其中一个三角形是通过轴对称得到另一个三角形的是（　　）

A． B． C． D．

解：观察答案可知，A、B中的两个图形可以通过旋转得到，D中的两个图形可以通过平移得到，只有C可以通过对称得到．

故选：C．

【变式训练4-2】（2021秋•余杭区期中）下列图形不一定是轴对称图形的是（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．线段 D．圆

解：A．直角三角形不一定是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．等腰三角形一定是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．线段一定是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．圆一定是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

【变式训练4-3】（2020秋•永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 　4　种补法．

解：如图所示：

故共有4种补法．

故答案为：4．

【变式训练4-4】（2021秋•香洲区期中）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 　5　个．

解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，

故答案为：5．

知识点5：镜面对称

【典例分析05】（2021秋•宜兴市校级月考）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为（　　）实际时间最接近9：00．

A． B． 

C． D．

解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，故应该在B和D选项中选择，B更接近9点．

故选：B．

【变式训练5-1】（2021秋•赞皇县期中）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（　　）

A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15

解：∵镜面所成的像为反像，

∴此时电子表的实际读数是10：21．

故选：C．

【变式训练5-2】（2021秋•谢家集区期中）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后的时钟如图，则这时的实际时间是 　1：30　．（按12小时制填写）

解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与1：30成轴对称，所以此时实际时刻为1：30．

故答案为：1：30．

【变式训练5-3】（2021秋•庄浪县期中）小明从平面镜子中看到电子钟示数如图所示，这时的时刻应是 　16：25：08　．

解：∵是从镜子中看，

∴对称轴为竖直方向的直线，

∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，

∴这时的时刻应是16：25：08．

故答案为：16：25：08．

【变式训练5-4】今天是2003年9月1日，小明拿起一盒牛奶刚要喝，妈妈说：“儿子，牛奶保质期过了，别喝了”，小明从镜子里看到保质期的数字是，牛奶真的过期了吗？为什么？

解：|20030824，

∴实际的保质期应是20030824，故牛奶已经过期