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初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数3 一次函数的图象优秀测试题
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数3 一次函数的图象优秀测试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题4.3.2 一次函数的图象和性质（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．若直线y=ax+b不经过第三象限，则下列不等式中，总成立的是 ( )
A．b﹥0 B．b－a﹤0 C．b－a﹥0 D．a＋b﹥0
2．已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．－1＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a≥1或a≤－1
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．3 B．4.5 C． D．
5．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
6．把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与直线交点的横坐标为5，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
二、填空题
11．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为_______．
12．已知一次函数y=kx+2k+3的图象不经过第三象限，则k的取值范围是________.
13．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是__．
14．直线y＝kx﹣2与直线y＝x﹣1（1≤x≤4）有交点，则k的取值范围是_____．
15．将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到的直线l对应的一次函数的表达式为_____．
16．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，且过点，则_________（用含的代数式表示）；的取值范围是_________.
17．如图在平面直角坐标系中，直线的图像分别与y轴和x轴交于点A，点B．定点P的坐标为，点Q是y轴上任意一点，则的最小值为__________．
18．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为__________．
三、解答题
19．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）画出该一次函数的图象；
（3）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？
（4）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知一次函数．
（1）m为何值时，图象经过原点？
（2）将该一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数解析式．
21．已知一次函数．
（1）当时，这个函数的函数值随的增大而增大还是随的增大而减小呢？
（2）当这个函数的图象与直线平行时，求的值．
22．如图，直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B．
（1）求点A、B的坐标．
（2）以线段AB为直角边作等腰直角△ABC，点C在第一象限内，∠BAC＝90°，求点C的坐标．（写出解答过程）
（3）在（2）的条件下，若以Q、A、B为顶点的三角形和△ABC全等（点Q不与点C重合），则点Q的坐标为______．
23．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为．
（1）求、的值．
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点恰好落在直线上，求的面积．
24．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
参考答案
1．C
解：根据题意，可由y=ax+b不经过第三象限可知a＜0，b≥0，因此可知b-a＞0.
故选C.
2．B
解：由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，难度不大，关键是根据a+bc=b+ca=c+ab=p列出方程，然后讨论求解．
3．C
解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，①a＞0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；
②a＜0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜-1；
故选：C．
4．B
解：将A、B、C的横坐标代入到一次函数中；
解得A（-1，b+3），B（1，b-3），C（2，b-6）．
由一次函数的性质可知，三个阴影部分三角形全等，底边长为2-1=1，高为（b-3）-（b-6）=3，
可求得阴影部分面积为：S=×1×3×3=4.5.
故选B．
5．D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
解：∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
【点拨】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
6．A
【分析】根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案.
解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
7．B
【分析】先根据题意找到交点，再观察图象即可得出.
解：根据题意可知：一次函数的图象与直线交点的坐标为：（5,1）
观察图象可知：在交点右侧，一次函数的图象在直线的上方，即，即，所以当时，，
故选B
【点拨】本题考查了利用函数图象之间的交点，比较函数大小；稍有难度，找到交点，分析图象是解答本题的关键.
8．B
【分析】利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大小关系即可.
解：将点D代入中，得2k+4=-1，
∴，
∴，
∵<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点，，，且，
∴，
故选：B.
【点拨】此题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的增减性，能正确根据k判断增减性是解题的关键.
9．A
【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
10．A
【分析】作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故选A．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
11．（﹣1，﹣2）．
【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
解：由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0，
令，
解得，
故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）
【点拨】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标．
12．≤k≤0
解：试题分析：根据一次函数的图像与性质，可知k＜0，且2k+3≥0，解得≤k＜0.
点睛：此题主要考查了一次函数系数与经过的象限的关系，解题关键是根据经过的象限判断系数的取值.
13．a＞﹣1
解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，
方程|x|=ax+1有一个负根，
但没有正根，由图象可知
a≥1
【点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．
14．≤k≤2
【分析】先得出与y轴的交点为，再在直角坐标系中，画出的图象（见解析），分析可知直线经过A、B两点时，可得出k的两个临界值.
解：与y轴的交点为
的两个端点坐标为
从图中可看出：当经过点A时，k值最大；经过点B时，k值最小
将代入得，解得
将代入得，解得
则所求的k的取值范围是.
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，画图解答这类题会更加直观，易于求解，图形结合题也是近年来的常考点.
15．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律即可作答．
解：将直线先向上平移2个单位后得到直线，再向右平移2个单位后得到直线，即直线l对应的一次函数的表达式为．
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
16．
【分析】若一次函数的图像经过第一、二、四象限，可知，再根据函数过点，将该点代入一次函数解析式，得出k与b的关系式，最后再利用，求出k的取值范围．
解：∵，过点
∴
∴
又∵一次函数图像过第一、二、四象限 ,
∴
即
解得：
【点拨】本题考察一元一次函数的性质，考察不等式组的解法．
17．
【分析】以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，根据直角三角形的性质得出即为最小值，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长即可．
解：如图，以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，
∵，
∴，
∵此时，
则即为的最小值．
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
解得，
∵直线的图象分别与y轴和x轴交于点A，点B，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，
则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理，最短路径问题，以及一次函数与坐标轴的交点等，正确得出最短路径是解题关键．
18．
【分析】依据直线l：y=x，A（1，0），AB⊥x轴，即可得到AB=1，即∠ABO=45°，即可求出OA1=1+1=2，求得A1点坐标，继而找出A坐标规律变换规律为Bn（2n，0）即可解答．
解：∵直线l：y=x，A（1，0），AB⊥x轴，
∴AB=1，即∠ABO=45°，
又∵A1B⊥OB，
∴∠BA1O=45°，
∴AA1=AB=1，OA1=1+1=2，
∴A（1，0）即A（20，0），A1（21，0）
又∵A1B1⊥x轴，
∴A1B1=2，∠BA2O=45°，
∴A2（4，0）即A2（22，0）
可归纳：An(2n，0)
故答案为：(2n，0)．
【点拨】本题主要考查了点的坐标变化规律、正比例函数图像上点的坐标特点等知识点，确定点的坐标求线段的长度是解答本题的关键．
19．（1）y＝3x﹣2；（2）图象见解析；（3）（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；（4）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用两点法画出直线即可；
（3）把x＝﹣5代入解析式，即可判断；
（4）求得直线与坐标轴的交点，即可求得．
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b
∵一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点
∴，
解得：
∴一次函数的表达式为y＝3x﹣2；
（2）描出A、B点，作出一次函数的图象如图：
（3）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
将x＝﹣5代入此函数表达式中得，y＝3×（﹣5）﹣2＝﹣17≠﹣4
∴（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；
（4）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则3x﹣2＝0，
∴x＝，
∴该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×2×＝．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（1）m=4；（2）y=5x-5.
【分析】（1）依据一次函数的图象经过原点，可得，即可得出m=4；
（2）依据平移的规律可得函数解析式为，将点代入计算即可．
解：(1)∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得m=4；
(2)一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为
∵该图象经过点(2,5)，
∴，
解得m=2，
∴平移后的函数的解析式为y=5x-5.
【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换.（1）对于一次函数y=kx+b当b=0时，图象经过原点；（2）一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”.
21．（1）；y随着x的增大而增大；（2）
【分析】（1）先根据m的取值范围确定比例系数的符号，然后根据一次函数的性质确定其增减性即可；
（2）根据两个一次函数的比例系数相等的两条直线平行确定m的值即可.
解：（1）∵，
∴，
∴一次函数y随着x的增大而增大；
（2）∵一次函数与直线平行，
∴，
∴.
【点拨】此题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，两个一次函数图象平行的特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
22．（1），；（2）；（3）或或．
【分析】（1）令 ，解得： ，令 ，解得： ，即可求解；
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，证出，可得到，进而得到即可求解；
（3）分情况讨论，①设Q点坐标为，由可得，再利用勾股定理即可求解．②设Q点坐标为，当时，由可得，再利用勾股定理即可求解．
解：（1）直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B，
令 ，解得： ，则 ，
令 ，解得： ，则 ，
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵△ABC为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
设c点坐标为 ，则 ，
∴ ；
（3）
①设Q点坐标为，
∵ ，
∴ ，
由（2）知，则 ， ，
∴ ，
解得：，
∵点Q与点C不重合，
则．
②设Q点坐标为，当时，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴，
综上，Q点坐标为或或．
【点拨】本题属于一次函数与几何图形的综合，主要考查了一次函数的图象，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．（1），；（2）存在，，，，；（3）或．
【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分三种情形讨论，①当AB=AC时，②当BA=BC时，③当CA=CB时；分别求出即可；
（3）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP=O'P=AO'=，根据三角形面积公式可得结论； ②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论．
解：（1）将点，点的坐标代入得：
，
∴，．
（2）设，
①当时，，，，
当，即时，，，
∴
当，即时，，，
∴；
②当时，、两点关于原点对称，∴；
③当时．
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴当时，、两点重合，∴，
综上所述：，，，．
（3）如图，①当点在直线上时，
设，∴，，，
在中，，
，，
．
②当P在x轴的负半轴时，如图所示：
由折叠得：∠PO'B=∠POB=90°，O'B=OB=4，
∵∠BAO=45°，
∴PO'=PO=AO'=，
∴S△OBP=OB•OP=×4×（）=；
综上所述，△OBP的面积为或．
【点拨】本题主要考查了待定系数法、坐标与图形性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；解决本题的关键是熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质．
24．（1）△AOB是等腰直角三角形，理由见解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO⊥PD
【分析】（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；
（2）证△MAO≌△NOB，利用线段和差可求；
（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证△DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．
解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，
在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO=PD，PO⊥PD．
【点拨】本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．
专题4.3.2 一次函数的图象和性质（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．若直线y=ax+b不经过第三象限，则下列不等式中，总成立的是 ( )
A．b﹥0 B．b－a﹤0 C．b－a﹥0 D．a＋b﹥0
2．已知abc0，而且，那么直线y=px+p一定通过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．－1＜a＜1 C．a＞1或a＜－1 D．a≥1或a≤－1
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．3 B．4.5 C． D．
5．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
6．把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与直线交点的横坐标为5，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，，，四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A、B的坐标分别为、，点P为x轴上的动点，若点B关于直线AP的对称点恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线上的一条动线段且（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（ ）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
二、填空题
11．无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为_______．
12．已知一次函数y=kx+2k+3的图象不经过第三象限，则k的取值范围是________.
13．已知方程|x|=ax+1有一个负根但没有正根，则a的取值范围是__．
14．直线y＝kx﹣2与直线y＝x﹣1（1≤x≤4）有交点，则k的取值范围是_____．
15．将直线先向上平移2个单位，再向右平移2个单位得到的直线l对应的一次函数的表达式为_____．
16．已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，且过点，则_________（用含的代数式表示）；的取值范围是_________.
17．如图在平面直角坐标系中，直线的图像分别与y轴和x轴交于点A，点B．定点P的坐标为，点Q是y轴上任意一点，则的最小值为__________．
18．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标为__________．
三、解答题
19．一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点．
（1）求出该一次函数的表达式；
（2）画出该一次函数的图象；
（3）判断（﹣5，﹣4）是否在这个函数的图象上？
（4）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积．
20．已知一次函数．
（1）m为何值时，图象经过原点？
（2）将该一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数图象经过点，求平移后的函数解析式．
21．已知一次函数．
（1）当时，这个函数的函数值随的增大而增大还是随的增大而减小呢？
（2）当这个函数的图象与直线平行时，求的值．
22．如图，直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B．
（1）求点A、B的坐标．
（2）以线段AB为直角边作等腰直角△ABC，点C在第一象限内，∠BAC＝90°，求点C的坐标．（写出解答过程）
（3）在（2）的条件下，若以Q、A、B为顶点的三角形和△ABC全等（点Q不与点C重合），则点Q的坐标为______．
23．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为．
（1）求、的值．
（2）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点恰好落在直线上，求的面积．
24．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．
（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．
参考答案
1．C
解：根据题意，可由y=ax+b不经过第三象限可知a＜0，b≥0，因此可知b-a＞0.
故选C.
2．B
解：由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p==-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
故选B．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，难度不大，关键是根据a+bc=b+ca=c+ab=p列出方程，然后讨论求解．
3．C
解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；
分两种情况讨论，①a＞0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a＞0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a＞1；
②a＜0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a＜-1；
故选：C．
4．B
解：将A、B、C的横坐标代入到一次函数中；
解得A（-1，b+3），B（1，b-3），C（2，b-6）．
由一次函数的性质可知，三个阴影部分三角形全等，底边长为2-1=1，高为（b-3）-（b-6）=3，
可求得阴影部分面积为：S=×1×3×3=4.5.
故选B．
5．D
【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
解：∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
【点拨】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
6．A
【分析】根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案.
解：直线向上平移个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为，，
交点在第二象限，
，
解得：．
故选：．
【点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0．
7．B
【分析】先根据题意找到交点，再观察图象即可得出.
解：根据题意可知：一次函数的图象与直线交点的坐标为：（5,1）
观察图象可知：在交点右侧，一次函数的图象在直线的上方，即，即，所以当时，，
故选B
【点拨】本题考查了利用函数图象之间的交点，比较函数大小；稍有难度，找到交点，分析图象是解答本题的关键.
8．B
【分析】利用点D求出直线解析式，再根据函数的性质依据各点的横坐标的大小关系确定纵坐标的大小关系即可.
解：将点D代入中，得2k+4=-1，
∴，
∴，
∵<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点，，，且，
∴，
故选：B.
【点拨】此题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的增减性，能正确根据k判断增减性是解题的关键.
9．A
【分析】先根据勾股定理的长，求得的坐标．然后用待定系数法求出直线的解析式，由对称的性质得出，求出直线的解析式，然后求出直线与轴的交点即可．
解：如图，连接、，
，，
，
点与关于直线对称，
，
在中，
点坐标为或，
，点关于直线的对称点恰好落在轴上，
点关于直线的对称点，
点坐标为不合题意舍去，
设直线方程为
将，代入得：，
解得，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：，
点的坐标为：；
故选：A．
【点拨】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线的解析式进一步求出直线的解析式是解决问题的关键．
10．A
【分析】作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，求出直线解析式，与y=x组成方程组，即可求出Q点的坐标．
解：作点B关于直线y=x的对称点（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y=x，并沿MN向下平移单位后，得（2，0），连接交直线y=x于点Q，如下图所示．
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵且，
∴当值最小时，值最小．
根据两点之间线段最短，即三点共线时，值最小．
∵（0，1），（2，0），∴直线的解析式，
∴，即，
∴Q点的坐标为（，）．
故选A．
【点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、最短路径问题．
11．（﹣1，﹣2）．
【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
解：由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0，
令，
解得，
故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）
【点拨】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标．
12．≤k≤0
解：试题分析：根据一次函数的图像与性质，可知k＜0，且2k+3≥0，解得≤k＜0.
点睛：此题主要考查了一次函数系数与经过的象限的关系，解题关键是根据经过的象限判断系数的取值.
13．a＞﹣1
解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，
方程|x|=ax+1有一个负根，
但没有正根，由图象可知
a≥1
【点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．
14．≤k≤2
【分析】先得出与y轴的交点为，再在直角坐标系中，画出的图象（见解析），分析可知直线经过A、B两点时，可得出k的两个临界值.
解：与y轴的交点为
的两个端点坐标为
从图中可看出：当经过点A时，k值最大；经过点B时，k值最小
将代入得，解得
将代入得，解得
则所求的k的取值范围是.
【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，画图解答这类题会更加直观，易于求解，图形结合题也是近年来的常考点.
15．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律即可作答．
解：将直线先向上平移2个单位后得到直线，再向右平移2个单位后得到直线，即直线l对应的一次函数的表达式为．
【点拨】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
16．
【分析】若一次函数的图像经过第一、二、四象限，可知，再根据函数过点，将该点代入一次函数解析式，得出k与b的关系式，最后再利用，求出k的取值范围．
解：∵，过点
∴
∴
又∵一次函数图像过第一、二、四象限 ,
∴
即
解得：
【点拨】本题考察一元一次函数的性质，考察不等式组的解法．
17．
【分析】以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，根据直角三角形的性质得出即为最小值，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长即可．
解：如图，以点P为顶点，y轴为一边，在y轴右侧作，与x轴交于点D，作点B关于y轴的对称点，过点作，交y轴与点Q，
∵，
∴，
∵此时，
则即为的最小值．
∵，
∴，
根据勾股定理可得，
解得，
∵直线的图象分别与y轴和x轴交于点A，点B，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=4，
则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理，最短路径问题，以及一次函数与坐标轴的交点等，正确得出最短路径是解题关键．
18．
【分析】依据直线l：y=x，A（1，0），AB⊥x轴，即可得到AB=1，即∠ABO=45°，即可求出OA1=1+1=2，求得A1点坐标，继而找出A坐标规律变换规律为Bn（2n，0）即可解答．
解：∵直线l：y=x，A（1，0），AB⊥x轴，
∴AB=1，即∠ABO=45°，
又∵A1B⊥OB，
∴∠BA1O=45°，
∴AA1=AB=1，OA1=1+1=2，
∴A（1，0）即A（20，0），A1（21，0）
又∵A1B1⊥x轴，
∴A1B1=2，∠BA2O=45°，
∴A2（4，0）即A2（22，0）
可归纳：An(2n，0)
故答案为：(2n，0)．
【点拨】本题主要考查了点的坐标变化规律、正比例函数图像上点的坐标特点等知识点，确定点的坐标求线段的长度是解答本题的关键．
19．（1）y＝3x﹣2；（2）图象见解析；（3）（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；（4）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用两点法画出直线即可；
（3）把x＝﹣5代入解析式，即可判断；
（4）求得直线与坐标轴的交点，即可求得．
解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b
∵一次函数的图象经过点A（2，4）和B（﹣1，﹣5）两点
∴，
解得：
∴一次函数的表达式为y＝3x﹣2；
（2）描出A、B点，作出一次函数的图象如图：
（3）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
将x＝﹣5代入此函数表达式中得，y＝3×（﹣5）﹣2＝﹣17≠﹣4
∴（﹣5，﹣4）不在这个函数的图象上；
（4）由（1）知，一次函数的表达式为y＝3x﹣2
令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，则3x﹣2＝0，
∴x＝，
∴该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×2×＝．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（1）m=4；（2）y=5x-5.
【分析】（1）依据一次函数的图象经过原点，可得，即可得出m=4；
（2）依据平移的规律可得函数解析式为，将点代入计算即可．
解：(1)∵一次函数的图象经过原点，
∴，
解得m=4；
(2)一次函数向下平移3个单位长度后得到的函数解析式为
∵该图象经过点(2,5)，
∴，
解得m=2，
∴平移后的函数的解析式为y=5x-5.
【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换.（1）对于一次函数y=kx+b当b=0时，图象经过原点；（2）一次函数平移遵循“左加右减，上加下减”.
21．（1）；y随着x的增大而增大；（2）
【分析】（1）先根据m的取值范围确定比例系数的符号，然后根据一次函数的性质确定其增减性即可；
（2）根据两个一次函数的比例系数相等的两条直线平行确定m的值即可.
解：（1）∵，
∴，
∴一次函数y随着x的增大而增大；
（2）∵一次函数与直线平行，
∴，
∴.
【点拨】此题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，两个一次函数图象平行的特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.
22．（1），；（2）；（3）或或．
【分析】（1）令 ，解得： ，令 ，解得： ，即可求解；
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，证出，可得到，进而得到即可求解；
（3）分情况讨论，①设Q点坐标为，由可得，再利用勾股定理即可求解．②设Q点坐标为，当时，由可得，再利用勾股定理即可求解．
解：（1）直线y＝x+2与x铀、y轴分别交于点A、B，
令 ，解得： ，则 ，
令 ，解得： ，则 ，
（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，
∵ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵△ABC为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
设c点坐标为 ，则 ，
∴ ；
（3）
①设Q点坐标为，
∵ ，
∴ ，
由（2）知，则 ， ，
∴ ，
解得：，
∵点Q与点C不重合，
则．
②设Q点坐标为，当时，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴，
综上，Q点坐标为或或．
【点拨】本题属于一次函数与几何图形的综合，主要考查了一次函数的图象，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．（1），；（2）存在，，，，；（3）或．
【分析】（1）用待定系数法直接求出；
（2）分三种情形讨论，①当AB=AC时，②当BA=BC时，③当CA=CB时；分别求出即可；
（3）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP=O'P=AO'=，根据三角形面积公式可得结论； ②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论．
解：（1）将点，点的坐标代入得：
，
∴，．
（2）设，
①当时，，，，
当，即时，，，
∴
当，即时，，，
∴；
②当时，、两点关于原点对称，∴；
③当时．
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴当时，、两点重合，∴，
综上所述：，，，．
（3）如图，①当点在直线上时，
设，∴，，，
在中，，
，，
．
②当P在x轴的负半轴时，如图所示：
由折叠得：∠PO'B=∠POB=90°，O'B=OB=4，
∵∠BAO=45°，
∴PO'=PO=AO'=，
∴S△OBP=OB•OP=×4×（）=；
综上所述，△OBP的面积为或．
【点拨】本题主要考查了待定系数法、坐标与图形性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；解决本题的关键是熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质．
24．（1）△AOB是等腰直角三角形，理由见解析；（2）BN＝7；（3）PO＝PD，PO⊥PD
【分析】（1）把m2+n2＝2mn变形后，因式分解，得到m=n即可判断；
（2）证△MAO≌△NOB，利用线段和差可求；
（3）延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，证△DOC为等腰直角三角形，根据三线合一可得结论．
解：（1）△AOB是等腰直角三角形，
理由：
∵m2+n2＝2mn，
∴m2+n2﹣2mn＝0，
∴（m﹣n）2＝0，
∴m＝n，即OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）∵AM⊥ON，BN⊥ON，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠MOA+∠MAO＝90°，
∵∠MOA+∠NOB＝90°，
∴∠MAO＝∠NOB，
在△MAO和△NOB中，
，
∴△MAO≌△NOB（AAS），
∴OM＝BN，AM＝ON＝13，
∵MN＝ON﹣OM，MN＝6，
∴6＝13﹣OM，
∴OM＝7，
∴BN＝7；
（3）PO＝PD且PO⊥PD，
如图3，延长DP到点C，使PC＝DP，连接CB、OD、OC，
在△DEP和△CBP，
，
∴△DEP≌△CBP（SAS），
∴CB＝DE＝DA，∠DEP＝∠CBP＝135°，
则∠CBO＝∠CBP﹣∠ABO＝135°﹣45°＝90°，
又∵∠BAO＝45°，∠DAE＝45°，
∴∠DAO＝90°，
在△OAD和△OBC，
，
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴OD＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∵PC＝DP，
∴PO=PD，PO⊥PD．
【点拨】本题考查了一次函数和全等三角形的综合，解题关键是恰当的作辅助线，通过全等求线段长或线段的关系．
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