第12章 全等三角形 素养集训1 构造全等三角形的四大技法 课件

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1．构造全等三角形的四大技法素养集训第十二章 全等三角形答案显示见习题见习题见习题见习题见习题1．【教材P43习题T1改编】如图，AB＝AC，BD＝CD.(1)求证：∠B＝∠C；【点方法】公共边是相等线段的一种形式，若已知有两组边对应相等，而第三边是公共边，则连接公共边，可构造全等三角形.证明：在△ABD中，∠BDE＝∠BAD＋∠B，在△ACD中，∠CDE＝∠CAD＋∠C，∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C，即∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.∵∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C，∴∠BDC＝4∠C.(2)若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C.2．如图①，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC.(1)若E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°，求证：EF＝AE＋CF；∵∠ADC＝60°，∴∠CBA＝360°－90°－90°－60°＝120°.又∵∠EBF＝60°，∴∠CBF＋∠ABE＝120°－∠EBF＝60°.∴∠ABG＋∠ABE＝60°，即∠EBG＝60°，∴∠EBF＝∠EBG.(2)如图②，若E，F分别在AD，DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE＝EF＋CF.3．如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC，求证：CD＝2CE.【点方法】CE是△ABC中AB边上的中线，将CE延长一倍至点F，可构造△BFE和△ACE全等，且同时出现了2CE这条线段，因此再证明△CBD和△CBF全等即可.4．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，且BE＝AC.求证：∠BED＝∠DAC.证明：如图，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AD交AD的延长线于点G.则∠G＝∠CFD＝∠AFC＝90°.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵∠BDG＝∠CDF，∴△BDG≌△CDF(AAS)．∴BG＝CF.又∵BE＝AC.∴Rt△BGE≌Rt△CFA(HL)．∴∠BED＝∠DAC.5．如图，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，M为AC的中点，AD⊥BM于点E，交BC于点D，连接DM.求证：∠AMB＝∠CMD.【点方法】基础三角形法是构造全等三角形的一种常用方法，它是以要证的边(角)关系中一边(角)所在的三角形为基础三角形，再以要证的另一边(角)为一边(角)作一个与基础三角形全等的三角形．证明：作∠BAC的平分线AG交BM于点G，如图所示．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠MAG＝∠BAG＝45°.∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵AE⊥BM，∴∠MAE＋∠AMB＝90°.又∵∠ABM＋∠AMB＝90°，∴∠ABM＝∠MAE.