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第十二章第三课时角平分线的性质 知识清单＋例题讲解＋课后练习 （含解析）数学人教版八年级上册
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第三课时——角平分线的性质知识点一：角平分线的定义及其画法：1. 角平分线的定义：把一个角分成两个 相等 的角的射线叫做角的平分线．2. 做已知角的平分线：作法：如下图步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N．步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P．步骤三：连接OP即为角平分线证明OP是∠AOB的平分线：如图：连接MP，NP由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP．在△OMP与△ONP中∴△OMP≌△ONP∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线．【类型一：角平分线的作图依据】1．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是的角平分线．小敏作图的依据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【类型二：利用角平分线的作图求值或证明】2．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65°3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）A．100° B．135° C．145° D．125°5．如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，在直线l，b上分别截取，，使，分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交直线a于点C，若，则的度数是（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，以B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D、E，再分别以D、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于G，若上点H满足．小锋同学研究和的位置关系如下（请你填空）：连接，因为（已知），所以 （ ），所以，因为（已知），所以（ ），所以，所以（ ）．知识点一：角平分线的性质1. 角平分线的性质：（1）平分角：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC ．（2）角平分线上的点到角两边的距离相等．即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE ．证明：∵OP是∠AOB的平分线∴ ∠AOC＝∠BOC ∵ PD⊥OB，PE⊥OA∴ ∠PEO＝∠PDO ＝90°在△OPE与△OPD中∴ PE＝PD 【类型一：利用角平分线的性质求线段长度】7．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD：DB=3：5，BC=16cm，则点D到AB的距离为 cm．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示，在中，，平分，于点，如果，那么等于（ ）A．5cm B．2cm C．4cm D．3cm11．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P；③作射线交边于点Q．若的面积为，，则的长为（ ）A． B．5 C．7 D．1012．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于 ．【类型二：利用角平分线的性质求面积】13．如图，在中，平分若则 ．14．如图，四边形ABCD中，，，，对角线，BD平分线，则的面积为（ ）A．4 B．8 C．12 D．1615．如图，在中，，BE平分，，交AB于点F，交BE于点D，若，．则的面积为（ ）．A． B． C． D．16．如图所示，点O是内一点，平分于点D，连接，若，，则的面积是（ ）A．20 B．30 C．50 D．10017．如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为 ．18．如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（ ）A．48 B．24 C．12 D．6【类型三：角平分线性质的应用】19．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点20．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处21．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？知识点一：三角形的角平分线的性质：1. 三角形的角平分线的性质：三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比．即如图：AD是△ABC的平分线．则＝ ＝ ．特别提示：分别以AB和AC、BD和CD表示出两个三角形的面积，然后比即可得出．【类型一：利用三角形的角平分线求值】22．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ）A．8 B．10 C．12 D．1523．如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（ ） A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=10，AC=8，BC=4，则△ABD与△ACD的面积比是（ ）A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：325．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2知识点一：角平分线的判定：1. 内容：角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上．2. 数学语言：点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上．即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD∴∠AOC＝∠BOC【类型一：角平分线的证明】26．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：平分．27．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．28．如图，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E．求证：点D在∠BAC的角平分线上．29．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．30．如图，于，于，若，．(1)求证：平分．(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．一．选择题（共10小题）31．如图P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若PD=2，则PE的长是（ ）A．2 B．3 C． D．432．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确33．如图，在中，，AP是角平分线，，，则P到AB的距离是（ ）A．5 B．2 C．3 D．434．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.535．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）A．14 B．8 C．16 D．636．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．437．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）A． B． C． D．38．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）A． B． C． D．40．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二．填空题（共6小题）41．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．42．如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，若 ．43．在中，，，．CD是角平分线．则 ．44．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 ． 45．如图，平分交于点D，于点E，若，，，则的长为 ．46．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是 ．三．解答题（共4小题）47．如图，在中，．(1)过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；(2)若，，求的面积．48．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线．(1)求∠ABD的度数；(2)若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．49．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．50．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°,点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．(1)∠BPC的度数是 ．(2)请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．(3)证明：AB=PC． 参考答案：1．D【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论．【详解】解：由作图可知OM=ON，MC=NC，又∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC，（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB，故选：D．【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．B【分析】根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用即可求出答案．【详解】解：由作法得BP平分 ,∵OG平分,，，．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．3．A【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．【详解】由作法得BD平分∠ABC，∴设∴∵∴∵∴∵∴，解得∴故选：A【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．4．B【分析】利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，在根据角平分线的性质及三角形内角和即可求得答案．【详解】解：，，，，为直角三角形，，，由题意得，射线AE和射线BF分别为和的角平分线，，，，，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的作法、三角形内角和及利用勾股定理的逆定理，解题关键熟练掌握勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形及角平分线的性质．5．C【分析】由作图知，平分，得到，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：由作图知，平分，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．6．；；等边对等角；内错角相等，两直线平行【分析】先根据“”判断得到，再由得到，则，然后根据平行线的判定方法得到．【详解】解：小锋同学研究和的位置关系如下：连接，因为（已知），所以（ ），所以，因为（已知），所以（等边对等角），所以，所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；；等边对等角；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，熟知相关定理并根据题意灵活选用是解题关键．7．B【分析】根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．∵为的角平分线，，，，∴ED=BD=4．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．8．6【分析】首先过点D作 于E，根据条件利用角平分线的性质，得到，又由CD：DB=3：5，BC=16cm得到CD的长度，继而得到答案．【详解】过点D作 于E 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC即 CD：DB=3：5，BC=16cm 故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的运用是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．D【分析】用角平分线的性质可得，然后再利用线段的和差关系可得答案．【详解】解：∵平分，，于点D，∴，∵，∴，即：，故选：D．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．B【分析】作于H，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．【详解】解：作于H，如图：由作法得平分，而，，∴∴的面积，∴．故选：B．【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质进行求解．12．2cm，2cm，2cm【分析】连接OB，OA，OC，由角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，再证明 结合等面积法进行求解即可．【详解】解：连接OB，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，∴OE＝OF＝OD，∵AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，∴ 由∴ 则OE＝OF＝OD＝2．即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2cm，2cm，2cm．故答案为：2cm，2cm，2cm．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键．13．1【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．14．B【分析】过点D作DE⊥BC于E，先由勾股定理求出AD长，再由角平分线的性质得出DE=AD，即可由三角形面积公式求解；【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵，∴DA⊥AB，∴由勾股定理，得AD==4，∵BD平分线，DE⊥BC于E，DA⊥AB，∴DE=DA=4，∴S△BCD==×4×4=8，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，点D作DE⊥BC于E，构成角平分线上的点到角两边的距离，这是解题的关键．15．A【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，，求解即可．【详解】解：过点作，如下图：∵BE平分，，∴故选A【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．16．C【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．17．27【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．【详解】如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27，故答案为27．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．18．C【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝3，∴△ABD的面积AB×DH8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．19．C【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．【详解】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质，注意区别三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，此处容易混淆．20．D【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．21．（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．22．D【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据△ABD的面积可得DE的长，进一步可得DF的长，求出△BDC的面积，进一步可得△ABC的面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为6，∴×4DE＝6，解得：DE=3，∴DF=3，∵BC=6，∴△BDC的面积为×6×3=9，∴△ABC的面积为6+9=15，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，涉及三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．23．C【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=DF，∴S△ABD：S△ADC=AB•DE：AC•DF=AB：AC=4：3．故选C．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．24．A【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质，得到DE=DF，根据，计算面积比即可．【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵，∴，∵AB=10，AC=8， ∴，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．25．D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【详解】∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2．故选D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．26．见解析【分析】先证明，根据全等三角形的对应边相等可得，再根据角平分线的判定定理，即可证得结论．【详解】证明：是的中线，．又，，，∴在与中，，，，平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定及性质，角平分线的判定方法是解决本题的关键．27．证明过程见详解【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F． ∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．28．证明见解析【分析】根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．【详解】∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．29．见解析【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．【详解】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF•DM，△DCE的面积为：DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF•DM＝DN•CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【点睛】此题主要考查角平分线的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．30．(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据相定理得出，得出，所以平分；（2）根据证明，所以，进而可得答案．【详解】（1）∵于，于∴∴与均为直角三角形∵在与中，∴∴∴平分（2）理由：∵平分∴∵于，于∴在与中∵∴∴∵∴．【点睛】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．31．A【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E∴PE=PD=2．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．32．B【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.【详解】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：B.【点睛】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.33．B【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD=PC，即可求出点P到边AB的距离．【详解】解：过P作PD⊥AB于D，∵∠C=90°，∴PC⊥AC，∴AP平分∠CAB，∴PD=PC，∵PC=2，∴PD=2，∴点P到边AB的距离是2，故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键．34．C【分析】根据垂线段最短以及角平分线上的点到两边的距离相等即可作答．【详解】∵点是的角平分线上一点，，∴当PM⊥OC时，PM=PD，此时PM最短，PM=PD=2；故选：C【点睛】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线上的点到两边距离相等，熟练地掌握垂线段最短以及角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．35．B【分析】根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°，∴AE=DE，∵△CDE的周长为12，CD=4，∴DE+EC=8，∴AC=AE+EC=8，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．B【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．【详解】解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，∵△ABC的面积为24，周长为24，∴，解得：x=2．即点O到BC的距离为2．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．37．C【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；∴a-b=0．故选：C．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．38．C【分析】过点I分别向边AB ，BC ，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，故△ABI，△ACI，△BCI的高相等，所以比较面积即比较底即可，再根据三角形中两边之和大于第三边即可得出答案．【详解】过点I分别向边AB ，BC ，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，如图，根据角平分线的性质，，，设，则，，，∵，．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的性质和等高三角形面积的比较，牢固掌握三角形角平分线的性质是做出本题的关键．39．B【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据作图可知，BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE=DC，，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出DE的长度．40．A【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．【详解】解：∵，，，∴平分，∴，∵，∴，∴，故②正确；在和中，，∴，∴，故①正确；∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，∴现有条件不能够证明，故③错误；综上，正确的是①②．故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．41．42【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．【详解】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝4，∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，∴＝42，故答案为：42．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．42．2【分析】根据角平分线的性质定理即可完成．【详解】∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，∴DE=CD=2故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，关键是清楚定理的条件：一是角平分线，二是经过角平分线的点的直线，且这两条直线垂直角的两边，即要有两个垂直，具体在有些题目中，往往缺少一个或两个垂直，这时要作一个垂直或两个垂直．43．3：4【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用三角形的面积公式计算可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∵AC＝3，BC＝4，∴S△ACD：S△BCD＝AC•DE：BC•DF＝AC：BC＝3：4，故答案为：3：4．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解本题的关键．44．6【分析】过P点作PH⊥OA，如图，由角平分线的性质得到PH＝PM＝6，再由点到直线的距离垂线段最短即可得到PN的最小值为6．【详解】解：过P点作PH⊥OA，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，∴PH＝PM＝6，∵点N是射线OA上的一个动点，∴PN的最小值为6．故答案为6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．45．5【分析】过D作，交的延长线于F，根据角平分线的性质求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D作，交的延长线于F，如下图：∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，解得：，故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的有关性质．46．15【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝3，可得结论．【详解】如图，过点D作DH⊥AB于H．∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DC＝DH＝3，∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．47．(1)见解析(2)24【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD=DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．【详解】（1）∠ABC的平分线如图所示．（2）作DH⊥AB于H．∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，∴CD=DH=3，∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC•CD+AB•DH=×3BC+×3AB=×3（BC+AB）=×3×16=24．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．48．(1)(2)【分析】（1）由角平分线的定义可直接得到答案．（2）由内角大小可知、为等腰三角形，通过等腰三角形的相关性质即可得到答案．【详解】（1）解：∵∠ABC＝180°-36°-72°＝72°，∴（2）解：∵∠C＝∠ABC＝72°，∴AB＝AC＝6又∵∠ABD＝∠A＝36°，∴AD＝BD又∵DE⊥AB，∴．【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质，通过内角大小求得等腰三角形是解题的关键．49．(1)∠BDC＝130°；(2)△ADC的面积＝4【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）解：作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．50．(1)(2)在；理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；（2）过点P分别作△ABC的三边的垂线，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质和判定即可得到结论；（3）延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：∵点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130°；（2）解：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：过点P分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，∴PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的角平分线上；（3）证明：连接AP并延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，∴∠PAC＝×（180°－∠ABC－∠ACB）＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中，，∴△ABC≌△CGA（AAS），∴AB＝CG，又∵PC＝CG，∴AB＝PC．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
第三课时——角平分线的性质知识点一：角平分线的定义及其画法：1. 角平分线的定义：把一个角分成两个 相等 的角的射线叫做角的平分线．2. 做已知角的平分线：作法：如下图步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N．步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P．步骤三：连接OP即为角平分线证明OP是∠AOB的平分线：如图：连接MP，NP由作图过程可知，OM ＝ ON，MP ＝ NP．在△OMP与△ONP中∴△OMP≌△ONP∴∠MOP＝ ∠NOP ∴OP是∠AOB的角平分线．【类型一：角平分线的作图依据】1．数学课上陈老师要求学生利用尺规作图，作一个已知角的角平分线，并保留作图痕迹．学生小敏的作法是：如图，是已知角，以O为圆心，任意长为半径作弧，与OA、OB分别交于N、M；再分别以N、M为圆心，大于的长为半径作弧，交于点C；作射线OC；则射线OC是的角平分线．小敏作图的依据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【类型二：利用角平分线的作图求值或证明】2．如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65°3．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）A．100° B．135° C．145° D．125°5．如图，已知，直线l与直线a，b分别交于点A，B，在直线l，b上分别截取，，使，分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交直线a于点C，若，则的度数是（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，以B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D、E，再分别以D、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于G，若上点H满足．小锋同学研究和的位置关系如下（请你填空）：连接，因为（已知），所以 （ ），所以，因为（已知），所以（ ），所以，所以（ ）．知识点一：角平分线的性质1. 角平分线的性质：（1）平分角：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC ．（2）角平分线上的点到角两边的距离相等．即若OC是∠AOB的平分线，P是0C上一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，则有 PD＝PE ．证明：∵OP是∠AOB的平分线∴ ∠AOC＝∠BOC ∵ PD⊥OB，PE⊥OA∴ ∠PEO＝∠PDO ＝90°在△OPE与△OPD中∴ PE＝PD 【类型一：利用角平分线的性质求线段长度】7．如图，在中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD：DB=3：5，BC=16cm，则点D到AB的距离为 cm．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示，在中，，平分，于点，如果，那么等于（ ）A．5cm B．2cm C．4cm D．3cm11．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P；③作射线交边于点Q．若的面积为，，则的长为（ ）A． B．5 C．7 D．1012．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于 ．【类型二：利用角平分线的性质求面积】13．如图，在中，平分若则 ．14．如图，四边形ABCD中，，，，对角线，BD平分线，则的面积为（ ）A．4 B．8 C．12 D．1615．如图，在中，，BE平分，，交AB于点F，交BE于点D，若，．则的面积为（ ）．A． B． C． D．16．如图所示，点O是内一点，平分于点D，连接，若，，则的面积是（ ）A．20 B．30 C．50 D．10017．如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为 ．18．如图，在ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则ABD的面积是（ ）A．48 B．24 C．12 D．6【类型三：角平分线性质的应用】19．三角形中，到三边距离相等的点是（ ）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点20．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A．1处 B．2处 C．3处 D．4处21．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？知识点一：三角形的角平分线的性质：1. 三角形的角平分线的性质：三角形一个角的角平分线分得的两个三角形的面积比等于这个角的两边的比，也等于这个角对边分得的两条线段的比．即如图：AD是△ABC的平分线．则＝ ＝ ．特别提示：分别以AB和AC、BD和CD表示出两个三角形的面积，然后比即可得出．【类型一：利用三角形的角平分线求值】22．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ）A．8 B．10 C．12 D．1523．如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（ ） A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=10，AC=8，BC=4，则△ABD与△ACD的面积比是（ ）A．5：4 B．1：1 C．4：5 D．4：325．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（ ）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2知识点一：角平分线的判定：1. 内容：角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上．2. 数学语言：点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的 平分线 上．即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD∴∠AOC＝∠BOC【类型一：角平分线的证明】26．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：平分．27．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．28．如图，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E．求证：点D在∠BAC的角平分线上．29．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．30．如图，于，于，若，．(1)求证：平分．(2)写出与之间的等量关系，并说明理由．一．选择题（共10小题）31．如图P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，若PD=2，则PE的长是（ ）A．2 B．3 C． D．432．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确33．如图，在中，，AP是角平分线，，，则P到AB的距离是（ ）A．5 B．2 C．3 D．434．如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.535．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD=4，△CDE周长为12，则AC的长是（ ）A．14 B．8 C．16 D．636．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．437．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）A． B． C． D．38．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定39．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）A． B． C． D．40．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二．填空题（共6小题）41．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．42．如图，在中，是的角平分线，，垂足为E，若 ．43．在中，，，．CD是角平分线．则 ．44．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝6，则PN的最小值为 ． 45．如图，平分交于点D，于点E，若，，，则的长为 ．46．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点 M 、N，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD 的面积是 ．三．解答题（共4小题）47．如图，在中，．(1)过点作的平分线交于点（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；(2)若，，求的面积．48．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线．(1)求∠ABD的度数；(2)若DE⊥AB于点E，AC＝6，求AE的长．49．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．50．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°,点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．(1)∠BPC的度数是 ．(2)请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．(3)证明：AB=PC． 参考答案：1．D【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论．【详解】解：由作图可知OM=ON，MC=NC，又∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC，（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB，故选：D．【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．B【分析】根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用即可求出答案．【详解】解：由作法得BP平分 ,∵OG平分,，，．故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．3．A【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．【详解】由作法得BD平分∠ABC，∴设∴∵∴∵∴∵∴，解得∴故选：A【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．4．B【分析】利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，在根据角平分线的性质及三角形内角和即可求得答案．【详解】解：，，，，为直角三角形，，，由题意得，射线AE和射线BF分别为和的角平分线，，，，，故选B．【点睛】本题考查了角平分线的作法、三角形内角和及利用勾股定理的逆定理，解题关键熟练掌握勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形及角平分线的性质．5．C【分析】由作图知，平分，得到，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：由作图知，平分，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．6．；；等边对等角；内错角相等，两直线平行【分析】先根据“”判断得到，再由得到，则，然后根据平行线的判定方法得到．【详解】解：小锋同学研究和的位置关系如下：连接，因为（已知），所以（ ），所以，因为（已知），所以（等边对等角），所以，所以（内错角相等，两直线平行）．故答案为：；；等边对等角；内错角相等，两直线平行【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，熟知相关定理并根据题意灵活选用是解题关键．7．B【分析】根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．∵为的角平分线，，，，∴ED=BD=4．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．8．6【分析】首先过点D作 于E，根据条件利用角平分线的性质，得到，又由CD：DB=3：5，BC=16cm得到CD的长度，继而得到答案．【详解】过点D作 于E 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC即 CD：DB=3：5，BC=16cm 故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的运用是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．D【分析】用角平分线的性质可得，然后再利用线段的和差关系可得答案．【详解】解：∵平分，，于点D，∴，∵，∴，即：，故选：D．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．B【分析】作于H，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．【详解】解：作于H，如图：由作法得平分，而，，∴∴的面积，∴．故选：B．【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质进行求解．12．2cm，2cm，2cm【分析】连接OB，OA，OC，由角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，再证明 结合等面积法进行求解即可．【详解】解：连接OB，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，∴OE＝OF＝OD，∵AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，∴ 由∴ 则OE＝OF＝OD＝2．即点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于2cm，2cm，2cm．故答案为：2cm，2cm，2cm．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理的逆定理的应用，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键．13．1【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作于点F，∵平分，，，∴，∴．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．14．B【分析】过点D作DE⊥BC于E，先由勾股定理求出AD长，再由角平分线的性质得出DE=AD，即可由三角形面积公式求解；【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵，∴DA⊥AB，∴由勾股定理，得AD==4，∵BD平分线，DE⊥BC于E，DA⊥AB，∴DE=DA=4，∴S△BCD==×4×4=8，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，点D作DE⊥BC于E，构成角平分线上的点到角两边的距离，这是解题的关键．15．A【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，，求解即可．【详解】解：过点作，如下图：∵BE平分，，∴故选A【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．16．C【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．17．27【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．【详解】如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27，故答案为27．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．18．C【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝3，然后利用三角形面积公式求解．【详解】解：由作法得AD平分∠BAC，过D点作DH⊥AB于H，如图，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝3，∴△ABD的面积AB×DH8×3＝12．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线的作图和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．19．C【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答．【详解】解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点．故选：C．【点睛】此题主要考查角平分线的性质，注意区别三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，此处容易混淆．20．D【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．21．（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．【点睛】此题是考查对角平分线的性质的灵活应用，注意：三角形的外角平分线不要漏掉，思考问题要全面．22．D【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据△ABD的面积可得DE的长，进一步可得DF的长，求出△BDC的面积，进一步可得△ABC的面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为6，∴×4DE＝6，解得：DE=3，∴DF=3，∵BC=6，∴△BDC的面积为×6×3=9，∴△ABC的面积为6+9=15，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质，涉及三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．23．C【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=DF，∴S△ABD：S△ADC=AB•DE：AC•DF=AB：AC=4：3．故选C．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．24．A【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质，得到DE=DF，根据，计算面积比即可．【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，D F⊥AC，垂足为F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵，∴，∵AB=10，AC=8， ∴，故选A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．25．D【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【详解】∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比＝6：4：4＝3：2：2．故选D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．26．见解析【分析】先证明，根据全等三角形的对应边相等可得，再根据角平分线的判定定理，即可证得结论．【详解】证明：是的中线，．又，，，∴在与中，，，，平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定及性质，角平分线的判定方法是解决本题的关键．27．证明过程见详解【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F． ∵∠B=∠C=90°，∴BC⊥CD，CB⊥AB．∵DE平分∠ADC，∴EC=EF．∵E为BC的中点，∴EC=EB，∴EF=EB，∵EF⊥AD，CB⊥AB，∴AE平分∠DAB．【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．28．证明见解析【分析】根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．【详解】∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．29．见解析【分析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．【详解】证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF•DM，△DCE的面积为：DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF•DM＝DN•CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【点睛】此题主要考查角平分线的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的判定定理．30．(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）根据相定理得出，得出，所以平分；（2）根据证明，所以，进而可得答案．【详解】（1）∵于，于∴∴与均为直角三角形∵在与中，∴∴∴平分（2）理由：∵平分∴∵于，于∴在与中∵∴∴∵∴．【点睛】本题考查了角平分线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．31．A【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E∴PE=PD=2．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．32．B【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.【详解】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：B.【点睛】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.33．B【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD=PC，即可求出点P到边AB的距离．【详解】解：过P作PD⊥AB于D，∵∠C=90°，∴PC⊥AC，∴AP平分∠CAB，∴PD=PC，∵PC=2，∴PD=2，∴点P到边AB的距离是2，故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键．34．C【分析】根据垂线段最短以及角平分线上的点到两边的距离相等即可作答．【详解】∵点是的角平分线上一点，，∴当PM⊥OC时，PM=PD，此时PM最短，PM=PD=2；故选：C【点睛】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线上的点到两边距离相等，熟练地掌握垂线段最短以及角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．35．B【分析】根据角平分线的性质得到AE=DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，∠A=90°，∴AE=DE，∵△CDE的周长为12，CD=4，∴DE+EC=8，∴AC=AE+EC=8，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．B【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．【详解】解：设点O到BC的距离为x，∵O是△ABC的角平分线的交点，∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，∵△ABC的面积为24，周长为24，∴，解得：x=2．即点O到BC的距离为2．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．37．C【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；∴a-b=0．故选：C．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．38．C【分析】过点I分别向边AB ，BC ，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，故△ABI，△ACI，△BCI的高相等，所以比较面积即比较底即可，再根据三角形中两边之和大于第三边即可得出答案．【详解】过点I分别向边AB ，BC ，AC做垂线，垂足分别为D，E，F，如图，根据角平分线的性质，，，设，则，，，∵，．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的性质和等高三角形面积的比较，牢固掌握三角形角平分线的性质是做出本题的关键．39．B【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：根据作图可知，BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE=DC，，∴，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出DE的长度．40．A【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．【详解】解：∵，，，∴平分，∴，∵，∴，∴，故②正确；在和中，，∴，∴，故①正确；∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，∴现有条件不能够证明，故③错误；综上，正确的是①②．故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．41．42【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．【详解】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝4，∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，∴＝42，故答案为：42．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．42．2【分析】根据角平分线的性质定理即可完成．【详解】∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，∴DE=CD=2故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，关键是清楚定理的条件：一是角平分线，二是经过角平分线的点的直线，且这两条直线垂直角的两边，即要有两个垂直，具体在有些题目中，往往缺少一个或两个垂直，这时要作一个垂直或两个垂直．43．3：4【分析】过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用三角形的面积公式计算可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴DE＝DF，∵AC＝3，BC＝4，∴S△ACD：S△BCD＝AC•DE：BC•DF＝AC：BC＝3：4，故答案为：3：4．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解本题的关键．44．6【分析】过P点作PH⊥OA，如图，由角平分线的性质得到PH＝PM＝6，再由点到直线的距离垂线段最短即可得到PN的最小值为6．【详解】解：过P点作PH⊥OA，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA，∴PH＝PM＝6，∵点N是射线OA上的一个动点，∴PN的最小值为6．故答案为6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，点到直线的距离垂线段最短，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．45．5【分析】过D作，交的延长线于F，根据角平分线的性质求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D作，交的延长线于F，如下图：∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，解得：，故答案为：5．【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的有关性质．46．15【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝3，可得结论．【详解】如图，过点D作DH⊥AB于H．∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DC＝DH＝3，∴S△ABD＝AB×DH=×10×3＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查作图−基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．47．(1)见解析(2)24【分析】（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD=DH，根据三角形的面积公式即可解决问题．【详解】（1）∠ABC的平分线如图所示．（2）作DH⊥AB于H．∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，∴CD=DH=3，∴△ABC的面积=S△BCD+S△ABD=BC•CD+AB•DH=×3BC+×3AB=×3（BC+AB）=×3×16=24．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．48．(1)(2)【分析】（1）由角平分线的定义可直接得到答案．（2）由内角大小可知、为等腰三角形，通过等腰三角形的相关性质即可得到答案．【详解】（1）解：∵∠ABC＝180°-36°-72°＝72°，∴（2）解：∵∠C＝∠ABC＝72°，∴AB＝AC＝6又∵∠ABD＝∠A＝36°，∴AD＝BD又∵DE⊥AB，∴．【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质，通过内角大小求得等腰三角形是解题的关键．49．(1)∠BDC＝130°；(2)△ADC的面积＝4【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．【详解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）解：作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．50．(1)(2)在；理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；（2）过点P分别作△ABC的三边的垂线，垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质和判定即可得到结论；（3）延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：∵点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130°；（2）解：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：过点P分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，∴PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，∴PD＝PE，PE＝PF，∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的角平分线上；（3）证明：连接AP并延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，∴∠PAC＝×（180°－∠ABC－∠ACB）＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中，，∴△ABC≌△CGA（AAS），∴AB＝CG，又∵PC＝CG，∴AB＝PC．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
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