人教版七年级数学上册同步精品讲义专题4.3 角讲练（2份打包，原卷版+教师版）

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专题4.3 角目标导航1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。2.角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°4.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’，1’=60”5.角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。7.余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。考点精讲考点1：钟面上的角度计算典例：16．（2022·全国·七年级课时练习）钟表上的时针、分针和秒针都在绕钟表中心做旋转运动. ⑴钟表从2点现在，经过20分钟后，分针和时针分别旋转了多少度？ ⑵当时间到3：20时，钟表上时针和分针的夹角是多少度？方法或规律点拨本题考查了钟面角，熟练掌握分针与时针每分钟转过的角度是解题的关键.巩固练习1．（2021·河南开封·七年级期中）已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（　　）A．3：30 B．6：15 C．9：00 D．12：45【点睛】此题主要考查了钟面角，解题关键是找出时钟的时针与分针相差的大格数．2．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）时钟7：30的分针与时针夹角度数是（）A．55度 B．45度 C．35度 D．60度3．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图 SKIPIF 1 < 0 是从图 SKIPIF 1 < 0 的时钟抽象出来的图形，已知三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，当时针 SKIPIF 1 < 0 正对点 SKIPIF 1 < 0 时恰好是 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，若时针 SKIPIF 1 < 0 与三角形 SKIPIF 1 < 0 一边平行时，时针所指的时间不可能是（）A． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 4．（2022·全国·七年级专题练习）小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°5．（2022·江苏无锡·七年级期末）钟面上的时间为8点30分时，时针与分针的夹角为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）时间为7点30分时，时针和分针形成的小于 SKIPIF 1 < 0 的角为___________°7．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（12小时的时钟）时钟是7点20分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角（小于平角）是_____°．8．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是_________°．9．（2022·全国·七年级单元测试）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．10．（2022·河南·郑州二七优智实验学校七年级期末）央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是__________度．11．（2022·山东菏泽·七年级期中）北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．12．（2022·山东临沂·七年级期末）某同学走进教室发现黑板前的钟表为8：30，他想知道再过多长时间分针能和时针第一次重合．假设钟表走时准确，请问再过_________分钟．13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）钟表上2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？（2）若时针由2点30分走到2点55分，问分针转过多大的角度？14．（2022·福建泉州·七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：(1)分针每分钟转了几度？(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于 SKIPIF 1 < 0 ？(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于 SKIPIF 1 < 0 后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于 SKIPIF 1 < 0 ？15．（2022·全国·七年级单元测试）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？考点2：方位角及其应用典例：（2022·河北承德·七年级期末）如图，结论正确的是（）①射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是北偏西50°；②射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是东南方向；③射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是北偏东15°；④ SKIPIF 1 < 0 和∠AOB互为补角；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个方法或规律点拨此题考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）为基准线，其夹角的度数即为某条射线的方位角．巩固练习1．（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（）A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°2．（2022·河北衡水·七年级阶段练习）如图，货船 SKIPIF 1 < 0 与港口 SKIPIF 1 < 0 相距 SKIPIF 1 < 0 海里，我们用有序数对 SKIPIF 1 < 0 南偏西 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 来描述货船 SKIPIF 1 < 0 相对港口 SKIPIF 1 < 0 的位置，那么港口 SKIPIF 1 < 0 相对货船 SKIPIF 1 < 0 的位置可描述为（　　　）A． SKIPIF 1 < 0 南偏西 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 北偏西 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 北偏东 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 北偏东 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 海里 SKIPIF 1 < 0 3．（2022·全国·七年级单元测试）如图， SKIPIF 1 < 0 是表示北偏东 SKIPIF 1 < 0 的一条射线， SKIPIF 1 < 0 是表示北偏西 SKIPIF 1 < 0 的一条射线，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的方向是（　　）A．北偏东 SKIPIF 1 < 0 B．北偏东 SKIPIF 1 < 0 C．北偏东 SKIPIF 1 < 0 D．北偏东 SKIPIF 1 < 0 4．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，OB是北偏西50°方向的一条射线，若∠AOB=90°，则射线OA的方向是（）A．西偏北50° B．东偏北40° C．北偏东40° D．北偏西40°5．（2022·黑龙江绥化·期末）小丽家在小华家的南偏西30°的方向上，那么小华家在小丽家的什么方向上？（）A．南偏西60° B．北偏东60° C．北偏东30° D．南偏西30°6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）如图所示，下列说法中错误的是（）A．射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是北偏东40° B．射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是北偏西15°C．射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是南偏西30° D．射线 SKIPIF 1 < 0 的方向是东南方向7．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图,射线OA表示北偏东30°方向,射线OB表示北偏西50°方向,则∠AOB的度数是（）A．60° B．80° C．90° D．100°8．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图射线OA的方向是北偏东30°，在同一平面内 SKIPIF 1 < 0 ，则射线OB的方向是（）A．北偏东40° B．北偏西40°或东偏南80°C．南偏东80° D．北偏西40°或南偏东80°9．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级期末）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上；同时，它又发现了客轮B；仿照表示灯塔方位的方法，客轮B在货轮的_______方向．10．（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？考点3：角的运算典例：（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：(1)45°10′﹣21°35′20′′；(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；(3)42°16′+18°23′×2．方法或规律点拨本题考查度分秒的计算， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．巩固练习1．（2022·全国·七年级专题练习）把 SKIPIF 1 < 0 化为用度表示，下列正确的是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2022·全国·七年级专题练习）下列换算中，正确的是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 3．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期末）用度表示 SKIPIF 1 < 0 __________．4．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：108°42'36″＝______°．5．（2022·山东菏泽·七年级期末）角度换算： SKIPIF 1 < 0 ＝___°．6．（2022·山东·万杰朝阳学校期中） SKIPIF 1 < 0 =____度____分____秒； SKIPIF 1 < 0 =______度．7．（2022·山东·泰山外国语学校阶段练习） SKIPIF 1 < 0 ____°____′____″； SKIPIF 1 < 0 ____°．8．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）把30.6°化成度分为___________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##30度36分9．（2022·山东·高唐县第二实验中学七年级期中）计算 SKIPIF 1 < 0 ________．10．（2022·全国·七年级专题练习） SKIPIF 1 < 0 ________°．11．（2022·河北沧州·七年级期末）如图，在灯塔O处观测到轮船M位于北偏西 SKIPIF 1 < 0 的方向，同时轮船N在北偏东16.12°的方向，那么∠MON的大小为________．12．（2022·河南平顶山·七年级期末）计算： SKIPIF 1 < 0 ______．（结果用度表示）13．（2022·河南省直辖县级单位·七年级期末）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 （用“＞”“=”“＜”填空）．14．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）计算题．(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 考点4：与三角板有关的角度计算典例：（2022·河南南阳·七年级期末）将一副三角板放在一起．(1)如图1，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)如图2，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(3)如图3，已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．方法或规律点拨本题主要考查了角的计算，利用角的和差列出算式是解题的关键．巩固练习1．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）用一副三角板不能拼画出的角度是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2022·全国·八年级专题练习）将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠ACD的度数为（　　）A．45° B．60° C．75° D．80°3．（2022·山东烟台·期中）如图，将一副三角板 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的直角顶点O重合在一起，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A．72° B．73° C．75° D．76°4．（2022·河北邢台·七年级期末）如图所示是我们常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．（2022·山东日照·七年级期末）用一副三角板拼成如图所示的图形，其中A、B、C三点在同一条直线上．则图中∠DBE的大小为（）A．75° B．90° C．105° D．135°6．（2022·山东青岛·期中）如图，将两个三角尺的直角 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 顶点O重合在一起，若 SKIPIF 1 < 0 ，OE为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A．36 SKIPIF 1 < 0 B．45 SKIPIF 1 < 0 C．60 SKIPIF 1 < 0 D．72 SKIPIF 1 < 0 7．（2022·广西河池·七年级期末）一副三角板摆放在一起的示意图如下，若 SKIPIF 1 < 0 ，则∠2的度数是______．8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），给出以下结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中不正确的是_________．（写出序号）9．（2021·全国·七年级单元测试）两块三角板按如图所示方式放置，则∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．10．（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分 SKIPIF 1 < 0 ．(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．11．（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是∠ECD的平分线，并简述理由；(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在∠DCE的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等，并简述理由．12．（2022·河北保定·七年级期末）如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一块直角三角板DOE直角顶点放在点O处．(1)如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=____________°；(2)如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度数；(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．13．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 为端点作射线 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，将一个直角三角板的直角顶点放在 SKIPIF 1 < 0 处，即 SKIPIF 1 < 0 ．(1)如图1，若直角三角板 SKIPIF 1 < 0 的一边 SKIPIF 1 < 0 放在射线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 ______；(2)如图2，将直角三角板 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针转动到某个位置，①若 SKIPIF 1 < 0 恰好平分 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______；②若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系为______；(3)将直角三角板 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针转动（ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时为停止）的过程中，恰好有 SKIPIF 1 < 0 ，求此时 SKIPIF 1 < 0 的度数．14．（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（ SKIPIF 1 < 0 °、 SKIPIF 1 < 0 ），并将三角板 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持 SKIPIF 1 < 0 ．(1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则 SKIPIF 1 < 0 ____；(2)在旋转过程中，如图3，当 SKIPIF 1 < 0 时．请说明 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ；(3)在旋转过程中，如图4，当 SKIPIF 1 < 0 时，求此时 SKIPIF 1 < 0 的度数．15．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．考点5：与角平分线有关的证明与计算典例：（2022·四川省九龙县中学校七年级期末）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝ SKIPIF 1 < 0 ∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大小；(2)∠AOC的大小．方法或规律点拨本题考查角平分线的定义，数形结合正确计算是本题的解题关键．巩固练习1．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（　　）A．126° B．108° C．112° D．106°2．（2021·云南·文山市薄竹镇乐诗冲中心学校七年级期末）已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠MON=（）A．50° B．20° C．20°或50° D．不能确定3．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分线， SKIPIF 1 < 0 是∠AOC的平分线， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 大小关系是（）A．= B．＜ C．＞ D．无法确定4．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．5．（2021·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，OB是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，OD是 SKIPIF 1 < 0 的平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的度数．6．（2022·新疆·库车市第七中学七年级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．7．（2021·重庆·巴川初级中学校七年级期末）如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？8．（2021·辽宁·朝阳市第一中学七年级期末）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ，OE平分∠AOB， SKIPIF 1 < 0 ，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度数．9．（2022·山东·龙口市培基学校期中）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度数．10．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠DOB的平分线．(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么∠COE是多少度？(2)在（1）的条件下，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么∠BOE是多少度？11．（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）如图，点O是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 是直角， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数．12．（2022·福建泉州·七年级期末）如图， SKIPIF 1 < 0 ，射线 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 的速度从 SKIPIF 1 < 0 位置出发，射线 SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 的速度从 SKIPIF 1 < 0 位置出发，设两条射线同时绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ．(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ．①当三条射线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 构成的三个度数大于 SKIPIF 1 < 0 的角中，有两个角相等，求此时 SKIPIF 1 < 0 的值；②在射线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 转动过程中，射线 SKIPIF 1 < 0 始终在 SKIPIF 1 < 0 内部，且 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．13．（2021·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线．(1)如图1，当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 左侧，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的度数是_________；(2)当 SKIPIF 1 < 0 的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究 SKIPIF 1 < 0 的大小与 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；(3)当 SKIPIF 1 < 0 的度数为 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的度数．14．（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．15．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．(1)∠AOB的角平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝．【问题解决】(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．16．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）(1)当t＝　　秒，射线OP平分∠AOB时；(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．17．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则 SKIPIF 1 < 0 ______°(2)如图②，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______°(3)如图③，在∠AOB内，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______°(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），求此时∠MON的度数．考点6：与余角（补角）有关的证明与计算典例：（2022·山西运城·七年级期中）如图（甲）， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角．(1)如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的度数为______度．若 SKIPIF 1 < 0 越来越小，则 SKIPIF 1 < 0 如何变化？(2)找出图（甲）中相等的角．如果 SKIPIF 1 < 0 ，他们还会相等吗？(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与 SKIPIF 1 < 0 相等的角．方法或规律点拨本题考查余角与补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角和补角的意义是解答本题的关键．巩固练习1．（2020·安徽安庆·八年级期中）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（）A．∠A是余角 B．∠A和∠B是补角C．∠A的余角是∠B D．如果∠A和∠B互补，则∠A和∠B能拼成直角3．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A＝50°，则∠C的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°4．（2022·辽宁·丹东市第十七中学七年级期末）在同一平面内，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的两边分别垂直，且 SKIPIF 1 < 0 比 SKIPIF 1 < 0 的3倍少 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 5．（2021·贵州毕节·七年级期末）若 SKIPIF 1 < 0 的补角与 SKIPIF 1 < 0 的余角相等，则 SKIPIF 1 < 0 等于（）A．90° B．60° C．180° D．270°6．（2022·四川·大竹县文星中学七年级期中）∠A的补角是125°，则它的余角是（）A．54° B．35° C．25° D．以上均不对7．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a上，含90°角的顶点落在直线b上.若a//b，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°8．（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）若一个角的余角为65°．则这个角的补角为___________．9．（2022·广东·普宁市普师高级中学七年级期中）已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##60度10．（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如果一个角的补角是 SKIPIF 1 < 0 ，那么这个角的余角是______．11．（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知∠α是钝角，∠α与∠β互补，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ的关系式为________12．（2021·黑龙江·肇源县第五中学七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90º，则∠AOD＝____．13．（2022·全国·七年级开学考试）如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．14．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O， SKIPIF 1 < 0 ．(1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由．(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求∠BOC的度数．15．（2021·浙江工业大学附属实验学校七年级期中）如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．16．（2022·陕西·西安辅轮中学七年级期末）已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数；(2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；(3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系能力提升一、单选题（每题3分）1．（2022·陕西渭南·七年级期末）用度、分、秒表示31.21°为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，下列说法中不正确的是（　　）A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一个角 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一个角C． SKIPIF 1 < 0 可以用 SKIPIF 1 < 0 来表示 D．图中共有三个角： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 3．（2021·河北·石家庄市长安区阳光未来实验学校七年级期中）下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　）A．55° B．65° C．75° D．85°4．（2020·山东淄博·期中）如图，公园、学校、图书馆在平面上的标志分别用A，B，C三点表示，学校在公园的正东方向，图书馆在公园的南偏西35°方向上，则平面图上的 SKIPIF 1 < 0 等于（）A．35° B．55° C．125° D．145°5．（2022·山东泰安·期末）如图，已知射线OB，OM，ON在 SKIPIF 1 < 0 内部，OM平分 SKIPIF 1 < 0 ，ON平分 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 6．（2022·广东·丰顺县东海中学八年级开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 二、填空题（每题3分）8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，图中共有_______个小于180°的角，其中最大的角是_____．9．（2022·河北唐山·七年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系是_______（用“>”连接）．10．（2022·山西大同·七年级期末）用一副三角板按如图方式放置，恰好与 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 的大小为____________°11．（2021·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）若 SKIPIF 1 < 0 的度数为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互余，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为____．12．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ SKIPIF 1 < 0 ∠BOC，∠BOD＝ SKIPIF 1 < 0 ∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2022·全国·七年级专题练习）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．（2）每经过 SKIPIF 1 < 0 ，时针转过多少度？每经过 SKIPIF 1 < 0 ，分针转过多少度？（3）当时钟指向上午 SKIPIF 1 < 0 ，时针与分针的夹角是多少度？（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．14．（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的相等的角；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 度数；(3)写出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间所具有的数量关系；(4)当三角板 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．15．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，OM，ON分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的平分线．(1)如图1，如果OA，OC重合，且OD在 SKIPIF 1 < 0 的内部，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；(2)如图2，固定 SKIPIF 1 < 0 ，将图1中的 SKIPIF 1 < 0 绕点O顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．① SKIPIF 1 < 0 与旋转度数 SKIPIF 1 < 0 有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时， SKIPIF 1 < 0 为直角？(3)如果 SKIPIF 1 < 0 的位置和大小不变， SKIPIF 1 < 0 的边OD的位置不变，改变 SKIPIF 1 < 0 的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），如图3，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 与旋转度数 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系：_____．