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第一章三角形的证明复习 -（北师大） 课件PPT
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小结与复习第一章 三角形的证明思维导图等腰三角形直角三角形线段的垂直平分线角平分线腰和底不相等等边三角形全等三角形互逆命题与真假尺规作图1、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2、判定：三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”。一、全等的判定及性质 定理: 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角 ） 二、等腰三角形符号语言： ∵△ABC中， AB=AC，∴∠B=∠C 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重（三线合一）121.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；2.性质3.判定：（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．20° B．40° C．50° D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______________。3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是________cm。巩固训练4、已知等腰ΔABC腰AB上的 CD与另一腰AC的夹角为40°，则其 的度数为 __.┐┐顶角高50°或130°符号语言：∵在△ABC 中， ∠A=∠B =∠C ， ∴△ABC 是等边三角形．∵在△ABC 中,BC =AC,∠C =60°(或∠A =60°)∴△ABC 是等边三角形．三、等边三角形等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；（2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。巩固训练1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） 2．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________。3.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）A.60° B.50° C.40° D.30° 4.边长为2的等边三角形的面积是_____.5.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；2、性质：（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）（定理）直角三角形两锐角互余；（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、判定：（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四.直角（Rt）三角形巩固训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于2(1)BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．3．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )A．100° B．120° C．135° D．140° 4．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 5.下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3 ，CD＝8，AD＝10.(1)求∠BCD的度数； (2)求四边形ABCD的面积． 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝5 cm，求△ABD的面积．8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由． 五.线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。巩固训练1.若△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）A．AB=AC B．AB=BC C．AC=BC D．∠B=∠C 2.如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为____________. 3、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、∠A、∠B的平分线交点处 4、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为______________5、已知△ABC，用直尺和圆规求作其三边的垂直平分线（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法） 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数.10、如图，在△ABC中，AD是高，CE为中线，DG⊥CE，G为垂足，DC=BE。求证：（1）G是CE的中点 （2）∠B=2∠BCE 1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。六.角平分线1、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC 2、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对 3、 如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于B，且CD=CE，则∠DCO＝ .4、如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 65、如图，AE平分∠BAC，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD 6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是45，50，60，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于___________.8、已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，求证：（1）OC=OD； （2）OP是CD的垂直平分线七、反证法与互逆命题1、反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题1.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°巩固训练2.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：____________________________________________________ 3.下列说法正确的有（ ）①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个1、已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, DE∥BA,DF∥CA. 求证:∠FDE=∠A.达标训练2、已知:如图,AD∥CB,AD=CB. 求证:△ABC≌△CDA.3、已知:如图,AB=AC, ∠ABD=∠ACE. 求证:(1)OB=OC;(2)BE=CD4.如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线. （1）若BC=13，求△AEG的周长；（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数. 5.证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（要求：写已知，画图，求证，然后证明） 6.已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N,M,且OM=ON. 求证:PM=PN. 7. 已知直线及其两侧两点A、B，如图．在直线上求一点P，使PA=PB；（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DF⊥AB于点F．求证：∠ADF= ∠C ； 9.如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.求证：（1）AE=BD;（2）MN//AB.
小结与复习第一章 三角形的证明思维导图等腰三角形直角三角形线段的垂直平分线角平分线腰和底不相等等边三角形全等三角形互逆命题与真假尺规作图1、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2、判定：三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”。一、全等的判定及性质 定理: 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角 ） 二、等腰三角形符号语言： ∵△ABC中， AB=AC，∴∠B=∠C 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重（三线合一）121.定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；2.性质3.判定：（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）A．20° B．40° C．50° D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______________。3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是________cm。巩固训练4、已知等腰ΔABC腰AB上的 CD与另一腰AC的夹角为40°，则其 的度数为 __.┐┐顶角高50°或130°符号语言：∵在△ABC 中， ∠A=∠B =∠C ， ∴△ABC 是等边三角形．∵在△ABC 中,BC =AC,∠C =60°(或∠A =60°)∴△ABC 是等边三角形．三、等边三角形等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；（2）等边三角形内角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。巩固训练1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） 2．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________。3.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ）A.60° B.50° C.40° D.30° 4.边长为2的等边三角形的面积是_____.5.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；2、性质：（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）（定理）直角三角形两锐角互余；（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、判定：（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四.直角（Rt）三角形巩固训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于2(1)BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．3．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为( )A．100° B．120° C．135° D．140° 4．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )A．一条边对应相等 B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等 D．两个锐角对应相等 5.下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3 ，CD＝8，AD＝10.(1)求∠BCD的度数； (2)求四边形ABCD的面积． 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝5 cm，求△ABD的面积．8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由． 五.线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。巩固训练1.若△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）A．AB=AC B．AB=BC C．AC=BC D．∠B=∠C 2.如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为____________. 3、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A、AB、BC两边高线的交点处B、AC、BC两边中线的交点处C、AC、BC两边垂直平分线的交点处D、∠A、∠B的平分线交点处 4、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为______________5、已知△ABC，用直尺和圆规求作其三边的垂直平分线（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法） 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数.10、如图，在△ABC中，AD是高，CE为中线，DG⊥CE，G为垂足，DC=BE。求证：（1）G是CE的中点 （2）∠B=2∠BCE 1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。六.角平分线1、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC 2、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对 3、 如图，∠AOB＝60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于B，且CD=CE，则∠DCO＝ .4、如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 65、如图，AE平分∠BAC，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD 6.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是45，50，60，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于___________.8、已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，求证：（1）OC=OD； （2）OP是CD的垂直平分线七、反证法与互逆命题1、反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题1.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°巩固训练2.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：____________________________________________________ 3.下列说法正确的有（ ）①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个1、已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, DE∥BA,DF∥CA. 求证:∠FDE=∠A.达标训练2、已知:如图,AD∥CB,AD=CB. 求证:△ABC≌△CDA.3、已知:如图,AB=AC, ∠ABD=∠ACE. 求证:(1)OB=OC;(2)BE=CD4.如图，在△ABC中，DE，FG分别是边AB，AC的垂直平分线. （1）若BC=13，求△AEG的周长；（2）若∠BAC=120°，求∠EAG的度数. 5.证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（要求：写已知，画图，求证，然后证明） 6.已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N,M,且OM=ON. 求证:PM=PN. 7. 已知直线及其两侧两点A、B，如图．在直线上求一点P，使PA=PB；（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法） 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DF⊥AB于点F．求证：∠ADF= ∠C ； 9.如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.求证：（1）AE=BD;（2）MN//AB.
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