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    初中数学人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和优秀课件ppt

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    人教版数学八年级上册
    第十一章 三角形
    11.3.2 多边形的内角和
    1. 学会用三角形内角和定理证明多边形的内角和与外角和,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式;
    2. 掌握多边形内角和的证明方法,并运用内角和解决问题;
    3. 提高分析、观察能力.
    1. 多边形的内角和是______________
    2. 多边形的外角和_______________
     
     
    3. 一个多边形的每一个外角都是60°,这个多边形是几边形?它的内角和等于多少度?
    六边形
    (6-2)×180°=720°
    6. 有没有这样的多边形,它的内角和是外角和的3倍?
    7. 一个多边形的每一个外角都相等,且每一个内角都比外角大90°,求这个多边形的边数和每个内角的度数.
    所以有这样的多边形,它是八边形.
    (n-2)×180°=3×360°
    n=8
    正多边形
     
    n=8
    8
     
    问题1 你还记得三角形内角和是多少度?
    问题2 你知道长方形和正方形内角和是多少吗?
    问题3 任意四边形的内角和是多少度?
    你还有其他方法得到四边形的内角和吗?
    猜想:四边形ABCD的内角和是360°.
    问题4 你能用以前学过的知识证明你的结论吗?
    所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.
    如图,连接AC,
    所以四边形被分为两个三角形,
    E
    所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
    如图,在BC边上任取一点E,连接AE,DE,
    所以该四边形被分成三个三角形,
    所以四边形ABCD内角和为:180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.
    E
    如图,在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE,
    把四边形分成四个三角形:△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
    P
    如图,在四边形外任取一点P,
    所以四边形ABCD内角和为180° ×3- 180°=360°.
    连接PA、PB、PC、PD,将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
    解:如图,四边形ABCD中,∠A+ ∠C=180°.
    因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2) ×180 °= 360 °,
    所以∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)
    例1. 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?试说明理由.
    = 360°- 180°
    =180°.
    故△DCF为直角三角形.
    证明:∵在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,
    ∴∠ABC+∠ADC=180°,
    ∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
    ∴∠CDF+∠EBF=90°,
    ∵BE∥DF,∴∠EBF=∠CFD,
    ∴∠CDF+∠CFD=90°,
    问题5 你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
    内角和为180° ×3 = 540°.
    内角和为180° ×4 = 720°.
    0
    1
    1
    2
    1×180º=180º
    2×180º=360º
    2
    3
    3×180º=540º
    3
    4
    4×180º=720º
    ······
    ······
    ······
    ······
    n -3
    n -2
    ( n -2 )·180º
    分割
    多边形
    三角形
    分割点与多边形的位置关系
    顶点
    边上
    内部
    外部
    多边形的内角和公式
    n边形内角和等于(n-2)×180 °.
    例2. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角都相等,这个多边形的每个内角是多少度?
    ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°.
    解:设这个多边形边数为n,则
    (n-2)•180=360+720,
    解得n=8,
    ∵这个多边形的每个内角都相等,
    (8-2)×180°=1080°,
    故甲同学说的边数n是4.
    解:∵360°÷180°=2,
    630°÷180°=3......90°,
    ∴甲的说法对,乙的说法不对,
    360°÷180°+2=4;
    故x的值是2.
    解:依题意有
    (n+x-2)×180°-(n-2)×180°=360°,
    解得x=2.
    一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?
    解:设此多边形的内角和为x,
    则有1125°<x<1125°+180°,
    即180°×6+45°<x<180°×7+45°,
    因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,
    所以x=180°×7=1260°.
    所以7+2=9,1260°-1125°=135°.
    因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形.
    例4 如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.
    解:∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°,
    ∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,
    ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
    ∵AP平分∠EAB,∴∠PAB=∠EAB,
    同理可得∠ABP=∠PBC,
    ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°,
    ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
     
     
    如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做五边形的外角和.
    互补
    5×180°=900°
    问题1:任意一个外角和它相邻的内角有什么关系?
    问题2:五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少?
    五边形外角和
    =360 °
    =5个平角
    -五边形内角和
    =5×180°
    -(5-2) × 180°
    问题3:这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系?
    在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和.
    思考:n边形的外角和又是多少呢?
    n边形外角和
    -(n-2) × 180°
    =360 °
    =n个平角-n边形内角和
    = n×180 °
    思考:n边形的外角和又是多少呢?
    (1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正_____边形.
    问题4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?
    每个内角的度数是
    每个外角的度数是
    (2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.

    正八
     
     
    练一练
    1. 八边形的内角和等于多少度?十边形呢?
    (8-2) ×180°= 1080°
    (10-2) ×180°=1440°
    八边形的内角和
    十边形的内角和
    2. 求下列图形中x的值:
     
     
    = 65
     
     
    =60
    2. 求下列图形中x的值:
    x= 180-(360-120-80-75)
    = 180-85
    = 95
    120°
    x= 540-150-60-120-135
    = 75
    3.已知一个多边形每个内角都等于 108° ,求这个多边形的边数?
    答:这个多边形是五边形.
    解:设这个多边形的边数为n,
    根据题意得:(n-2) ×180=108n
    解得:n=5
    4. 如图:AD ⊥AB,BC ⊥CD,则∠B与∠D是什么关系?为什么?
    解: ∠B与∠D是互补的
    因为AD ⊥AB,BC ⊥CD,
    所以∠A= ∠C= 90°
    所以∠B+∠D= 180°
    因为四边形内角和等于360°
    (n-2) × 180°(n ≥3的整数)
    多边形的外角和等于360°特别注意:与边数无关.
     
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