初中数学人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和课时作业

11.3 多边形及其内角和

11.3.2 多边形的内角和

【知识重点】

1.定理：n边形内角和等于(n－2)×180°(n ≥ 3).

2.多边形内角和公式的常见应用

(1)已知多边形的边数，求内角和；

(2)已知多边形的内角和，求边数；

(3)求正n边形每个内角的度数， 其公式为；

(4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数.

特别解读

1.由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.

2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° .

【经典例题】

【例1】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数.

解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数.

【例2】根据下列条件求多边形的边数：

(1)多边形的内角和是1 620°；

(2)正多边形的每个内角均为120°.

解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解.

【同步练习】

一、选择题

1．【2021∙北京】下列多边形中，内角和最大的是(　　)

2．将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将            (　　)

A．减少180°   B．增加90°   C．增加180° D．增加360°

3．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是     (　　)

A．4   B．5  C．6  D．7

4．一个多边形的内角和是360°，这个多边形是(　　)

A．三角形      B．四边形      C．六边形      D．不能确定

5．【2021∙福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于(　　)

A．108°  B．120°   C．126°  D．132°

第5题图　               第8题图               第9题图

6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是(　　)

A．7  B．10  C．35  D．70

7．一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是(　　)

A．四边形        B．五边形      C．十二边形       D．七边形

8．【2021∙株洲】如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝(　B　)

A．10° B．12°  C．14° D．15°

9．如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是(　　)

A．360°     B．540°     C．630°     D．720°

10．【2021∙铜仁】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌？(　　)

A．等边三角形   B．正方形    C．正五边形   D．正六边形

11．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　　)

A．7　  B．7或8　 C．8或9　  D．7或8或9

二、填空题

12．n边形内角和等于________________°.

13．若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________．

14．【2021·丽水】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是________．

15．如图，在四边形ABCD中， AD⊥AB ，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是_______.

第15题图　                     第16题图

16．平面上，将边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝          .

17．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________________.

三、解答题

18．求如图所示的图形中x的值．

19．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.

(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n. 若不对，请说明理由.

(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值.

20．(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，求这个内角的度数．

(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？

21．把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形，分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍，原来的多边形是几边形？把原来的多边形分割成了多少个多边形？

22．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.

(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；

(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．

参考答案

【经典例题】

【例1】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数.

解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数.

解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠BCD＝∠D＝＝108° .

∵ AC∥DE，∴∠ACD＋∠D＝180° .

∴∠ACD＝180°－108° ＝72° .

∴∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝108°－72° ＝36° .

【例2】根据下列条件求多边形的边数：

(1)多边形的内角和是1 620°；

(2)正多边形的每个内角均为120°.

解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解.

解：设多边形的边数为n，根据题意得：

(1)(n－2)·180＝1 620，

解得n＝11. 故多边形的边数为11.

(2)(n－2)·180＝120n，

解得n＝6. 故正多边形的边数为6.

【同步练习】

一、选择题

1．【2021∙北京】下列多边形中，内角和最大的是(　D　)

2．将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将            (　C　)

A．减少180°   B．增加90°   C．增加180° D．增加360°

3．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是     (　D　)

A．4   B．5  C．6  D．7

4．一个多边形的内角和是360°，这个多边形是(　B　)

A．三角形      B．四边形      C．六边形      D．不能确定

5．【2021∙福建】如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于(　C　)

A．108°  B．120°   C．126°  D．132°

第5题图　               第8题图               第9题图

6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是(　C　)

A．7  B．10  C．35  D．70

【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，

∴144n＝180×(n－2)，解得n＝10.

∴这个正n边形的所有对角线的条数是＝＝35.

7．一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形是(　C　)

A．四边形        B．五边形      C．十二边形       D．七边形

8．【2021∙株洲】如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝(　B　)

A．10° B．12°  C．14° D．15°

【点拨】在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI中，易知∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，∴∠FAI＝∠FAB－∠IAB＝120°－108°＝12°.

9．如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是(　C　)

A．360°     B．540°     C．630°     D．720°

【解析】一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，所以两个多边形的内角和的和也能被180°整除．分析四个选项，只有630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.

10．【2021∙铜仁】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌？(　C　)

A．等边三角形   B．正方形    C．正五边形   D．正六边形

【解析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成360°，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．

11．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为(　D　)

A．7　  B．7或8　 C．8或9　  D．7或8或9

【解析】设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8.一个多边形切去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，也可能不变，∴原多边形的边数为7或8或9.故选D.

二、填空题

12．n边形内角和等于________________°.

【答案】(n－2)×180

13．若一个多边形的内角和是1 260°，则这个多边形的边数是________．

【解析】设这个多边形的边数为n，由题意知，(n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.

【答案】9

14．【2021·丽水】一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是________．

【答案】6或7

15．如图，在四边形ABCD中， AD⊥AB ，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是_______.

【答案】40°

第15题图　                     第16题图

16．平面上，将边长相等的正三角形，正方形，正五边形，正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝          .

【答案】24°

17．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________________.

【答案】540°或360°或180°

三、解答题

18．求如图所示的图形中x的值．

解：(1)根据图①可知：x＝360－150－90－70＝50.

(2)根据图②可知：

x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.

(3)根据图③可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540.

解得x＝115.　

19．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.

(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n. 若不对，请说明理由.

解：甲的说法对，乙的说法不对．

∵n边形的内角和为180°的正整数倍，

360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，

∴甲的说法对，乙的说法不对．

360°÷180°＋2＝2＋2＝4，

∴甲同学说的边数n是4.

(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值.

解：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°.解得x＝2.

20．(1)一个n边形，除了一个内角外，其余(n－1)个内角的和为2 770°，求这个内角的度数．

解：设这个内角的度数为x，

则(n－2)×180°－x＝2 770°，

即180°·n＝3 130°＋x.

∵n为正整数，0°＜x＜180°，∴n＝18.

∴这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.

(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？

解：设多加的这个内角度数为α，

则(n－2)·180°＝1 380°－α.

∵1 380°＝7×180°＋120°，多边形的内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°.

答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是120°.

21．把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形，分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍，原来的多边形是几边形？把原来的多边形分割成了多少个多边形？

解：把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况：(1)当直线经过两个顶点时，增加两条边；(2)当直线经过一个顶点时，增加三条边；(3)当直线不经过顶点时，增加四条边．于是，当将原多边形分割成4个小多边形时，最多可以增加4×3＝12(条)边，当将原多边形分割成8个小多边形时，最少可以增加2×7＝14(条)边．所以分割后的多边形的个数是5，6，7中的一个．

设原多边形的边数是n，分割成边数分别为a1，a2，…，am的m个多边形，则这m个多边形的总边数为a1＋a2＋…＋am，

由题意得a1＋a2＋…＋am＝n＋13，

180(a1－2)＋180(a2－2)＋…＋180(am－2)＝1.3×180(n－2)，

则3n＋20m＝156.

因为m，n均为正整数，所以m＝3，n＝32(不合题意，舍去)或m＝6，n＝12.

故原来的多边形是十二边形，把原来的多边形分割成了6个多边形．

22．在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.

(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；

解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，

∠B＝∠C，∠A＝140°，∠D＝80°，

∴∠C＝∠B＝＝＝70°.

(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．

解：∵BE∥AD，∠D＝80°，∠A＝140°，

∴∠BEC＝∠D＝80°，

∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.

又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.

∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.