第一单元《三角形的证明》单元测试卷（含解析）

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第一单元《三角形的证明》单元测试卷（含答案解析）考试范围：第一单元  考试时间：120分钟  总分：120分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的三边长，，满足，则为．(    )A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形2.  下列命题的逆命题不正确的是 (    )A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等
C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 对顶角相等3.  如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是(    )A. ，
B.
C.
D. 4.  如图，中，，，的平分线交于点，平分给出下列结论：； ； ；正确结论有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个5.  如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、则下列结论：；；；，其中正确的有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个6.  下列说法中，正确的有(    )
都含有的两个直角三角形一定全等；
都含有的两个等腰三角形一定全等；
底边相等的两个等腰三角形一定全等；
边长都为的两个等边三角形一定全等；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个7.  如图，点是边，垂直平分线的交点，点是，平分线的交点设，，则与的数量关系式是．(    )
 A.  B.  C.  D. 无法确定8.  如图，在中，，，垂直平分，垂足为点，交于点，垂直平分，垂足为点，交于点，则五边形的周长为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图，中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，以为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，与交于点，若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在中，，点为的三条角平分线的交点，，，，点，，是垂足，且，，则点到三边，和的距离分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，11.  如图，已知，点是平分线上一点，，交于点，，垂足为点，且，则等于(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，点是平分线上一点，，垂足为点若，则点到边的距离为．(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.  如图，已知，点在边上，点，在边上，且，，则等于          ． 如图，已知，，垂足分别为点，，给出下列条件：，，，，从中选择一组，可以判定的是            填序号    15.  如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，，则          ．
 16.  如图，在中，，的平分线交于点，已知，，则点到边的距离为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．
                                                         城是否受到这次台风的影响？为什么？                                                                   若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？                                                                          18.  本小题分
如图，在中，，是的平分线，，交于点．
求证：．
若，求的度数．
19.  本小题分如图，在等腰直角三角形中，，．操作：如图，过点任作一条直线不经过点和点交所在的直线于点，过点作交于点，交所在的直线于点，连接．
 猜想的形状．请利用图，图作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作，画出相应的图形．在经历之后，若你认为中的结论是成立的，请利用图说明理由若你认为不成立，请利用其中一图说明理由． 20.  本小题分如图，，是上的一点，且，．求证：≌．21.  本小题分
如图，在中，直线是边的垂直平分线，分别交、于点、其中，图：，图：小于
要求：
用尺规分别在直线上找一点，使得．
保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
 22.  本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点．
求的度数；
若，试求的长度．
 
 
 23.  本小题分
如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且．
求证：；
如果，求的度数．
24.  本小题分
已知：如图，在中，，是的角平分线，，，求的长．
25.  本小题分感知：如图，平分，，，易知：．探究：如图，平分，，，求证：；如图，平分，，，求证：．【变式】如图，，点为的平分线与线段的垂直平分线的交点，连接，试求的度数．
答案和解析 1.【答案】 【解析】略
 2.【答案】 【解析】略
 3.【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于．
 由题意得：，，，，，，，故选A．如图，过点作轴于，利用含角的直角三角形求出，即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，含角的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 4.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，故正确；
是的平分线，
，
，
，
，
又对顶角相等，
，故正确；
，
只有时，故错误；
，
，
平分，
，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据同角的余角相等求出，再根据等角的余角相等和对顶角相等可以求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．正确．证明即可．
错误．如果，则结论成立，无法判断，故错误．
正确．利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可解决问题．
正确．说明即可解决问题．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，故正确，
，，，
，故正确，
，
，
，
，
，，
，故正确，
无法判定，故错误．
故选：．  6.【答案】 【解析】解：都含有的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
都含有的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以错误；
边长都为的两个等边三角形一定全等，因为根据或或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
所以正确的有这个．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】略
 8.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为，

，，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，，
，，，，
在中，，
，，
，
，
五边形的周长

，
故选：．
过点作，垂足为，先利用等腰三角形的性质可得，，再利用线段垂直平分线的性质可得，，，从而利用含度角的直角三角形的性质可得，，，，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用五边形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，，
连接，由作图知，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质得到，，连接，由作图知，垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】略
 11.【答案】 【解析】略
 12.【答案】 【解析】略
 13.【答案】略 【解析】略
 14.【答案】略 【解析】略
 15.【答案】略 【解析】略
 16.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
过作于点，由角平分线的性质可得，由条件可求得的长，则可求得答案．
【解答】
解：
如图，过作于点，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：．  17.【答案】解：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；

在上取点，千米，则还有一点，有千米．
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，，
在中，千米，千米，
由勾股定理得，千米，
则千米，
遭受台风影响的时间是：小时． 【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，含角的直角三角形，正确运用勾股定理是解题关键．
根据垂线段最短，故应由点向作垂线，垂足为，若，则城不受影响，否则受影响；
点到直线的长为千米的点有两点，分别设为、，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
 18.【答案】证明：是的平分线，
．
，
，
，
．
解：，
．
，
，
． 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质以及角平分线，解题的关键是：根据平行线的性质结合角平分线的定义找出；利用角平分线的定义结合等腰三角形的性质求出．
根据角平分线的定义可得出，由可得出，进而可得出，再利用等角对等边即可证出；
由可得出，进而可得出，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数．
 19.【答案】略 【解析】略
 20.【答案】证明：，
．
，，
．
和是直角三角形，而．
≌ 【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
 21.【答案】解：如下图：点即为所求；

图中：以为圆心，长为半径作弧，与的交点即为所求；
图中：以为圆心，为半径作圆，再过作圆的切线，与的交点即为点． 【解析】图根据线段的垂直平分线的性质和等边对等角作图；
图根据线段的垂直平分线的性质和圆的切线长定理作图；
根据中的作法进行说明．
本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质和切线长定理是解题的关键．
 22.【答案】解：，，
，
是的垂直平分线，
；
，，，
，又，
． 【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，根据垂直平分线的性质解答即可；
根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
 23.【答案】证明：，，
和均是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 【解析】先由判定≌，得到，然后由对顶角相等可得：，进而可得，然后由等角对等边，可得；
由，可得，然后由三角形的外角的性质可得：，由，进而可得：，然后由，进而可求的度数及的度数，然后由三角形的内角和定理即可求的度数．
此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角形全等的判定与性质．
 24.【答案】解：作于，如图所示：

是的平分线，，，
，
，，
≌，
，
在中根据勾股定理得：
，
设，则，
，，
，
，
，
解得，
答：的长为． 【解析】作于，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
本题主要考查的是角平分线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 25.【答案】解：如图，于，于，

平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
如图：作于，于，

平分，，，
，
在和中，
，
，
，
【变式】
如图：连接，作于，于，

平分，，，
，
在线段的垂直平分线上
在和中，
，
，
，
 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
于，于，欲证明，只要证明≌即可．
作于，于，由角平分线的性质得出，，证，得出，即可解答
连接，作于，于，由线段垂直平分线的性质得出，证，求出，即可解答．