数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第2课时复习练习题

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第五章第2课时　函数的最大(小)值
A级 必备知识基础练
1.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.1,-1
B.1,-17
C.3,-17
D.9,-19
2.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)
A.6 h B.7 h
C.8 h D.9 h
3.[探究点一(角度1)]函数f(x)=12ex(sin x+cos x)在区间0,π2上的值域为(　　)
A.12,12eπ2 B.12,12eπ2
C.[1,eπ2] D.(1,eπ2)
4.[探究点四]当00;当80,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.
14.解 (1)f'(x)=ax-2bx(x>0).
由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切,得f'(1)=0,f(1)=-12,
即a-2b=0,-b=-12,解得a=1,b=12.
(2)由(1),得f(x)=ln x-12x2,定义域为(0,+∞).
f'(x)=1x-x=1-x2x.
令f'(x)>0,得00,
即函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,
因此当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=13,当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=11,所以f(x)的极小值为13,极大值为11.
(2)函数f(x)=-13x3+x2+ax+2,其中00,h(12)=e2-20,使得h(x0)=0,即x0ex0=1x0,①
且x∈(0,x0)时,h(x)0,故x0是g(x)的极小值点,也是最小值点,g(x)min=g(x0)=x02ex0-2ln x0-x0+1,②
由①式得ex0=1x02,即x0=-2ln x0,代入②式中得g(x0)=2,故a≤2即为所求,所以a的取值范围是(-∞,2].
17.(-∞,e)　∵f(x)=exx-m(x-ln x),∴f'(x)=ex·x-exx2-m+mx=ex(1x-1x2)-m+mx,
∴f″(x)=ex(1x-1x2)+ex(-1x2+2x3)-mx2=ex(2x3-2x2+1x)-mx2.
∵f(x)=exx-m(x-ln x)在区间(0,+∞)上为“凹函数”,
∴f″(x)=ex(2x3-2x2+1x)-mx2在(0,+∞)上大于0恒成立,
∴m0).
令g(x)=ex(2x+x-2)(x>0),
则g'(x)=ex(2x+x-2)+ex(-2x2+1)=ex(-2x2+2x+x-1)=ex(x2+2)(x-1)x2,令g'(x)